2.8 轴向拉压杆件的应变能

众所周知，弹簧在外力作用下将发生弹性变形。在此过程中，外力将做功。在没有能量损失的情况下，外力功全部转化为弹簧的势能。与此类似，弹性固体在外力作用下发生弹性变形，外力在相应位移上做功，同时弹性固体因变形而储存能量，称为应变能（energy），单位为焦耳J（= N · m）。本章将讲述轴向拉压构件的应变能计算，并对计算变形的能量方法做简单介绍。

考虑图 2-27（a）所示的等截面直杆，上端固定，下端承受由0缓慢增加至F的拉力，杆件在弹性范围内伸长至Δl，设拉力F与伸长量Δl的关系为如图2-27（b）所示的一般非线性关系，则外力F所做的功为

对于线弹性杆件，拉力F与伸长量ΔL成正比，于是有

利用式（2-20），代入式（2-25）中得

对于缓慢加载，没有动能及其他能量损失，所以外力功W将全部转化为杆件的应变能Vε，即W =Vε。如果杆件是均匀等截面的（E和A不变），其横截面上的轴力FN为常值，则其中的应变能为

如果结构由 n个不同的轴力为常值的等截面杆件组成，则整个结构的应变能可以分段利用上述公式叠加得到，即

若杆件的轴力FN、模量E和/或横截面面积A沿轴向变化，则应变能由下式计算：

值得注意的是，应变能与内力（外力）的关系不是线性的，而是内力的二次齐次函数，所以叠加原理不成立。例如，在轴力F1 + F2共同作用下的杆件的应变能不等于F1和F2分别单独作用下的应变能之和（请读者计算它们之间的差）。

单位体积内储存的应变能称为应变能密度，以vε表示，其单位是J/m3，可以通过在构件中选取如图2-28（a）所示的单元体dx × dy × dz计算得到。对轴向拉压杆件，取单元体的两个平行面为横截面，则仅在该平行面上受正应力σ作用并产生dx方向的正应变ε，如图2-28（a）所示。设应力σ与应变ε的关系为一般非线性关系，如图2-28（b）所示，则仿照前面分析得应力σ做的功（相当于σdydz在位移从0至ε1dx上做的功）为

式中，dV =dxdydz。根据能量守恒，dW应等于单元体内储存的应变能dVε，于是得单位体积的应变能，即应变能密度为

显然，对于线弹性体，应力σ与应变ε满足胡克定律，于是有

杆件的应变能可以通过先计算应变能密度vε，再在整个杆件体积V上积分得到，即

若杆件内的应力是均匀的，则Vε=vεV。可以由此推出式（2-27）～式（2-29）。

应变能密度vε的单位是J/m3。将比例极限σp代入式（2-31）得到的应变能密度称为回弹模量，表征线弹性范围内材料吸收能量的能力。

正如前面指出，构件在外力作用下发生变形，引起外力作用点沿力作用方向产生位移，外力因此而做功；同时，构件因变形而储存应变能。当外力缓慢变化时，动能和其他能量的变化就可以忽略，根据能量守恒原理，应变能Vε就等于外力功W。对于线弹性体，还有一个重要的事实，即应变能只取决于外力的最终值，而与加载历史无关。依据能量原理可以计算构件的变形，相关的方法称为能量法。

利用能量法重新计算例题2-8，即求如例题图2-8（a）所示简易悬臂式吊车点A的位移。

分析：结构在点A受竖直向下的载荷G作用，所以点A的竖向位移ΔAy可直接通过应变能Vε等于外力功WG 获得。

解：先由节点A的受力平衡得到杆AB和杆AC的轴力FN1和FN2，过程见例2-8，结果分别为

由此，可以计算两杆件中的应变能为

根据载荷G在竖向位移上做的功WG全部转化为整个结构的应变能，得

由此，得

分析（续）：但遗憾的是，点A的水平位移ΔAx不能直接用同样的方法求解。为求点A的水平位移，我们设想在作用G之前，先在点A作用一水平方向的载荷P，然后再作用G。利用应变能等于外力功求得结果。

解（续）：设点A作用一水平方向的载荷P，由受力平衡得到杆AB和杆AC的轴力和，结果为 0=， =P（这里略去过程）。载荷P在此过程做的功为

保持P不变，再在竖直方向作用G，在此过程中载荷P在由G引起的水平位移ΔAx上所做的功为P⋅ΔAx。于是，在整个加载过程中（先作用P，再作用G），总的外力功W为

W=WP+WG+P⋅ΔAx

该外力功等于P和G共同作用下结构的总应变能：

将式（a）和式（b）代入式（c）中，可求得

讨论：该例题表明，若结构中只有一个载荷作用，可以直接利用“外力功等于应变能”这一基本的能量原理，计算载荷作用点沿载荷作用方向的位移。但该方法对多个载荷作用的情况不适用，也不能直接计算其他点或其他方向上的位移。而上述通过虚加外力来考虑不同加载顺序的能量守恒，则为计算多个载荷作用下结构上任意一点的位移提供了一种可行的方法。以下以求结构上任意一点某方向的位移为例总结该求解思路。

（1） 设在原有载荷（可以是多个）作用下结构上待求位移点上某方向的位移为Δ，可以求得此时结构的内力（记为FNi）和应变能（记为VF），则载荷做功为

（2）在待求位移点沿位移方向虚加一任意外力P，可以求得结构单独..作用虚加外力P时的结构内力（记为FNi）和应变能（记为VP），则外力P做功为

（3） 同时作用原有载荷和虚加外力P时的应变能为V（≠V1+V2！）。

（4） 考查如下的加载过程：先作用外力P，此时P做功为WP；再在保持P不变的情况下作用原有载荷，此时原有载荷做功为WF，同时，保持不变的外力P在由原有载荷产生的位移Δ上也要做功，其值为P⋅Δ。于是，根据能量守恒有

（5） 将式（i）和式（ii）代入式（iii）中，可求得

考虑到应变能是外力（内力）的二次齐次函数，则不难证明Δ与外力P的大小无关，因此可以设P为单位力，这就是求解线弹性结构位移的单位载荷法（或单位力法）的基本思路，将在能量法一章中做系统的介绍。对于由一系列轴向拉压杆件组成的结构，则应变能为

设虚加外力P = 1，于是由（2-33）得

重复上述过程可以求得多个点上多个方向的位移。