引言
数学到底是一种由行家施展身手来表演如何化解难题的高度复杂的智力游戏，还是数学家在探索数学实在这一独立领域过程中所带来的发现？为什么这个看似抽象的学科能够提供打开物理宇宙深层秘密的钥匙？如何回答这些问题将明显影响着我们对实在的形而上的思考。在冈道尔夫堡和剑桥召开的两次跨学科专题讨论会上，数学家、物理学家和哲学家们对这些问题进行了探讨。本书以周详的形式再现了每位与会者在会议热烈讨论中所展现的风采。文章尽力保持这样一种平衡：既反映进行这种讨论所需的思想精确性，又照顾到准备在此领域做出一番事业的非专业读者的可读性。
剑桥大学科学哲学教授彼得·利普顿参加了第一次会议，并有精彩发言。但不幸的是，这之后他溘然长逝，对此我们感到非常难过。所有与会者有一个共同心愿：将本书作为我们对这位尊敬的学者和谦和、富于启迪的同事的美好追忆。
本书的前两章由数学家蒂莫西·高尔斯和马库斯·杜·索托伊撰写。他们能够充分利用长期从事数学研究的丰富经验来阐述问题。高尔斯特别重视“发明”和“发现”这两个词是如何被数学界实际运用的。他的结论是，当导致重要结论的论证基本上只有唯一一条途径时，用“发现”来说明似乎是恰当的。而如果存在多条清晰的论证途径时，则人们更愿意用“发明”一词来形容。杜·索托伊描述了在洞察一个事件时灵感闪现的情形，这是这样一种经验：可以确信，有待识别的东西早就“已经在”那儿等待被发现了。
接下来的两章由数学物理学家约翰·波金霍尔和罗杰·彭罗斯撰写。波金霍尔旨在通过对哥德尔不完全性和人类数学能力进化的论述来捍卫数学实在。两位物理学家都非常看重数学在他们做出发现过程中所扮演的角色。彭罗斯认为，哥德尔不完全性意味着有意识的思想要远比神经网络计算来得复杂。
其余章节由哲学家执笔。彼得·利普顿撰写的一章以短文呈现，以彰显他对第一次研讨会做出的贡献。这篇文章讨论了知识、理解和解释等概念，强调了他认为这些概念在科学和数学之间应用的差异。斯图尔特·夏皮罗帮忙为本文提供了一个附录，说明本次讨论的一些方法可能会得到进一步扩展。玛丽·伦对那种发现的感觉——许多数学家论证认为必然由此导致柏拉图的数学实在的观点——持否定态度。相反，她认为，这种感觉可以理解为出自逻辑上的必然性。迈克尔·德特勒夫森则对古代和现代围绕发明或发现的争论进行了广泛的调查。他对哥德尔著名的数学“知觉”与感性知觉之间的类比给予了谨慎的批评。斯图尔特·夏皮罗认为，数学是一种人类活动，其传统源自人类的选择。在他看来，关键概念是“认知律令”。这个概念用来说明不同的人做同样的计算所取得的结果应有必然的一致性这一现象。他认为这一观点鼓励人们从发现的角度去看问题。吉迪恩·罗森探讨了这样一种观念：数学的地位相当于他所谓的“有条件的实在论”。他将这一判断描述成对数学作为“形而上学上第二等”的一种裁决，因为它依赖于更基本的逻辑事实。最后，马克·施泰纳将我们领向笛卡儿而不是柏拉图。他强调，数学似乎能够提供某种“剩余价值”，允许数学家超越公理（数学家自己则将这种超越称为“深入”的品质）。
本项研讨会的一个特点是讨论氛围的活泛和透彻。与会者希望本书能将这种气质传递给读者，因此我们对每篇文章都附上一篇由其他与会者撰写的短评。我们相信，这些评论是正文报告的一个重要组成部分，它反映了研讨会带来的启发性和挑战性。
研讨会的两次会议均得到了约翰·邓普顿基金会（John Templeton Foundation）的支持。所有与会者对这一慷慨资助表示由衷的感激。我们特别要感谢基金会的玛丽·安·迈尔斯博士，她在组织协调方面提供了大力帮助，并对会议议题表现出浓厚兴趣。