1.5 二维离散系统模型

二维离散系统模型在空间域为二维差分方程，在变换域为传递函数。正如1.3节对二维离散系统的讨论，二维离散系统有FIR与IIR两种基本类型。从它们的传递函数来说，线性FIR系统是含有零点的前馈型系统，线性IIR系统是其传递函数同时含有零点与极点的系统。其中，零点是由前馈子系统产生的，而极点是由反馈子系统产生的。当然，线性IIR系统也可以是传递函数仅含有极点的反馈系统。对于线性移不变系统的分析设计，通常采用空间域方法、频率域或变换域方法。不同域内的系统模型又有许多种，常用的模型有差分方程模型、状态空间模型、频率变换模型，以及系统参数辨识模型等。

1.5.1 二维离散系统的传递函数

式（1.18）定义了二维离散系统的频率响应，其中使用了二维傅立叶变换。二维Z变换是二维傅里叶变换的推广，在式（1.18）中，，则二维傅里叶变换就化成二维Z变换，

一般说来，H（z1，z2）为系统传递函数，它对任意的z1、z2不一定收敛。H（z1，z2）的收敛性与对应的二维离散系统BIBO稳定性等价。如果二维离散系统BIBO稳定，则H（z1，z2）一定收敛。

定义1.6（BIBO稳定性） 若二维离散系统的冲激响应系数是绝对可加的，即

则称该系统是BIBO稳定的。

在多维线性移不变离散系统中，常常应用差分方程模型来描述系统输入/输出函数之间的外部特性，如式（1.27）所描述的二维系统，对其取二维Z变换，得到该二维差分方程对应的系统传递函数：

式中，X（z1，z2）和Y（z1，z2）分别为系统输入信号和输出信号的二维Z变换；

该系统为二维递归因果系统。二维数字滤波器的系统传递函数一般使用式（1.49）的表达式。

1.5.2 二维离散系统的稳定性

直接在空间域检验式（1.49）来确定系统（式（1.50））的BIBO稳定性，是非常困难的，几乎不可能。通常是根据Shanks定理来检验二维离散系统的稳定性但是需要排除第二类非本征奇点。

定义1.7 第二类非本征奇点为是分子多项式A（z1，z2）和分母多项式B（z1，z2）同时为零的z10点和z20点，且

定理1.3（Shanks） 如果二维离散系统（式（1.50））不存在第二类非本征奇点，当且仅当

则该系统是BIBO稳定的。

与传统的一维多项式的根的检验不同，二维多项式B（z1，z2）的根的检验需要在z1=x1+jy1和z2=x2+jy2两个平面上进行。这导致二维多项式B（z1，z2）的根不是孤立的，而是四维空间中的超曲面。

定理1.3的检验有两种方法。一种是数值检验方法，可以采用粒子群算法，在四维空间（x1，y1，x2，y2）中搜索B（z1，z2）的根是否不在单位双圆盘|z1|=1，|z2|=1外。另一种是代数列表检验方法，将B（z1，z2）表示为一个复合多项式：

式中，将视为B（z1，z2）的系数，代入检验表中。代数列表检验方法要求B（z1，z2）的阶次不能太高，因为检验表中的项数将随B（z1，z2）的阶次指数增长。

定理1.3的检验可以简化为如下定理。

定理1.4 如果二维离散系统（式（1.50））不存在第二类非本征奇点，当且仅当

（1）

（2）

或（1）

（2）

则该系统是BIBO稳定的。

与定理1.3不同，定理1.4的检验不涉及四维空间的求根问题，定理1.4的条件1为传统的一维多项式的根的检验。定理1.4的条件2为三维空间（x1，y1，ω2）或（x2，y2，ω1）的求根问题，也可以采用数值检验方法或代数列表检验方法。

定理1.4的条件2的检验可使用我们完成的二维多项式的Schur稳定性检验程序，见附录1.1。

与定理1.3的代数列表检验方法类似，将式（1.55）中的表示为一个复合多项式

式中，，将视为B（z1，z2）的系数，代入检验表中。

对式（1.57）中的的稳定性检验，可采用类似的方法。基于定理1.3，对于|z1|=1，式（1.58）可以写成：

式中

式中，e为自然数；j为虚数；ω1为角频率。将视为复系数，可以得到表1.1所示代数检验表.

表1.1 式（1.59）的代数检验表

表1.1中的系数由式（1.61）构成：

其中初始系数

式中，由式（1.60）给出。

由式（1.61）可以得到表1.1中的第一列各元素为实函数，因为

定理1.5 定理1.4的条件2等价于表1.1中的第一列各元素满足如下条件：

式中，由式（1.63）确定。

由式（1.63）可知，为实函数，所以式（1.64）的检验为实函数运算。