1.2 线性子空间

与n元有序数组组成的向量空间类似，在一般n维线性空间中也可引进子空间的概念，且有类似的讨论过程与结论。

1.2.1 线性子空间的概念及实例

定义1.2.1 设U是数域F上的n维线性空间V的一个非空子集，若U中的任意元素（或向量）α，β以及F中的任意数k，对V中所定义的加法与数乘两种运算满足

（1）α+β∈U；

（2）kα∈U。

则U也构成数域F上的一个线性空间，称U是线性空间V的一个线性子空间，简称子空间。由定义显然可看出任何子空间必含有0元（或零向量）。

由于子空间也是线性空间，因此子空间也有基、维数、坐标等内含。又由于子空间是整个线性空间的子集，因此它不可能比整个线性空间含有更多的线性无关向量。所以，V的任何一个子空间U的维数总不会超过V的维数，即有

dimU≤dimV

易看出，任一个非零线性空间至少有两个子空间，一个是仅由零向量构成的非空子集，称为零子空间，记做{0}；另一个是它自身，即V。这两个子空间称为V的平凡子空间，而V中其他线性子空间称为V的非平凡子空间。

由于零子空间中不含线性无关的向量，所以它没有基，因此，零子空间{0}当且仅当dim{0}=0。

下面介绍一个常用的子空间，它也给出了构造线性子空间的一个方法。

【例1.2.1】 设V是数域F上的线性空间，α1，α2，…，αs是V中S个向量，k1，k2，…，ks是F中任意一组数，这组向量的所有可能的线性组合

U={k1α1+k2α2+…+ksαs}

是非空的。容易证明U是V的一个子空间，称U是由向量α1，α2，…，αs所生成的子空间，记做

显然，若α1，α2，…，αs线性无关，则

dimU=dimL=s

对生成的子空间，下面的定理成立。

定理1.2.1 dim L（α 1，α 2，…，αs）=rank（α 1，α 2，…，αs），其中rank（α 1，α 2，…，αs）表示向量组α1，α2，…，αs的秩，而L（α1，α2，…，αs）的基可以是向量组α1，α2，…，αs中任何一个极大线性无关组。

【例1.2.2】 在例1.1.3中介绍的多项式空间F[x]n中，次数小于t（t≤n）的多项式全体，包括零多项式构成子空间U，由于1，x，x2，…，xt-1是该子空间的一个基，所以其生成子空间，即是

U=L（1，x，x2，…，xt-1）

显然有

di m L（1，x，x 2，…，xt-1）=ra n k（1，x，x 2，…，xt-1）=t

【例1.2.3】 在例1.1.5中介绍的N（A）是矩阵A的核子空间（或者零空间），即

N（A）={x|Ax=0}=L（α1，α2，…，αn-r）

其中A∈R m × n，ra n k（A）=r，α 1，α 2，…，α n-r是Ax=0的一个基础解系，di m N（A）=n-r，di m N（A）称为A的零度。

【例1.2.4】 在例1.1.6中矩阵A的值域R（A）={y=Ax|x∈Rn}可以看成由A的列向量生成的子空间。因为，若α1，α2，…，αn为m×n矩阵A的列向量，则它们的任意一个线性组合

这说明，所有乘积Ax的集合

{y=Ax|x∈Rn}

与A的列向量组的线性组合的集合L（α1，α2，…，αn）相同，即

R（A）=L（α1，α2，…，αn）

若rank（A）=r，则

dim R（A）=rank（α 1，α 2，…，αn）=rank（A）=r

从例1.2.3与例1.2.4可以看出

其中，di m R（A）称为A的秩，而di m N（A）称为A的零度。对于任意A∈Cm × n，式（1.2.2）都是成立的。

定理1.2.2（基的扩充定理）设L（α1，α2，…，αS）是线性空间V的一个子空间，则子空间L的任何一个基可扩成V的一个基。

证明略。

1.2.2 子空间的交与和

子空间除了可以由线性空间中的元素生成以外，还可以由子空间经过集合运算而生成。

定义1.2.2 设U1和U2是数域F上线性空间V的子空间，则由U1与U2所有公共元素（向量）组成的集合，称为U1与U2的交空间，记为U1∩U2，即

U1∩U2={α|α∈U1且α∈U2}

定理1.2.3 数域F上线性空间V的两个子空间U1与U2的交空间U1∩U2，仍是V的子空间。

证 U1与U2是V的子空间，则V的零向量0同属于U1和U2，即0∈U1∩U2，故U1∩U2是非空子集。

任取α，β∈U1∩U2，则α，β∈U1且α，β∈U2。由于U1和U2是子空间，故α+β∈U1且α+β∈U2，所以α+β∈U1∩U2。

再任取α∈U1∩U2，k∈F。由于α∈U1和α∈U2且U1和U2都是子空间，所以有kα∈U1且kα∈U2，因此kα∈U1∩U2。于是，U1∩U2是V的子空间。

定义1.2.3 设U1、U2是数域F上线性空间V的子空间，且α∈U1，β∈U2，则所有α+β这样的元素的集合称为U1与U2的和，记为U1+U2。即

U1+U2={γ|γ=α+β，α∈U1，β∈U2}

定理1.2.4 若U1与U2是数域F上线性空间V的两个子空间，则它们的和U1+U2也是V的子空间，称为U1与U2的和空间。

证 显然U1+U2是V的非空子集。因为0=0+0，故0∈U1+U2。

对任意向量α，β∈U1+U2，则α=α1+α2，β=β1+β2，其中α1，β1∈U1；α2，β2∈U2。因为α1+β1∈U1，α2+β2∈U2，所以

α+β=（α1+α2）+（β1+β2）=（α1+β1）+（α2+β2）∈U1+U2

对任意α∈U1+U2，k∈F，则α=α1+α2。其中α1∈U1，α2∈U2。又kα1∈U1，kα2∈U2，所以kα=k（α1+α2）=kα1+kα2∈U1+U2，故U1+U2是V的子空间。

要注意的是，V的两个子空间U1与U2的并U1∪U2一般不再是V的子空间。

【例1.2.5】 在立体几何空间R3中U1与U2分别表示过原点不重合的直线l1与l2上所有向量形成的子空间。显然，U1∩U2为l1与l2交点（原点）形成的零子空间，而U1+U2是由l1与l2所确定的平面上全体向量形成的子空间。

定理1.2.5 设α1，α2，…，αs与β1，β2，…，βt是线性空间V中两组向量，则有

要证式（1.2.3）成立，只需证明式（1.2.3）等号两边的子空间互相包含即可。

事实上，任取γ∈L（α1，α2，…，αs）+L（β1，β2，…，βt），则γ=α+β，其中，α∈L（α1，α2，…，αs），β∈L（β1，β2，…，βt）。由于α可由α1，α2，…，αs线性表出，β可由β1，β2，…，βt线性表出，显然α+β就可由α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性表出。则有

γ∈L（α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt）

于是可得

类似还可证明

请读者自证。

关于两个子空间的交与和的维数，有以下重要结论。

定理1.2.6 设U1与U2是数域F上线性空间V的两个子空间，那么有以下公式成立：

上式称为维数公式。

证 设dimU1=s，dimU2=t，dim（U1∩U2）=r。

因为U1∩U2是U1与U2的子空间，取U1∩U2的一组基

α1，α2，…，αr

由定理1.2.2得知，它可扩充成U1的一组基

α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βs-r

同样也可扩充成U2的一组基

α1，α2，…，αr，γ1，γ2，…，γt-r

这样

U1=L（α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βs-r）

U2=L（α1，α2，…，αr，γ1，γ2，…，γt-r）

由定理1.2.5有

U1+U2=L（α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βs-r，γ1，γ2，…，γt-r）

现研究向量组

α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βs-r，γ1，γ2，…，γt-r

的线性相关性。

设有如下等式：

k1α1+…+krαr+p1β1+…+ps-rβs-r+q1γ1+…+qt-rγt-r=0

则令

可见α∈U1且α∈U2，于是α∈U1∩U2。

设

并将其代入式（1.2.5），则有

l1α1+…+lrαr+q1γ1+…+qt-rγt-r=0

由于α1，α2，…，αr，γ1，γ2，…，γt-r是U2的基，所以它们线性无关，由此得到

l1=l2=…=lr=q1=q2=…=qt-r=0

由式（1.2.6），α=0。这样，根据式（1.2.5）有

k1α1+…+krαr+p1β1+…+ps-rβs-r=0

由于α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βs-r是U1的基，它们也线性无关，又得到

k1=k2=…=kr=p1=p2=…=ps-r=0

所以向量组

α1，…，αr，β1，…，βs-r，γ1，…，γt-r

线性无关，说明这组向量是U1+U2的一组基。故有

dim（U1+U2）=s+t-r

所以，式（1.2.4）表达的维数公式成立。

推论 U1与U2是数域F上的n维线性空间V的两个子空间，若它们维数之和大于n，则U1与U2必含有公共非零向量。

证 已知dimU1+dimU2＞n，由维数公式，必有

dim（U1∩U2）=dimU1+dimU2-dim（U1+U2）＞n-dim（U1+U2）≥0

后一个不等式成立是因为U1+U2是V的子空间，所以有dim（U1+U2）≤dimV=n，所以U1∩U2为非零子空间，必含有公共非零向量。

【例1.2.6】 已知α1=（1，2，1，0）T，α2=（-1，1，1，1）T，β1=（2，-1，0，1）T，β2=（1，-1，3，7）T，U1=L（α1，α2），U2=L（β1，β2），求：

（1）U1+U2的基与维数；

（2）U1∩U2的基与维数。

解（1）由定理1.2.5得

U1+U2=L（α1，α2，β1，β2）

易得α1，α2，β1是向量组α1，α2，β1，β2的极大无关组，它是U1+U2的基，故dim（U1+U2）=3。

（2）因为dim（U1+U2）=3，dimU1=dimU2=2，由维数公式得

dim（U1∩U2）=1

下面求U1∩U2的基。

设α∈U1∩U2，则

α=k1α1+k2α2=k3β1+k4β2

即

k1α1+k2α2-k3β1-k4β2=0

此齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，因此基础解系含一个解向量，可求出一个基础解系为

（k1，k2，k3，k4）T=（-1，4，-3，1）T

于是 γ=-α1+4α2=-3β1+β2=（-5，2，3，4）T

所以U1∩U2的一个基为γ=（-5，2，3，4）T，故

U1∩U2=L（γ），di m（U1∩U2）=1

1.2.3 子空间的直和与补子空间

下面介绍子空间直和，它是子空间和的特殊情况。

定义1.2.4 设U1与U2是数域F上线性空间V的两个子空间，若U1∩U2={0}，则称U1+U2为直和，记做U1⊕U2或。

【例1.2.7】 U1与U2分别是R3中过原点的直线与平面，且U1不在U2上。显然U1+U2=R3，且U1∩U2={0}，所以U1+U2是直和，即U1⊕U2。

【例1.2.8】 U1与U2分别是实数域上齐次线性方程组的解空间，求证Rn=U1⊕U2。

事实上，齐次线性方程组（1.2.7）系数矩阵的秩为1，基础解系含有n-1个解向量。可求出它的一个基础解系为

又齐次线性方程组（1.2.8）系数矩阵秩为n-1，基础解系含一个解向量，可求出它的一个基础解系为

en=（1，1，…，1）

显然有U1=L（e1，e2，…，en-1），U2=L（en）。若设α∈U1∩U2，则存在k1，k2，…，kn-1，kn，使

α=k1e1+k2e2+…+kn-1en-1=knen

由此可得

k1e1+…+kn-1en-1-knen=0

易看出e1，e2，…，en-1，en线性无关。则必有

k1=k2=…=kn-1=kn=0

即α=0，于是U1∩U2={0}。

所以，Rn=U1⊕U2。

关于两个子空间的直和有以下结论。

定理1.2.7 设U1与U2是数域F上线性空间V的两个子空间，下面的条件是等价的：

（1）U1+U2是直和；

（2）dim（U1+U2）=dimU1+dimU2；

（3）U1+U2中每一向量α的分解式唯一，即

α=α1+α2，α1∈U1，α2∈U2

（4）如α1，…，αt是U1的一个基，β1，…，βs是U2的一个基，则α1，…，αt，β1，…，βs是U1+U2的一个基。

证略。

子空间直和的概念可以推广到多个子空间情况，这里不再重复。

定义1.2.5 若数域F上的n维线性空间V可表成两个子空间U1与U2的直和，即

V=U1⊕U2

则称U1，U2为线性空间V的一对互补子空间，并称V有一个直和分解。

可以证明，线性空间V的任何一个子空间U1一定存在补子空间U2使V=U1⊕U2，但是，一般地，子空间U1的补子空间不是唯一的。如：

设R3的子空间U1=L（α1，α2），其中α1=（0，1，0），α2=（0，0，1），则由α3=（1，0，0）或α4=（1，1，0）构成的子空间L（α3）或L（α4）均是U1的补子空间。