1.5 逻辑代数的基本定律和规则

和普通代数相似，逻辑代数中的运算也有一些定律和规则可依。本节介绍逻辑代数的基本定律和几条常用的规则，熟悉这些内容，对数字电路的分析和设计是非常有用的。

1.逻辑函数的相等

逻辑函数和普通代数一样，也有相等的问题。判断两个函数相等，可依照下面的规则：设有两个函数F1=f1（A1，A2，…，An）和F2=f2（A1，A2，…，An），如果对于A1，A2，…，An的任何一组取值（共2n组），F1和F2的值均相等，则称函数F1和F2相等，记为F1=F2。换言之，如果F1和F2两函数的真值表相同，则F1=F2。反之，如果F1=F2，那么这两个函数的真值表一定相同。

【例1.13】 设有两个函数：F1=A+BC，F2=（A+B）（A+C）。求证：F1=F2。

解：这两个函数都具有三个变量，有23=8组逻辑取值，其真值表如表1.17所示。由表可见，对应于A，B，C的每组取值，函数F1和F2的值均相等，所以F1=F2。

2.基本定律

①0-1律 A·0=0； A+1=1

②自等律 A·1=A； A+0=A

③重叠律 A·A=A； A+A=A

④互补律

⑤交换律 A·B=B·A； A+B=B+A

⑥结合律 A（BC）=（AB）C； A+（B+C）=（A+B）+C

⑦分配律 A（B+C）=AB+AC； A+BC=（A+B）（A+C）

⑧反演律

⑨还原律

其中，反演律也叫德·摩根（De.Morgan）定理，是一个非常有用的定律。

以上逻辑代数的基本定律的正确性，可像例13那样用真值表加以验证。以基本定律为基础，可以推导出逻辑代数的其他公式，这将在后面介绍。

3.逻辑代数的三条规则

逻辑代数有三条重要规则，即代入规则、反演规则和对偶规则，现分别叙述如下。

（1）代入规则

任何一个含有变量X的逻辑等式中，若用逻辑函数式F替代等式两边的变量X，则新的逻辑等式仍然成立。这个规则称为代入规则。

由于任何一个逻辑函数和任何一个逻辑变量一样，只有0和1两种取值，显然，以上规则是成立的。

表1.17 F1和F2的真值表

利用代入规则，可以将上述基本定律中的变量用任意的逻辑表达式来代替，从而扩大基本定律的应用范围。

【例1.14】 试用代入规则证明下式成立：。

解：由德·摩根定理可知等式，应用代入规则，用F=B+C替代等式中所有B的位置，则有

即

可见，应用代入规则可以将两变量的德·摩根定理推广为三变量。同理，可以证明n变量的德·摩根定理的成立，即：。

在使用代入规则时，一定要把所有出现某变量X的位置都用同一逻辑函数式替代，否则是不正确的。

（2）反演规则

假设逻辑函数式，则，称F是原函数，F为反函数。若F是一个逻辑变量，则称F是原变量，F为反变量。由原函数求它的反函数的过程叫做反演或求反。以下的反演规则给出了进行这种运算的一种方法。

设F为任意的逻辑表达式，若将F中所有的运算符、常量及变量做如下变换

则所得的新的逻辑表达式，即为F的反函数，记为F。这个规则称为反演规则。

反演规则（又称为香农定理）实际上是前述反演律的推广，这里就不严格证明了。反演规则为直接求取F提供了方便。

【例1.15】 已知，求。

解：利用反演规则可得：。

应用反演规则时，必须注意保持函数的变量间运算次序不要改变。在例1.15中F的“与”项变成的“或”项时，一定要加括号。如果写成，则是错误的。

【例1.16】 已知，求。

解：直接应用反演规则可得。

此例是有多层“非”号的情况。在直接运用反演规则求F时，注意对不属于单个变量的“非”号保留不变。

（3）对偶规则

若有两个逻辑表达式F和G相等，则它们的对偶式F' 和G' 也相等，这就是对偶规则。

所谓“对偶式”是这样定义的：设F为任意的逻辑表达式，若将F中所有的运算符号和常量做如下变换：

但变量不变，则所得的新的逻辑表达式，即为F的对偶式，记为F'。

例如：若，则；若，则。

实际上对偶是相互的，即F和F' 互为对偶式。

求对偶式时需要注意：

①保持原函数变量间运算次序；

②单变量的对偶式，仍为其自身，如F=A，F'=A；

③一般情况下，；在某些特殊情况下，才有F'=F。例如，异或表达式，，而，故。

对偶规则实际上是反演规则和代入规则的应用。因为F=G，所以。而和F'，以及和G' 的区别仅在于，求反函数时要改变变量，而求对偶式时，变量不动。若分别将和中所有的变量都代之以它们的“非”，则得F' 和G'。根据代入规则，既然，则有F'=G' 。

回顾前述的基本定律，可以发现，每个定律的两个等式都是互为对偶式。所以有了对偶规则，使得要证明和记忆的公式数目就减少了一半。有时为了证明两个逻辑表达式相等，也可以通过证明它们的对偶式相等来完成。因为在有些情况下，证明它们的对偶式相等更加容易。

例如：已知A（B+C）=AB+AC，则根据对偶规则必有A+BC=（A+B） （A+C）。

4.逻辑代数的常用公式

运用逻辑代数的基本定律和三条规则，可以得到更多的公式。常用到的几个公式如下：

消去律

证明：

该公式说明：两个乘积项相加时，若它们只有一个因子不同（如一项中有B，另一项中有B），而其余因子完全相同，则这两项可以合并成一项，且能消去那个不同的因子（即B和B）。

由对偶规则可得：

吸收律1 A+AB=A

证明：A+AB=A（1+B）=A·1=A

该公式说明：两个乘积项相加时，若其中一项是另一项的因子，则另一项是多余的。

由对偶规则可得： A（A+B）=A

吸收律2

证明：

该公式说明：两个乘积项相加时，若其中一项的非是另一项的因子，则此因子是多余的。

由对偶规则可得：

包含律

证明：

该公式说明：三个乘积项相加时，其中两个乘积项中，一项含有原变量A，另一项含有反变量，而这两项的其余因子都是第三个乘积项的因子，则第三个乘积项是多余的。

该公式可以推广为：

由对偶规则可得：

5.关于异或（同或）逻辑运算

二输入变量的“异或”和“同或”互为反函数，是仅对偶数个变量而言的，如

而对奇数个变量，则“异或”等于“同或”，如A⊕B⊕C=A⊙B⊙C。

另外，“异或”和“同或”具有如下性质：

异或： 同或：

借助以上介绍的逻辑代数中的基本定律、三个规则和常用公式，可以对复杂的逻辑表达式进行推导、变换和简化，这在分析和设计逻辑电路时是非常有利的。但这些公式反映的是对逻辑变量进行的逻辑运算，而不是对数进行的数值运算。因此，在运用过程中务必注意逻辑代数和普通代数的区别，不能简单地套用普通代数的运算法则。在逻辑代数中，不存在指数、系数、减法和除法。逻辑等式两边相同的项不能随便消去。例如：

另外，对于所有公式，要正确理解其含义，避免引起误解。

例如：，这是吸收律第二种表达式。运用代入规则可推广为：，如果认为，显然是错误的。这是误认为了。