第一章 随机事件与概率

一、知识要点

（一）随机事件与样本空间

1．随机试验

对随机现象进行的实验或观察统称为随机试验，简称试验，通常用字母E表示，它具有三个特点：

（1）试验可以在相同的情形下重复进行；

（2）试验的所有可能出现的基本结果是明确可知的，并且不止一个；

（3）每次试验总是恰好出现这些可能的基本结果中的一个，但在每次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个基本结果．

2．随机事件

（1）基本事件 随机试验的每一种可能的基本结果，称为基本事件．

（2）复杂事件 由多个基本事件所组成的试验的可能结果，相对于基本事件，称为复杂事件．

（3）随机事件 无论是基本事件还是复杂事件，它们在试验中发生与否，都带有随机性，都称为随机事件，简称事件，通常用字母A, B, C, …表示，必要时加上下标．如果组成一个事件的某一个基本事件发生了，就称这个事件发生．

（4）必然事件 每次试验中必然发生的事件称为必然事件，记作Ω.

（5）不可能事件 每次试验中必然不发生的事件称为不可能事件，记作∅.

3．样本空间

随机试验的一切可能的基本结果组成的集合称为样本空间，记为Ω={ω}，其中ω表示基本结果，称为该样本空间的样本点．样本空间是必然事件．

随机事件用由这些基本事件对应的样本点所构成的集合表示，它是样本空间的一个子集．该随机事件发生，当且仅当随机事件所包含的某个样本点在试验中出现．

（二）事件间的关系与事件的运算

1．事件间的关系与运算

在一个样本空间Ω中，可以定义多个随机事件．各事件间的关系和运算与集合间的关系和运算一样，为简明起见，将其归纳如下表：

2．事件运算的运算律

交换律 A+B=B+A; AB=BA.

结合律 A+（B+C）=（A+B）+C; A（BC）=（AB）C.

分配律（A+B）C=AC+BC;（AB）+C=（A+C）（B+C）.

对偶律（德摩根公式） .

3．常用结论

（1）∅⊂A⊂Ω; A⊂（A+B）, B⊂（A+B）.

（2）若A+B=A，则B⊂A.

（3）A+A=A.

（4）AB⊂A, AB⊂B.

（5）若AB=A，则A⊂B.

（6）A∅=∅A=∅, AΩ=A, AA=A.

（7）A-B⊂A.

（8）若A-B=A，则AB=∅.

（9）A-∅=A, A-Ω=∅, A-A=∅.

（10）

（11）A-B与AB互不相容，且A=（A-B）+AB.

（12）两个对立事件一定是互不相容事件；反之，两个互不相容事件不一定是对立事件．

（三）频率与概率

1．概率的定义

（1）统计定义

设进行n次重复试验，n（A）是事件A在n次试验中发生的频数，若当n充分大时，事件A发生的频率稳定地在某一常数p附近摆动，则称p是事件A的概率，记作P（A）=p.

（2）公理化定义（一般定义）

设Ω是随机试验E的样本空间，如果对于E中任一事件A⊂Ω，都对应一个实数P（A），且P（A）满足如下三个条件：

①P（A）≥0；

②P（Ω）=1；

③ 对于试验E的可列个互不相容事件A1, A2, …, An, …，有，则称P（A）为随机事件A的概率．

以上三个条件是概率的三条公理，利用它们能得到概率的性质．

2．概率的性质

（1）不可能事件的概率为0，即P（∅）=0.

（2）有限可加性 若AiAj=∅（1≤i≠j≤n），则特别是两个互不相容事件A与B之和的概率为P（A+B）=P（A）+P（B）.

（3）如果事件A1, A2, …, An, … 构成一个完备事件组，则有P（∑Ai）=1，特别有.

（4）P（A-B）=P（A）-P（AB），特别地，若B⊂A，则P（A-B）=P（A）-P（B），且P（A）≥P（B）.

（5）加法公式 对任意两个事件A, B，有P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）.

推广（一般加法公式）设A1, A2, …, An是n个随机事件，则有

（四）古典概型和几何概型

1．古典概型

若试验E满足条件：（1）样本空间中的样本点只有有限个，即基本事件总数是有限的（有限性）; （2）每个基本事件发生（出现）的可能性相同（等可能性），则称为古典概型．

在古典概型中，如果事件A是由全部n个基本事件中的某m个基本事件复合而成的（m称为有利于A的基本事件数），则事件A的概率定义为

2．几何概型

若对于一个随机试验，每个样本点出现是等可能的，样本空间Ω所含的样本点个数为无穷多个，且具有非零的、有限的几何度量，即0＜m（Ω）＜+∞，则称这一随机试验是几何概型．

在几何概型中，以m（A）表示任一事件A的几何度量，若0＜m（Ω）＜+∞，则事件A的概率定义为

（五）条件概率

1．条件概率定义

设A, B是试验E的两个事件，且P（A）＞0，则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，简称B对A的条件概率．

条件概率是概率论中一个重要的概念，它也是概率，因而具有概率的所有性质．

2．条件概率的计算

计算条件概率P（B|A）有两种方法：

（1）在样本空间Ω中，先算P（AB）, P（A），然后利用定义公式计算得P（B|A）.

（2）在样本空间Ω的缩减样本空间ΩA=A中计算B发生的概率即为P（B|A），并且这种方法比较方便．

3．乘法公式

设A, B为试验E的两个事件，若P（A）＞0，则有P（AB）=P（A）P（B|A）；若P（B）＞0，则有P（AB）=P（B）P（A|B）.

一般地，对于n个事件A1, A2, …, An，如果P（A1A2…An-1）＞0，则有

P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）…P（An|A1A2…An-1）.

（六）事件的独立性

1．定义

（1）两个事件相互独立

设A, B是试验E中的两个事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立，简称独立．

（2）三个事件相互独立

若事件A, B, C两两独立，并且P（ABC）=P（A）P（B）P（C），则称A, B, C相互独立．

（3）n个事件相互独立

设A1, A2, …, An是n个事件，若对其中任意k（2≤k≤n）个事件Ai1, Ai2, …, Aik（1≤i1≤i2≤…≤ik≤n），恒有P（Ai1Ai2…Aik）=P（Ai1）P（Ai2）…P（Aik），则称n个事件A1, A2, …, An相互独立．

（4）n个事件两两独立

设A1, A2, …, An是n个事件，若对任意1≤i1＜i2≤n个事件，恒有P（Ai1Ai2）=P（Ai1）P（Ai2），则称n个事件A1, A2, …, An两两独立．

事件A1, A2, …, An相互独立一定两两独立，反之两两独立不一定相互独立．

2．主要结论

（1）设A与B为两个事件，P（B）＞0，则A与B独立的充分必要条件是P（A|B）=P（A）.

（2）设A与B为两个事件，则A与B, 与B, A与 与中，只要有一对事件独立，其余三对也独立．

（3）设0＜P（A）＜1,0＜P（B）＜1，则下面4个等式等价，即其中任何一个成立，另外三个也一定成立：

（4）设n个事件A1, A2, …, An相互独立，则它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事件后，所得的n个事件也相互独立．

（5）设n个事件A1, A2, …, An相互独立，则有

3．伯努利概型

设试验E只有两种可能结果A和A-，且每次试验事件A发生的概率是p（0＜p＜1），即P（A）=p, ，将E独立地重复进行n次，则将这n次重复的独立试验称为n重伯努利试验，简称伯努利试验或伯努利概型，记为En.n重伯努利试验中事件A发生k次的概率为

（七）全概率公式与贝叶斯公式

1．全概率公式

如果事件A1, A2, …, An构成一个完备事件组，而且P（Ai）＞0（i=1,2, …, n），则对于任何一个事件B，有

此公式称为全概率公式．

使用全概率公式的关键是找到与事件B的发生相联系的完备事件组A1, A2, …, An.

2．贝叶斯公式

设事件A1, A2, …, An构成一个完备事件组，概率P（Ai）＞0（i=1,2, …, n），则对于任何一个事件B，若P（B）＞0，则有

此公式称为贝叶斯公式，又称为后验概率公式或逆概率公式．