1.6 二维离散傅里叶变换（2-D DFT）

2-D DFT是二维信号处理的有力工具之一，已在数字图像处理、合成孔径雷达成像等领域得到广泛应用。2-D FIR滤波与2-D匹配滤波常用2-D DFT实现。文献[4]给出了2-D DFT的部分定义和性质，这里，笔者做了若干补充。

定义1.7 二维信号x（n1，n2）的2-D DFT为

记为

X（k1，k2）=DFT2[x（n1，n2）] （1.66）

式（1.65）中，；；X（k1，k2）为二维频域离散信号。

定义1.8 二维频域离散信号X（k1，k2）的二维逆变换IDFT为

记作

x（n1，n2）=IDFT2[X（k1，n2）] （1.68）

2-D DFT具有如下性质。

性质1.10（可分信号的性质） 如果二维序列x（n1，n2）可以分解成两个一维序列：

x（n1，n2）=x（n1）x（n2） （1.69）

则有：

X（k1，k2）=X（k1）X（k2） （1.70）

X（k1，k2）的支撑域为X（k1）和X（k2）的支撑域交集。

这里，支撑域定义为离散信号的变量k1和k2的定义域。利用可分信号的性质，可以将二维序列的处理用两个一维处理算法实现。

性质1.11 （线性性质） 对任意复数a和b，如果二维序列

x（n1，n2）=au1（n1，n2）+bv（n1，n2） （1.71）

则有：

X（k1，k2）=aU（k1，k2）+bV（k1，k2） （1.72）

X（k1，k2）的支撑域为X（k1）和X（k2）的支撑域交集。

性质1.12（移位性质） 如果二维序列

x（n1，n2）=u（n1-m1，n2-m2） （1.73）

则有：

X（k1，k2）的支撑域与U（k1，k2）的支撑域相同。

性质1.13（调制性质） 如果二维序列

则有：

X（k1，k2）=U（k1-m1，k2-m2） （1.76）

X（k1，k2）的支撑域与U（k1，k2）的支撑域形状相同，但位置发生平移。

性质1.14（卷积性质） 如果二维序列

则有：

Y（k1，k2）=X（k1k2）H（k1，k2） （1.78）

Y（k1，k2）的收敛域为X（k1k2）和H（k1，k2）的支撑域交集。

性质1.15（乘积性质） 两个二维序列的乘积的2-D DFT等于它们的2-D DFT的卷积，即如果

x（n1，n2）→X（k1，k2），y（n1，n2）→Y（k1，k2） （1.79）

则有：

X（k1，k2）的支撑域与Y（k1，k2）的支撑域相同。

定理1.6（Parseval定理） 如果

x（n1，n2）→X（k1，k2），y（n1，n2）→Y（k1，k2） （1.81）

则有：

X（k1，k2）的支撑域与Y（k1，k2）的支撑域相同。

本章中2-D DFT同时对x（n1，n2）的两个变量取DFT，而在实际应用中，允许我们仅对x（n1，n2）的一个变量取DFT，进行有关处理。后续若干章的混合变换，就是对x（n1，n2）的两个变量进行分别变换和处理。