2.4 测量误差_互换性与测量技术-QQ阅读男生历史网

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2.4　测量误差

2.4.1　测量误差及其表示

（1）测量误差　测量结果（测得值）减去被测量的真值。若用δ表示测量误差（本章中也简称误差），x表示被测量，x0表示被测量的真值，则

δ=x-x0　　（2-3）

在实际测量工作中，由于被测量的真值无法确定，因此实际上是用约定真值（比测得值更接近真值的量值，如多次测量结果的算术平均值、高精度量块的量值等）近似确定测量误差。此外，测量误差是代数差，可能为正、负、零。

（2）测量误差的表示　测量误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。

绝对误差就是定义所指的测量误差，其大小可以在一定程度上反映测量精度的高低。但当比较大小不同的被测量的测量精度时，用测量的绝对误差就显得不太合理，此时应把被测量大小的因素考虑进去，从而又有了相对误差的概念。相对误差定义为绝对误差与被测量真值的比值（通常用比值绝对值的百分数），用ε表示。由于真值是未知的，因此通常用测得值x代替真值来近似计算相对误差，即

根据相对误差可以对多个大小不同被测量的测量精度的高低进行比较。测量的相对误差越小，表明测量精度越高。例如，两被测量的大小分别为x1=30mm和x2=50mm，对这两个被测量进行测量的绝对误差分别为δ1=+0.03mm和δ2=-0.04mm。由于被测量的大小不同，因此不能用绝对误差而应该用相对误差的绝对值来比较测量精度的高低。本例中，相对误差ε1=0.1％、ε2=0.08％，故后者的测量精度比前者高。

2.4.2　测量误差的来源

在几何量测量过程中，引起测量误差的因素很多，为提高测量精度，有时要分析测量误差的产生原因，计算各误差因素对测量结果的影响程度，并设法减小这些影响。测量误差的来源主要有以下几个方面。

2.4.2.1　测量器具误差

测量器具误差是指测量器具本身在设计、制造和使用过程中所引起的误差，包括以下几部分。

（1）原理误差　为简化设计，相当一部分测量器具所采用的测量变换原理都是近似的，由此产生的测量误差称为原理误差。例如，杠杆齿轮比较仪中测杆的直线位移与指针的角位移不是线性关系，但表盘却采用了等分刻度；电动量仪中忽略放大、整流、滤波等电路的非线性或非线性补偿不完全等，都属于原理误差。

还有一类原理误差是由测量器具在结构布置上的不合理所造成的，即违反阿贝原则所引起的阿贝（Ernst Abbe）误差。阿贝原则说的是被测量轴线只有与标准量的测量轴线重合或在其延长线上时，测量才会得到精确的结果。由此可见，千分尺、内径千分尺等测量器具符合该原则，游标卡尺不符合。

（2）基准件误差　测量器具中用来体现标准量（测量单位）的基准件（如量块、线纹尺、光波波长等）的各种误差，也将以一定的关系反映到测量结果中。

（3）制造、装配、调整误差　测量器具组成零部件的制造、装配、调整误差也会产生测量误差。如游标卡尺刻线的刻划误差、指示表盘刻线分布圆心与指针的回转轴线有安装偏心等。

（4）使用误差　测量器具在使用一段时间后，其组成零部件的变形、磨损，电子元件参数的改变等，也会产生测量误差。

2.4.2.2　测量方法误差

测量方法误差指的是由于测量方法不完善而引起的测量误差。

（1）安装、定位误差　例如图2-9（a）中的被测直径未能正确放置在测头下，所测得的长度不是被测件的直径；在图2-9（b）中，安装时测量线方向相对被测件的直径发生了倾斜，所测得的也不是被测件的直径。

图2-9　测量方法误差

（2）测头形式不合理　在图2-9（c）中，欲测局部尺寸，合理的方法是采用两点式测头。若采用平端面圆柱测头，则必然产生测量误差。

（3）基准不统一　基准统一原则是测量的基本原则之一，测量时应根据测量的目的选择测量基准。对中间（工艺）测量应选工艺基准为测量基准，对终结（验收）测量应选设计基准为测量基准。测量基准不满足上述条件将会造成测量误差。

（4）采用近似的计算公式　例如测量大圆柱直径D时，先测量周长L，再按照D=L/π计算求得D。由于π是无理数，若计算时取π=3.1416，则D的结果会因π取近似值而产生误差。

（5）测量力误差　在接触测量中，测量力会引起测头及工件材料的变形而产生测量误差。当对测量误差有比较严格的要求时，要通过计算对测量力误差进行修正。

2.4.2.3　测量环境误差

测量环境误差指的是由测量时的环境条件不符合标准条件所引起的测量误差。环境条件是指温度、湿度、振动、气压、灰尘等，其中以温度对测量结果的影响最大。根据国家标准的规定，测量的标准温度为20℃。若测量环境使被测件的温度及计量器具的温度偏离了标准温度，则会引起测量误差。

2.4.2.4　人员误差

人员误差指的是由操作者主观上的因素（情绪、疲劳、技术熟练程度、眼睛的分辨能力、瞄准习惯等）所产生的测量误差。

2.4.3　测量误差的分类

2.4.3.1　测量误差的分类

根据特点和性质，测量误差可分为以下三类。

（1）系统误差　系统误差指的是在一定的测量条件下多次测量同一被测量时，误差的大小和符号均不变或按某一规律变化的测量误差。

误差的大小和符号均不变化的系统误差称为定值系统误差，例如千分尺零位不正确而产生的测量误差，这类误差应通过修正值法予以消除。修正值等于定值系统误差的相反数，给测得值加修正值等于减去定值系统误差。若用Δ定表示定值系统误差，则修正值

K=-Δ定　　（2-5）

误差的大小和符号按某一规律（如线性规律、正弦规律等）变化的系统误差称为变值系统误差，例如环境温度引起的不同温度下的测量误差。对这类误差的处理原则是确定变化的规律后，根据误差的变化规律通过适当的技术手段予以修正。

另外，根据对误差的大小、符号或变化规律的掌握情况，系统误差还可分为已定系统误差和未定系统误差两类。已定系统误差指的是大小、符号或变化规律已被测量者掌握的系统误差，未定系统误差则正好相反。对已定系统误差的处理原则同前所述，对未定系统误差的处理原则是估计出误差的范围，然后将其按随机误差处理。

（2）随机误差　随机误差指的是在一定的条件下多次测量同一被测量时，误差的大小和符号均以不可预测的方式出现的一类测量误差。所谓不可预测指的是无法预见下一次测量时所出现的测量误差的大小和符号。虽然某一次测量的随机误差的大小和符号不可预测，但若把相同条件下多次测量的测量随机误差看成是一个总体，那么这一总体中测量随机误差的大小、符号却是按一定的分布规律（如正态分布、均匀分布、t分布等）分布的。

随机误差无法避免，在理论上也无法完全消除。对随机误差的处理原则是：用概率论和数理统计的方法减小其影响，估计出在一定置信概率下误差可能出现的范围（极限误差）。

（3）粗大误差　粗大误差指的是超出预计的一类测量误差，可以理解为明显歪曲测量结果的误差。这类误差往往是由测量者主观上的操作过失（读数错误、瞄准错误或被测件安装出现较大误差等）或客观上测量条件的意外变化（突发振动、电脉冲干扰等）导致的。

粗大误差的存在会明显歪曲测量结果，所以含有粗大误差的测量结果是不能用的。对这类误差的处理原则是：按一定的判别准则找出含有粗大误差的测得值，然后从测得值序列（测量列）中将它们剔除。

2.4.3.2　测量精度的表述方法

人们经常提到的关于测量精度的术语主要有测量的正（准）确度、精密度、精确度、不确定度等，下面逐个介绍。

（1）正（准）确度　正（准）确度反映的是测量结果中所含系统误差的大小，系统误差越小，正（准）确度越高。

（2）精密度　精密度反映的是测量结果中所含随机误差的大小，随机误差越小，精密度越高。

（3）精确度　精确度（简称精度）是正（准）确度和精密度的综合，是对测量结果中所含系统误差与随机误差的综合反映。只有当正确度、精密度二者都高时，测量的精确度才高。图2-10所示的打靶结果示意说明了上述三个术语的意义及相互之间的关系。

图2-10　正（准）确度、精密度、精确度及其关系

（4）不确定度　在修正掉已定系统误差、剔除掉粗大误差后，测量结果中还含有随机误差和未定系统误差。这两类误差是估计被测量真值存在范围（真值对测量结果的分散性）的基本依据。

测量不确定度是与测量结果相联系的参数，表征可被合理地赋予被测量的量值的分散特性。以标准偏差表示的测量不确定度称为标准不确定度，它可按A类评定标准评定（对观测列进行统计分析评定不确定度），也可以按B类标准评定（根据以前的测量数据、测量器具的产品说明书、检定证书、技术手册等有关资料评定不确定度）。与一定的置信水平相对应，用标准偏差的若干倍（通常为2～3倍）来确定测量结果的存在区间，称为扩展不确定度。

2.4.4　随机误差的处理

2.4.4.1　随机误差的分布规律

随机误差是由测量过程中一些不稳定的、随机变化的因素所导致的，如温度的波动、计量器具中传动间隙的变化、示值变动、测力不稳定等。尽管某一次测量的随机误差的大小和符号是无规律的，但若用同样的方法在同样的条件下对同一被测量进行多次重复测量，则这些测量结果（测得值）所对应的随机误差在总体上却是按一定的分布规律分布的（注：本书中如无特指，均认为测量的随机误差服从正态分布）。

表2-4为在相同的测量条件下对某轴销的同一部位进行200次测量后所得到的200个测量结果的统计表。测量结果中已消除了系统误差和粗大误差的影响，差异是由随机误差引起的。测得值的最大值为20.012mm，最小值为19.990mm。把这一分布区间再细分为11个小区间，即对测得值按大小进行分组统计，得到测得值落在分布区间内的详细具体情况（统计学中的直方图）。

表2-4　测量结果统计表

以测得值x为横坐标、测得值出现在某一区间内的频率ni/N为纵坐标作图，可以得到如图2-11所示的统计直方图，各区间中点连成的折线称为实际分布曲线。如果测量次数N→¥，分组区间的间隔Δx→0，则可得到如图2-12所示的光滑分布曲线。实验表明，除少数情况外，测量的随机误差大多服从正态分布。图2-12中的分布曲线称为正态分布曲线（Gauss曲线），其纵坐标p称为概率密度。

图2-11　测得值的实际分布

图2-12　正态分布曲线

由概率论可知，正态分布的概率密度函数为

式中，p称为概率密度；σ称为标准偏差。由于确定随机误差δ=x-x0时被测量真值x0是无法确定的，通常的做法是用约定真值（算术平均值，后详）替代真值x0，此时的概率密度函数变成

作为一种随机变量，含有随机误差的测得值也有两个表征其分布特性的数值参数——算术平均值（数学期望）和标准偏差σ（方差的平方根）。

2.4.4.2　随机误差的特性

服从正态分布的随机误差具有以下几个特性。

（1）单峰性　绝对值小的随机误差比绝对值大的随机误差出现的概率大。从分布曲线及概率密度函数中也可以看出，在δ=0处存在一个峰值，表明绝对值为零的随机误差出现的概率最大。

（2）对称性　绝对值相等、符号相反的随机误差出现的概率相等。

（3）抵偿性　在相同的测量条件下对同一被测量进行多次重复测量，所有随机误差的代数和等于零。

（4）有界性　在一定的测量条件下，随机误差的分布范围是有限的，即随机误差的绝对值不会超过一定的界限。

利用上述特性，可以用数理统计的方法分析、处理测量的随机误差，尽可能减小随机误差对测量结果的影响。

2.4.4.3　算术平均值

对于一定的测量方法，所对应的随机误差体现在各测得值中。也就是说，任何一次测量的结果都可能含有随机误差。那么如何获得最可信赖即随机误差最小的测量结果呢？如果可以对被测量进行多次重复测量，得到一系列测得值xi=x0+δi（i=1，2，…，n），那么算术平均值

由于随机误差具有抵偿性，当测量次数n→¥时，→0，因此→x0。

尽管实际测量中重复测量的次数n都是有限的（通常为几次至几十次），但由于在取算术平均的过程中仍可抵消掉一部分随机误差，所以在多次重复测量时，通常以测得值的算术平均值作为测量结果，称为算术平均值原理。算术平均值也称为最可信赖值。

2.4.4.4　标准偏差

概率密度函数反映了不同大小的随机误差出现的概率密度。对于某一种测量方法，正态分布概率密度函数中的标准偏差σ是唯一影响正态分布曲线形状（测得值分散性）的指标。图2-13给出了三个不同大小标准偏差的正态分布曲线。从图中可以看出，σ越小，曲线越陡且峰值越大，表明测得值和随机误差越集中，分散性越小，测量的精密度越高；σ越大，曲线越平坦且峰值越小，表明测得值和随机误差越分散，测量的精密度越低。因此，用标准偏差可以表征测得值和随机误差的分散性。

图2-13　标准偏差对测得值分散性的影响

正态分布曲线的分布中心对应于测得值的算术平均值（或真值），而标准偏差可以用来描述测得值之间及测得值对算术平均值（或真值）的分散性。

标准偏差是确定测量不确定度（极限误差）的基本依据。某种测量方法的标准偏差既可按B类评定标准评定，也可按A类评定标准评定。实际中更多的是按A类评定标准评定的，即对观测列进行统计分析来确定标准偏差，称为实验估计法。

标准偏差的实验估计所用的公式为

该式也称为贝塞尔（Bessel）公式。式中

vi称为残余误差或剩余误差（简称残差）。它是在真值不能确定的情况下，为体现误差的特性，用算术平均值作为被测量x的约定真值而引入的参数。残余误差有以下两个性质。

（1）所有残差的代数和等于零，即；

（2）所有残差的平方和为最小，即。

残余误差的第一个性质可以用来检验算术平均值和残余误差计算的正确性。残余误差的第二个性质表明，以算术平均值作为测量结果比用任一个测得值作为测量结果更为合理。

单次测量的测得值是随机变量，其分散性用单次测得值的标准偏差（即前面的标准偏差σ）表征。而由多个单次测得值计算得到的算术平均值也是一个随机变量，其本身对真值也有随机误差，只不过分散性比单次测得值要小。如果在相同的条件下对同一被测量进行若干组“n次重复测量”，则可以发现各组测得值的算术平均值也不尽相同，表明各算术平均值对真值、各算术平均值之间也有一定的分散性（见图2-14）。通过重复测量还可以发现，重复测量的次数n越多，算术平均值的分散性越小，算术平均值越接近真值。

图2-14　算术平均值的分散性

算术平均值的随机误差（分散性）是用算术平均值的标准偏差（通常用表示）表征的。由概率论可知，算术平均值的标准偏差不仅与单次测得值的标准偏差σ有关，还与取平均的测得值个数n有关，它们之间的关系是

由式（2-10）可以看出，增加取平均的重复测量次数n，可以减小算术平均值的标准偏差（随机误差）。但在实际测量工作中n不宜过大，一方面当n大到一定程度后对的影响就变得不太明显，另一方面过多的测量次数将会带来更多、更大的测量误差。通常n取几次至十几次为宜。

2.4.4.5　极限误差

测量的极限误差指的是测量误差不可能超过的极限。由概率密度函数的定义可知，测量误差落在任意区间［δ1，δ2］内的概率P［δ1，δ2］（图2-15中阴影部分的面积）为

图2-15　随机误差落在［δ1，δ2］之间的概率

令z=δ/σ表示误差对标准偏差的比值（倍数），则上式变成

若［z1，z2］取为单向区间［0，z］，如图2-16（a）所示，则

若［z1，z2］取为对称区间［-z，z］，如图2-16（b）所示，则

图2-16　概率积分函数

Φ（z）称为概率积分函数或拉普拉斯（Laplace）函数，其值只与z有关。部分Φ（z）及2Φ（z）的值列于表2-5中。

表2-5　概率积分Φ（z）的值

由上表可以看出，测量误差落在［-3σ，+3σ］内的概率为0.9973，这相当于测量370次才可能有一次（概率为0.27％）测量误差超出此误差界限，而实际测量中的测量次数通常最多为几十次，因此把［-3σ，+3σ］（或表示成±3σ）作为测量极限误差，并用δlim表示，即

δlim=±3σ（P=0.9973）　　（2-15）

极限误差所对应的误差范围±3σ称为置信限（注：实际工作中也有采用其他置信限的），括号中的P称为置信概率。

上面讨论的是单次测得值的测量极限误差。如果是多次测量，应该用算术平均值表示测量结果，其测量极限误差为

2.4.4.6　测量结果的表示

测量结果的正确表示是应该给出被测量真值可能存在的范围（而不是一个具体的量值），必要时还要给出置信概率。如果测量列中不含系统误差及粗大误差，则测量结果应如下表示。

单次测量时，应该用单次测量的测得值x表示测量结果，即

x0=x±3σ（P=0.9973）　　d（2-17）

它所表示的含义是：被测量的真值有0.9973的概率是在［x-3σ，x+3σ］的范围内。

多次重复测量时，应该用多个测得值的算术平均值表示测量结果，即

它所表示的含义是：被测量的真值有0.9973的概率是在的范围内。

例2-2　用立式光学比较仪对某零件的直径进行了10次重复测量，10个测得值如下（mm）：22.0360、22.0365、22.0362、22.0364、22.0367、22.0363、22.0366、22.0363、22.0366、22.0364。假设测得值中已不存在系统误差和粗大误差，试给出该直径的测量结果。

解：为便于计算，将有关数据列入表2-6中。

表2-6　例题数据表

（1）计算测得值的算术平均值。

（2）估计单次测得值的标准偏差，并计算算术平均值的标准偏差。

（3）计算算术平均值的极限误差。

（4）写出被测直径的测量结果。

2.4.5　系统误差的处理

系统误差以一定的规律对测量结果产生较显著的影响。分析处理系统误差的关键在于发现系统误差，进而设法消除或减小系统误差，以便有效地提高测量精度。

2.4.5.1　系统误差的发现

（1）定值系统误差的发现　定值系统误差可以用实验对比的方法发现，即通过改变测量条件进行不等精度测量来揭示定值系统误差。例如，量块按标称长度使用时，由于量块的尺寸偏差，使测量结果中存在着定值系统误差。此时可用高精度仪器对量块的实际尺寸进行测量，或用另外的高一级以上的量块进行对比测量来发现量块标称长度所引起的定值系统误差。

（2）变值系统误差的发现　变值系统误差可以通过对测得值序列的处理和分析观察来发现。常用的方法是残差观察法，即将测量列（测得值序列）按测量顺序排列或作图，观察各残差的变化规律。若各残差大体上正负相间，无明显的变化规律，表示不存在变值系统误差，如图2-17（a）所示；若各残差按近似的线性规律递增或递减，则可判断存在线性系统误差，如图2-17（b）所示；若各残差按近似的某一周期规律变化，则可判断存在周期性系统误差，如图2-17（c）所示。显然，在应用残差观察法时，必须进行足够多次的重复测量，各次测量的时间间隔要均匀，测得值要按测量的顺序组织，否则不能正确地判断、发现测量列中的变值系统误差。

图2-17　发现变值系统误差的残差观察法

2.4.5.2　系统误差的消除

系统误差从理论上是可以完全消除的，但由于许多因素的影响，实际上只能将其减小到一定程度而不能完全消除。常用的消除系统误差的方法有以下几种。

（1）从产生误差的根源上消除　这是消除系统误差最根本的方法。在测量前，应对测量过程中可能产生系统误差的环节作仔细分析，将误差从根源上加以消除。例如，测量前要仔细调整仪器的工作台、调准零位、测量器具和被测件应处于标准温度状态、测量者要正对指针进行读数等。

（2）用加修正值的方法消除　这种方法需要预先检定出测量器具的定值系统误差，取相反数作为修正值，用代数法加到实际测得值上，即可将定值系统误差从测量结果中消除掉。例如，量块的实际尺寸不等于标称长度，若按标称长度使用，就要产生系统误差，而按检定测量后的实际尺寸使用，就可避免此项误差的产生。

（3）用两次读数法消除　如果可以测得两个含有大小相等、符号相反系统误差的测得值，那么可以通过将这两个测得值取平均值的方法来消除系统误差。例如，在工具显微镜上测量螺纹的螺距时，如图2-18所示，若安装后螺纹的中心线与仪器工作台纵向移动方向不一致，则会使测得的左、右螺距不等于螺距的真值，一个产生正误差（偏大），一个产生负误差（偏小），而误差的大小是相同的。这种情况下，可分别测出左、右螺距，取二者的平均值作为螺距的测量结果，即可消除因安装方向误差所带来的系统误差。

图2-18　螺距测量系统误差的消除

（4）用对称测量法消除　对于线性系统误差，可采用对称测量法消除。例如，在进行比较测量时，若温度随时间线性变化，则产生随时间线性变化的系统误差，此时可采取下面的等时间间隔测量步骤：①测被测件；②测标准件；③测标准件；④测被测件。测量结束后，取①、④读数的平均值与②、③读数的平均值之差作为被测件尺寸相对于标准件尺寸的实际偏差，即可消除温度变化所产生的线性系统误差。

（5）用半周期法消除　对于某些周期性变化的系统误差，特别是按正弦规律变化的系统误差，因相隔半个周期的测得值所含有的系统误差大小相等、符号相反，因此可以取这样两个测得值的平均值作为测量结果来消除此类系统误差。

2.4.6　粗大误差的处理

粗大误差的特点是误差的绝对值比较大，对测量结果产生了明显的歪曲，因此必须从测量列中将含有粗大误差的测得值剔除掉。剔除时不能靠主观臆断哪个测得值含有粗大误差，而应根据误差的特点用判别准则加以判断。按照不同的测量特点，粗大误差的判别准则有莱依达准则、肖维纳准则、狄克松准则、格拉布斯准则等，其中最简单、常用的是莱依达准则。

莱依达准则也称为3σ准则。考虑到大部分测量的随机误差都是服从正态分布规律的，而服从正态分布的随机误差的绝对值超过3σ的概率只有0.27％，因此此概率可以认为不会有绝对值超过3σ的随机误差出现。如果测量列中已没有系统误差，则可认为凡是残余误差的绝对值超过3σ所对应的测得值都含有粗大误差，应把这样的测得值从测量列中剔除。3σ准则的判断式为

|vi|>3σ　　（2-19）

2.4.7　测量误差的合成

在具体的某项测量工作中，影响测量误差的因素可能会有许多。这些因素按其性质、来源以不同的方式和程度影响着测量误差。将各种因素的误差按一定的原则或规律综合成为测量结果的总误差，称为误差的合成。

2.4.7.1　误差传递的规律

设某项测量的测量结果y=f（x1，x2，…，xn），其中（x1，x2，…，xn）是影响测量结果的因素，则它们之间的误差关系为

用微分的方式表示则为

由此可见，y的变化（误差）Δy除了与xi（i=1，2，…，n）的变化（误差）有关外，还与有关。称为因素xi对测量结果y的误差传递系数，用Ci表示，即

2.4.7.2　误差合成的原则

分析测量结果的总误差时，应根据误差的性质对各影响测量结果因素的误差进行合成。

（1）已定系统误差的合成　已定系统误差按代数和的原则进行合成，总的已定系统误差等于各影响因素的已定系统误差乘以误差传递系数后的代数和，即

对于直接测量，取Cxi=1。

（2）随机误差的合成　随机误差按先取平方和再开平方的原则进行合成，总的随机误差等于各影响因素的随机误差乘以误差传递系数后的平方和再开平方，即

在进行随机误差的合成时，各随机误差的置信概率必须相同（例如均为0.9973）。对于直接测量，取Cxi=1。

（3）未定系统误差的合成　对于未定系统误差，虽然它们影响测量结果的大小和符号都是确定的，但对于测量者是不知道的，测量者通常只能估计出这些误差的极限范围，因此一般把它们视为随机误差来处理，对这些未定系统误差的极限值乘以误差传递系数后先取平方和再开平方，即

对于直接测量，取Cxi=1。若同时存在随机误差和未定系统误差，则可在置信概率相同的条件下把它们一概当成随机误差处理，合成为一个总的随机误差。

例2-3　用千分尺测量黄铜零件的直径。已知测得值为60.125mm，车间（测量）温度为23℃±5℃，等温后零件和千分尺的温差不超过1℃，千分尺零点不对，有+0.01mm的误差。试估算总的测量误差，写出测量结果。

解：（1）估算各误差因素的误差

①测量器具（千分尺）的误差。

已定系统误差：

Δ已x1=+0.01mm

随机误差（来源于千分尺的不确定度，查有关资料获得）：

δlimx1=±0.005mm

②方法误差。

已定系统误差：

Δ已x2=0

随机误差（根据经验，用千分尺、游标卡尺等普通量具测量零件时，此项误差约为不确定度的1/3）：

③温度误差。

已定系统误差（因测量温度偏离标准温度20℃而产生）：

　　　　Δ已x3=L［（α2-α1）（t2-20）+α1（t2-t1）］

　　　　　　=60.125×［（18-11.5）×10-6×（23-20）+0］

　　　　　　≈+0.001mm

未定系统误差（因测量温度波动Δt≠0以及被测件与千分尺不等温t2-t1≠0而产生）：

（2）进行误差合成

总的已定系统误差：

　　　　　Δ已y=Δ已x1+Δ已x2+Δ已x3

　　　　　　　=（+0.01）+0+（+0.001）=+0.011mm

修正值　　K=-Δ已y=-0.011mm

总的随机误差和未定系统误差（极限误差）：

（3）写出测量结果

　　　　　　　y=60.125+K±δlimy

　　　　　　　　=60.125+（-0.011）±0.006=60.114mm±0.006mm

例2-4　在万能工具显微镜上用弓高弦长法间接测量不完整圆弧样板的半径，见图2-7（a），测得弦长l=40mm，对应的弓高h=4mm。已知测量弦长、弓高的系统误差和随机误差分别为Δl=-0.002mm、δliml=±0.002mm、Δh=+0.0008mm、δlimh=±0.0015mm，试确定半径R的测量结果。