1.4 逻辑代数中的逻辑运算

数字计算机可以进行各种数值运算（如加、减、乘、除等），数字计算机还可以下棋、翻译、看病等。所有这些功能都说明计算机可以代替人的一部分思维能力。计算机具有这种思维能力的关键在于它具有逻辑判断的能力。所谓“逻辑”，简单地说，就是研究前提（或条件）和结论之间的关系，或者说是因果的规律性。所谓“判断”就是肯定地或是否定地回答一个事物是否具有某种属性。计算机所以具有思维能力，就是因为它在一定的条件下，能体现出一种因果判断关系。

任何矛盾的现象，不管多么复杂，总可以分解成一系列互相对立的简单矛盾。人们判断事物，一般是从简单的判据入手，逐步推理而深入。简单的判据总是二值的，即不是“是”就是“非”，不存在似是而非的情况。这种二值的简单判据称为逻辑命题（在逻辑代数中称为逻辑变量），可以用字母A，B，C，…表示，并规定用符号0和1分别表示逻辑命题的两种相反的结果，若“1”表示“肯定”，则“0”就表示“否定”。当然，也可以相反，即“1”表示“错误”，则“0”就表示“正确”。显然，这里的0和1已经不是数的概念了。

电路上的因果判断关系，体现在数字电路的输入与输出信号之间具有一定的逻辑关系。若把输入信号表示为前提条件，则输出信号就表示所得的结论。我们把这种能根据一定的逻辑关系做出因果判断的数字电路称为“逻辑电路”。逻辑电路的输入和输出通常用电平的高低，或是脉冲的有无来表示，它们也都具有二值性。若用符号1表示有脉冲或高电平，则0就表示无脉冲或低电平。

为了便于分析和设计逻辑电路，通常用逻辑函数来表示逻辑电路输入与输出信号之间的逻辑关系，逻辑函数的自变量也称为输入变量，因变量也称为输出变量。这样，逻辑电路输入输出信号之间的逻辑关系，通过逻辑函数的自变量和因变量之间的关系得以描述。逻辑电路和逻辑函数是相互对应的。逻辑电路可以用逻辑函数来描述，而逻辑函数也可以用逻辑电路来实现。这样，通过对逻辑函数的分析运算，就可以达到分析和设计逻辑电路的目的。

研究逻辑电路的工具是逻辑代数。它的基本概念是由英国数学家乔治·布尔（George Boole）在1847年提出的，故也称为布尔代数。布尔代数是一种较为简单的数学工具，利用布尔代数可以把逻辑电路的输入和输出之间的关系用代数方程（布尔表达式）来描述。

逻辑代数和普通代数也有相同的地方，例如，也用字母A，B，C，…以及x，y等表示变量，但变量的含义及取值范围是不同的。逻辑代数中的变量不表示数值，只表示两种对立的状态，如脉冲的有无，开关的接通和断开，命题的正确和错误等，因此，这些变量的取值只能是0或1，这种变量称为逻辑变量。此外，逻辑代数中对变量的运算和普通代数也有不同的地方。在逻辑代数中只有三种基本的逻辑运算，即“与”、“或”、“非”，以及在基本逻辑运算基础上构成的复合逻辑运算，下面分别予以介绍。

1.4.1 基本逻辑运算

1.“与”逻辑运算

在日常生活中应用“与”逻辑关系的例子很多。例如，一个门上锁着一把明锁和一把暗锁，人们判断“门开”这件事是否成立，就要看前提条件——两把锁的钥匙是否具备。显然，只有同时具备两把锁的钥匙，门才能打开；缺少一把钥匙，门也打不开。这里两把钥匙“具备、不具备”和门“开、不开”之间的因果关系，即为“与”逻辑关系。

又如，如图1.2所示，开关A、B相串联控制灯F。显然，只有当开关A和B均合上时，灯F才亮；两个开关中只要有一个断开，灯F不亮。这里开关A、B的“闭合、断开”和灯F“亮、不亮”之间的因果关系也是“与”逻辑关系。“与”的含义在此例中就是开关A、B“闭合”这两个条件同时具备的意思。

通过以上举例分析，可以用文字来叙述“与”逻辑的一般定义，即：只有决定一件事的条件都具备时，这件事才成立；如果有一个（或者一个以上）条件不具备，则这件事不成立。这样的因果关系称为“与”逻辑关系。

“与”逻辑运算也叫逻辑乘。两变量A、B的逻辑乘用代数表达式可表示为

F=A·B （1.6）

式（1.6）称为“与”逻辑函数表达式（简称逻辑函数式，或称逻辑式、函数式）。式中“A·B”读为“A与B”或“A乘B”。“·”表示“与”运算符号（有些文献中用符号“∧”或“∩”表示），它仅表示“与”的逻辑功能，无数量相乘之意，书写时可把“·”省掉。

图1.2中每个开关的状态只有两种：闭合或断开。灯的状态也有两种：亮或灭。两个开关所有可能的组合状态和灯的状态之间的因果关系如表1.6所示。若规定开关合上为1，开关断开为0，灯亮为1，灯灭为0，则可将表1.6转换成表1.7的形式。通常把表1.7的形式称为真值表。所谓真值表，它是用表格形式全面、直观地描述了所有输入变量（前提条件）取值的各种可能组合和对应的输出变量（结果）值之间的逻辑关系的重要工具。

对n个输入变量的情况，其取值的各种可能组合数为2n，体现在真值表上则有2n行，每行的排列顺序可按二进制数的正常顺序排列。

由表1.7的真值表可知“与”逻辑运算的规则为

0·0=0 0·1=0 1·0=0 1·1=1 （1.7）

式（1.7）这组逻辑乘的运算规则是从逻辑推理而来的，故称为公理，它是逻辑代数的基础。

在数字电路中，实现“与”逻辑关系的逻辑电路称为“与”门。“与”门有多个输入端，一个输出端，其逻辑符号如图1.3所示。

表1.6 “与”逻辑电路状态表

表1.7 “与”逻辑真值表

“与”门的逻辑功能可以概括为“全1出1，有0出0”。即：只有全部输入均为1时，输出才为1；输入有0时，输出为0。

2.“或”逻辑运算

“或”逻辑关系在日常生活中应用的例子很多。例如，一个门上串起来锁两把锁。人们判断“门开”这件事是否成立，就要看前提条件——两把锁的钥匙是否具备。显然，只要一把锁的钥匙具备，门即可打开；只有两把锁的钥匙都不具备时，门才打不开。这里两把钥匙“具备、不具备”和门“开、不开”之间的因果关系即为“或”逻辑关系。

又如，如图1.4所示，开关A、B并联控制灯F。显然，只要有一个开关合上，灯F就亮；只有两个开关都断开时，灯F才不亮。这里开关A、B的“闭合、断开”和灯F“亮、不亮”之间的因果关系也是“或”逻辑关系。

通过以上举例分析，可以用文字来叙述“或”逻辑的一般定义，即：在决定一件事的各种条件中，只要有一个（或者一个以上）条件具备时，这件事就成立；只有所有的条件都不具备时，这件事才不成立。这样的因果关系称为“或”逻辑关系。

表1.8 “或”逻辑电路状态表

表1.9 “或”逻辑真值表

“或”逻辑运算也叫逻辑加。两个变量A、B的逻辑加用代数表达式可表示为：

F=A+B （1.8）

式（1.8）中，“A+B”读为“A或B”或“A加B”。“+”表示“或”运算符号（有些文献中用符号“∨”或“∪”表示），它仅表示“或”的逻辑功能，无数量累加之意。

图1.4中两个开关所有可能的组合状态和灯的状态之间的因果关系如表1.8所示。与其对应的真值表如表1.9所示。

由表1.6的真值表可知，“或”逻辑运算的规则为

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 （1.9）

式（1.9）这组逻辑加的运算规则，是又一组公理，也是逻辑代数的基础。需要特别注意的是，这里1+1=1，是表示逻辑加，不是数量的加。从逻辑判断来看，说明对“或”逻辑，具备多个前提条件与具备一个前提条件，所得结论是一样的。

在数字电路中，实现“或”逻辑关系的逻辑电路称为“或”门。“或”门有多个输入端，一个输出端，其逻辑符号如图1.5所示。

“或”门的逻辑功能可以概括为“有1出1，全0出0”。

3.“非”逻辑运算

“非”逻辑电路如图1.6所示。当开关A合上时，灯F不亮；而当开关A断开时，则灯F亮。这里开关A的“闭合、断开”与灯F的“亮、不亮”之间的因果关系，即为“非”逻辑关系。

用文字叙述“非”逻辑的一般定义，即假定事件F成立与否同条件A的具备与否有关。若A具备，则F不成立；若A不具备，则F成立。F和A之间的这种因果关系称为“非”逻辑关系。

“非”逻辑运算也叫逻辑否定。用代数表达式可表示为：

式（1.10）中A读为“A非”，变量A上面的短横线表示“非”运算符号。A叫做原变量，A叫做反变量，A和A是一个变量的两种形式。

图1.6的“非”逻辑电路的真值表，如表1.10所示。由表1.10可知，“非”逻辑运算的规则为

在数字电路中，实现“非”逻辑关系的逻辑电路称为“非”门（又称反相器）。“非”门只有一个输入端，一个输出端，其逻辑符号如图1.7所示。

以上介绍的逻辑代数中的三个基本逻辑运算，即“与”、“或”、“非”，也是人们在进行逻辑推理时常用的三种基本逻辑关系。和这三种基本逻辑关系相对应的门电路，也是数字电路中最基本的逻辑电路。和这三种门电路相对应的代数表达式，也是逻辑代数中最简单的逻辑函数式。

表1.10 “非”逻辑真值表

1.4.2 复合逻辑运算

在实际使用中，并不只是采用“与”门、“或”门、“非”门这三种基本单元电路，而是更广泛地采用“与非”门、“或非”门、“与或非”门、“异或”门及“同或”门等多种复合门电路，它们的逻辑关系可以由“与”、“或”、“非”三种基本逻辑关系推导出，故称为复合逻辑运算，下面分别予以介绍。

1.“与非”逻辑

“与非”逻辑是由“与”逻辑和“非”逻辑组合而成的。其逻辑函数式为：

“与非”逻辑的真值表如表1.11所示，其逻辑功能可概括为“有0出1，全1出0”。

实现“与非”逻辑的逻辑电路称为“与非”门，其逻辑符号如图1.8所示。和“与”门逻辑符号相比。“与非”门输出端上多了一个小圆圈，其含义就是“非”。

表1.11 “与非”逻辑真值表

表1.12 “或非”逻辑真值表

2.“或非”逻辑

“或非”逻辑是由“或”逻辑和“非”逻辑组合而成的。其逻辑函数式为：

“或非”逻辑的真值表如表1.12所示，其逻辑功能可概括为“全0出1，有1出0”。

实现“或非”逻辑的逻辑电路称为“或非”门，其逻辑符号如图1.9所示。

3.“与或非”逻辑

“与或非”逻辑是“与”、“或”、“非”三种逻辑的组合。其逻辑函数式为：

“与或非”逻辑的运算次序是：组内先“与”，然后组间相“或”，最后再“非”。其逻辑功能可概括为：“每组有0出1，某组全1出0”。由此不难导出其真值表。

实现“与或非”逻辑的逻辑电路称为“与或非”门，其逻辑符号如图1.10所示。

4.“异或”逻辑

两个变量的异或逻辑函数式为：

式中，“⊕”表示异或运算符号。

“异或”逻辑的真值表如表1.13所示。其逻辑功能可概括为“相异出1，相同出0”，这也是“异或”的含义所在。

实现“异或”逻辑的逻辑电路称为异或门，其逻辑符号如图1.11（a）所示。

表1.13 “异或”逻辑真值表

表1.14 “同或”逻辑真值表

5.“同或”逻辑

两个变量的“同或”逻辑函数式为：

式中，“⊙”表示“同或”运算符号，其逻辑符号如图1.11（b）所示。

“同或”逻辑的真值表如表1.14所示。其逻辑功能可概括为“相同出1，相异出0”，故又称为“一致”逻辑或“符合”逻辑。

从“异或”逻辑和“同或”逻辑的真值表可以看出，两者互为反函数，即

在上述的逻辑运算中，运算符的优先级是：①圆括号，②非，③与，④或。换句话说，圆括号内的表达式必须在所有其他的运算前计算，下一个优先的运算是取反，然后是与，最后是或。

为便于查阅，将门的几种表示法列于表1.15中，该表中，原部标为过去我国使用的电路符号标准，这些符号在当前出版的许多书籍中还能见到。国外流行的电路符号常见于外文书籍中，在我国引进的一些计算机辅助电路分析和设计软件中，常使用这些符号。

表1.15 门电路的几种表示法

注：表中的国标符号引用ANSI/IEEE Std.91—1984；国外流行符号引用补充ANSI/IEEE Std.91a—1991

1.4.3 正逻辑与负逻辑

除了过渡期间外，为了能演示二值逻辑的各种运算（功能），各种逻辑门的输入及输出变量（信号）也必然是二值的。也就是说，它们不是用电压V的高低来表示，就是用电流I的大小来说明。实际上，用电压表征逻辑变量的居多数，通常用较高电平VH代表逻辑1，较低电平VL代表逻辑0，这和人们的习惯比较符合，便于测试和观察。至于高、低电平是正是负，具体为何值，这要看所使用的集成电路品种和所加电源电压而定。

通常，将上述高电平VH（简写H）代表逻辑1，低电平VL（简写L）代表逻辑0的约定，简称正逻辑。前面所介绍的与、或、与非及或非等基本门电路的命名，都是在正逻辑约定下的结果。

也可以用相反的约定，即电路的高电平H代表逻辑0，低电平L代表逻辑1，称为负逻辑约定，简称负逻辑。

现在以一个具体的门电路为例，分析它在不同逻辑约定下的命名有什么不同。如表1.16所示，其中表中（a）是用输入、输出电平列出的真值表；而表中（b）则是正逻辑表示的真值表，显然它应叫做与非门；表中（c）是用负逻辑表示的真值表，很明显它变成了或非门。

由此可见，正、负逻辑是可以相互转换的。从正逻辑转化到负逻辑就是在一个门的输入和输出端将逻辑1变为逻辑0，将逻辑0变为逻辑1，反之亦然。由于这种运算产生了函数的对偶式，因此，所有终端的极性变化就导致了函数对偶式的采用。这种转化的结果使所有的与运算变为或运算，或运算变为与运算。即正逻辑的与、或、与非及或非门，在负逻辑约定的场合，便可分别用做或、与、或非及与非门，反之亦然。同样，正逻辑的异或门和同或门，分别可转换成负逻辑的同或门和异或门，反之亦然。

在实际的逻辑电路及系统中，如不附加说明，通常都采用正逻辑约定；但也有许多数字设备，其中正、负逻辑往往是混用的，因为这样往往有利于设计的优化和性能的改进。为此，在国际符号中，在需要强调逻辑低电平有效的场合，在逻辑单元框有关的输入、输出处，可标注空心箭头符号，如图1.12所示。图中上一排，是标在输入端的记号，下一排是标在输出端的记号。其中图1.12（a）的小圆圈，表示外部的逻辑0相当于单元框内部的逻辑1，这在前面已经介绍过了；图1.12（b）用空心箭头记号标注，强调外部的逻辑低电平，相应于内部的逻辑1；图1.12（c）就是用这两种记号分别在输入端或输出端时非门的四种表示法，其中上图都表示，下图都表示，它不是说明输入、输出的逻辑状态相反，就是说明输入、输出逻辑电平不同。小圆圈在输入端，强调的是输入逻辑0，经反相成逻辑1，作为输出信号；反之，若小圆圈在输出端，则强调的是输入逻辑1，经反相成逻辑0，作为输出信号。同理，空心箭头记号在输入端，强调的是输入低电平为有效电平，经反相成高电平，作为输出的有效电平；反之，若空心箭头记号在输出端，则强调的是输入高电平为有效电平，经反相成低电平，作为输出的有效电平。这样的标注方法，在设计或检测逻辑系统时，会带来方便。

表1.16 正、负逻辑转换举例

从以上叙述还可以看出，在讨论逻辑单元框内的功能时，只有逻辑状态的概念，而且总是采用正逻辑约定；只有在涉及单元框之外的输入、输出线上的逻辑信号时，才会有逻辑状态和逻辑电平两种标注法，也才有采用负逻辑概念的可能性。