2.3 轴向拉压杆件的应力

正如绪论中指出，内力不能用来判断杆件的强度，例如，同一材料制成的粗细不同的杆，在相同拉力下，轴力相同，但若同时增大拉力则细杆必然先断，所以必须借助应力判断杆的强度。本节讲述如何根据对变形特征的实验观察，提出轴向拉压杆件变形的假设，从而由内力确定任一横截面和斜截面上的应力。

2.3.1 轴向拉压杆件横截面上的应力

虽然知道内力实际是一种分布作用力，但由截面法只能计算横截面上这些分布作用力的合力，即轴力，而不能确定轴力在横截面上各点的集度，即不知道横截面上的应力分布。为了获得轴向拉压杆件横截面上的应力分布规律，首先应通过实验研究杆件的变形特征。

取一等直杆，如图2-9（a）所示，为了便于观察杆件的变形特征，先在杆表面作一系列平行于轴线的纵向线及垂直于轴线的横向线。然后在杆件两端施加一对轴向拉力F，使杆件产生轴向拉伸变形，如图2-9（b）所示。

比较图2-9（a）和图2-9（b），可以观察到如下现象：

（1） 变形后各横线仍保持直线，任意两相邻横线沿轴线发生相对平移；

（2） 变形后横线仍然垂直于纵线，纵线仍旧保持与轴线的平行。原矩形网格仍保持为矩形。

受上述实验现象（1）的启发，可进行如下假设：原为平面的横截面，变形后仍保持平面。该假设通常称为轴向拉压时的平面假设（plane assumption）。

若将杆件视为由无数纵向纤维组成的，根据平面假设，由上述实验现象（2）可知，杆件受拉时所有纵向纤维均匀伸长，即杆件任意横截面上各点处的变形相同。

杆件在外力作用下的内力是伴随变形一起产生的。由上述试验结果可知，轴向受拉杆件横截面上各点只有正应力σ，而无切应力τ，所以轴力由横截面的正应力（对应的分布力）合成：

根据平面假设，任意两横截面间各条纵向纤维的伸长量相同，由此不难推断，在杆件横截面上各点处有相同的内力分布集度，即正应力σ在横截面上是均匀分布的，如图2-9（c）所示。若截面上轴力为FN，横截面面积为A，则横截面上各点的正应力均为

即横截面上的正应力与轴力FN成正比，与横截面的面积A成反比。

虽然式（2-2）是以轴向拉伸为例推导的，但对于轴向压缩同样适用。轴向拉伸时的正应力称为拉应力，轴向压缩时的正应力称为压应力。正应力的符号通常规定为：拉应力为正，压应力为负。

变截面直杆ABC如例题图2-2（a）所示，已知d1 = 30 mm，d2 = 20 mm，试求图中1-1、2-2截面上的正应力。

分析：首先利用截面法求得两个截面上的轴力，然后利用式（2-2）计算正应力。需要注意，两个截面的面积不同。

解：

1） 求截面1-1、2-2上的内力

假想在截面1-1处将杆分为两部分，取左半部分，其受力如例题图2-2（b）所示。应用平衡方程：

∑Fx = 0， F N1+30=0

得截面1-1上的内力为

F N1=−30 kN

同样地，将杆在截面2-2处截开，取右半部分为研究对象，其受力如例题图2-2（c）所示。应用平衡方程：

∑Fx = 0， 20−F N2=0

得截面2-2上的内力为

F N2=20 kN

2） 求截面1-1、2-2上的正应力

截面1-1，应用式（2-2）得

截面2-2，由式（2-2）得

（1） 式（2-2）可以近似用于计算轴力沿轴线任意变化和/或截面尺寸沿轴线缓慢变化时的横截面正应力。如图2-10所示的变截面立柱在自重下的正应力，此时，轴力、截面面积及正应力都将是截面位置空间坐标x的函数。

（2）在集中载荷作用点附近的区域，前面的平面假设不成立，如图2-11（a）所示。所以，在该区域应力分布比较复杂，如图2-11（b）所示，由式（2-2）不能正确计算横截面上的正应力，只能给出平均值。但是，随着远离集中载荷作用点，应力分布逐渐趋于均匀分布，如图2-11（c）和（d）所示。于是，在距离载荷作用端略远处仍可用式（2-2）计算正应力。而且实验证实，杆端加载方式的不同，只对载荷作用区域附近横截面上的应力分布有明显影响，而对距离载荷作用区域略远处（距离约为横截面的尺寸）的应力分布影响很小，如图2-11（d）所示。这一结论称为圣维南原理（Saint-Venant principle）。根据圣维南原理，无论杆端的载荷作用方式如何，均可以其合力代替，并利用式（2-2）计算远离载荷作用点处的横截面正应力。

（3） 为了满足实际工程的需要，有些杆件会在其上钻孔、攻丝、切口或制成阶梯状变截面杆等，导致杆件截面形状、尺寸发生突变，如图2-12所示。理论分析和实验结果均表明，在构件形状、尺寸突变的横截面上，应力分布不是均匀的，应力会在局部急剧增加，如图2-12（a）所示的受拉开孔薄板和图2-12（b）所示的受拉宽度突变矩形截面薄板。所以，由式（2-2）不能正确计算这些横截面上的应力，只能给出其平均值。这种由于杆件形状尺寸突变引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中（stress concentration）。距离构件形状、尺寸突变的区域稍远处，应力集中又迅速下降，趋于均匀分布，又可利用式（2-2）进行计算。

应力集中的程度可用应力集中系数（factor of stress concentration）表征。其定义为杆件形状尺寸改变处横截面上的应力最大值与该截面的平均应力值（又称为名义应力）之比，用K表示：

各种典型工况的应力集中系数，可从有关的设计手册中查得。试验结果表明，不同性质的材料，对应力的敏感程度不同。杆件截面形状、尺寸变化越剧烈，应力集中就越严重，因此在机械加工上多采用圆角过渡，以降低应力集中的影响。应力集中会降低杆件的承载能力，但相关的问题必须应用弹性理论或实验方法解决，这已经超出了本书的研究范围，感兴趣的读者可参阅相关的书籍。

最后顺便指出，式（2-2）的推导是根据实验观察到的变形特征，提出横截面上应力分布的假设，然后根据横截面上内力由应力合成而获得的。后面将要学习的其他变形问题也都沿用这一推导思路，但其分析要复杂些，一般要根据变形特征，利用几何学的知识推出应变分布，然后利用应力-应变关系得到应力的分布，再根据应力合成内力获得应力的计算公式——应力与内力的关系式。

2.3.2 轴向拉压杆件斜截面上的应力

以上分析了拉压杆件横截面上应力，但破坏并不一定全部都沿横截面发生。为了全面了解杆件任意截面上的受力情况，分析其破坏原因，还需进一步研究斜截面上的应力。

考虑如图2-13（a）所示的轴向拉伸杆。任意斜截面m-m的方位可用该斜截面的外法线n与杆轴线的夹角α表示，规定α逆时针为正。沿该截面将杆件截开，取左半部分研究其内力，如图 2-13（b）所示。由静力平衡关系可得，斜截面上内力的大小等于外力FP，方向沿杆件轴线。

与横截面上正应力的计算式（2-2）的推导过程类似。根据前面总结的变形特征可知，斜截面上各点应力pα均匀分布，如图 2-13（b）所示。若杆件横截面面积为 A，则其斜截面面积Aα=A/cosα，于是斜截面上各点的应力均为

式中，FP/A等于横截面上的正应力σ，所以有

式（2-5）反映了斜截面上各点应力与横截面上各点正应力的关系，由该式可知，斜截面上的应力不会超过相应的横截面上的正应力。

将应力pα沿斜截面的法线和切线方向分解，可得斜截面上的正应力σα和切应力τα分别为

其方向如图2-13（c）所示。由以上两式可知：

（1） 过杆件某一点不同截面方位上的应力各不相同，任意斜截面上的正应力σα和切应力τα均是斜截面方位角α的函数，并由式（2-6）和式（2-7）求得。

（2） 当α=0°时，正应力σα取最大值为σmax =σ；同时有τα=0。即横截面上的正应力取最大值，切应力为零。

（3） 当α=±45°时，切应力达到最大值τmax=σ/2，但该截面上的正应力并不为零，其值为σα=σ/2。若杆件抗剪切能力较弱，随着外载荷的不断加大，杆件就可能会发生沿45°斜截面的剪切破坏。

（4） 当α=±90°时，σα=0，τα=0。这表明平行于杆轴线的纵向平面上既不存在正应力，也不存在切应力。