1.4 二维Z变换

二维离散系统分析需要使用二维Z变换，对于二维离散系统，分析其传递函数分母多项式的零点分布区域，可以判断其稳定性。而系统是否稳定将决定二维离散系统进行信号处理时其结果是否收敛。

定义1.4 一个二维序列x（n1，n2）的二维Z变换定义为

二维Z变换是二维傅里叶变换的推广，利用，则二维Z变换就化成二维傅里叶变换：

如果X（z1，z2）为二维离散系统传递函数，则X（ω1，ω2）定义了该系统的频率响应。

定义1.5 X（z1，z2）的二维Z反变换定义为

式中，C1和C2为封闭的积分围线，以逆时针方向环绕各自变量的原点，且处于收敛域中。

二维Z变换具有如下性质。

性质1.3 （可分信号的性质） 如果二维序列可以分解成两个一维序列：

x（n1，n2）=x（n1）x（n2） （1.32）

则有

X（z1，z2）=X（z1）X（z2） （1.33）

X（z1，z2）的收敛域为X（z1）和X（z2）的收敛域交集。

利用可分信号的性质，可以将二维序列的处理用两个一维处理算法实现。

性质1.4（线性性质） 对任意复数a和b，如果二维序列

x（n1，n2）=au1（n1，n2）+bv（n1，n2） （1.34）

则有：

X（z1，z2）=aU（z1，z2）+bV（z1，z2） （1.35）

X（z1，z2）的收敛域为U（z1，z2）和V（z1，z2）的收敛域交集。

性质1.5（移位性质） 如果二维序列

x（n1，n2）=u（n1-m1，n2-m2） （1.36）

则有：

X（z1，z2）的收敛域与U（z1，z2）的收敛域相同。

性质1.6（调制性质） 如果二维序列

则有：

X（z1，z2）=U（a-1z1，b-1z2） （1.39）

X（z1，z2）的收敛域与U（z1，z2）的收敛域形状相同，但大小有尺度变换，z1→az1，z2→bz2。

性质1.7（导数性质） 如果二维序列

x（n1，n2）=n1n2u（n1，n2） （1.40）

则有：

X（z1，z2）的收敛域与U（z1，z2）的收敛域形状相同。

性质1.8（卷积性质） 如果二维序列

则有：

Y（z1，z2）=X（z1，z2）H（z1，z2） （1.43）

Y（z1，z2）的收敛域为X（z1，z2）和H（z1，z2）的收敛域交集。

性质1.9（乘积性质） 两个二维序列的乘积的二维Z变换等于它们的二维Z变换的卷积，即如果

x（n1，n2）→X（z1，z2），y（n1，n2）→Y（z1，z2） （1.44）

则有：

式中，C1和C2为封闭的积分围线，以逆时针方向环绕各自变量的原点，且处于收敛域中。

定理1.2 （Parseval定理） 如果

x（n1，n2）→X（z1，z2），y（n1，n2）→Y（z1，z2） （1.46）

则有

式中，C1和C2为封闭的积分围线，以逆时针方向环绕各自变量的原点，且处于收敛域中。