从掷硬币打赌看投资组合问题

什么是投资组合？首先我们从掷硬币打赌谈起。

假设有一种可以不断重复的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两面出现的可能性相同；出现A面你投一亏一，出现B面你投一赚二；假设你开始只有100元，输了没法再借，现在问怎样重复下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户？

我们可以像小孩子玩登山棋那样，几个人下不同的赌注，然后重复掷硬币，看谁最先变成百万富翁。你可能为了尽快地变为百万富翁而押上你全部的资金。可是只要输一次，你就会变成穷光蛋，并且永远失去发财的机会。你可能每次下注10元，但是，如果连输10次，你就完了。但是，从另一角度看，如果你已经是万元户了，下10元是不是太少了？每次将你所有资金的10%用来下注，这也许是个不错的主意。首先，你永远不会亏完（假设下注的资金可以无限小）；第二，长此以往，盈亏的次数大致相等时，你总是赚的。假设平均两次，你输一次赢一次，则你的资金会变为原来的（1+0.2）×（1-0.1）=1.08倍。可是，以这样的速度变为百万富翁是不是太慢了，太急人了？有没有更快的方法？有！理论研究表明，每次将你所有资金的25%或0.25倍用来下注，你变为百万富翁的平均速度将是最快的。

几个不同下注比例带来的资金变化如图2-1所示（掷币结果分别是A、B、A、B…）。实验表明，张大胆每次投100%，赢时赢得多，可亏时亏得惨，一次亏损就永远地被淘汰出局；李糊涂每次下50%，收益大起大落，到头来白忙；王保守每次下10%，稳赚但少赚；“你”每次下25%，长期看结果最好。

图2-1 资金增值随几种不同投资比例的变化

前面的打赌中，硬币只有一个。如果同时有两个、三个或更多，各个硬币盈亏幅度不同，两面出现的概率（频率或可能性）也可能不同，怎样确定在不同硬币上的最优下注比例？如果不同硬币出现A面B面是不同程度相关的（比如一个出A面，另一个十有八九相同——正相关，或相反——反相关），又如何确定最优下注比例？股票、期货、期权、放贷、房地产、高科技等投资像掷硬币打赌一样，收益是不确定的且相互关联的。如何确定不同证券或资产上的投资比例，以便资金稳定快速增长并控制投资风险，这就是投资组合理论要解决的问题。

投资组合，也就是英文所说的portfolio。流行的投资组合理论是美国的马科维茨（H. Markowitz）理论。笔者则从自己建立的一个广义信息理论（参见专著《广义信息论》，中国科技大学出版社，1993）和自己的投资实践出发，得到了投资组合的几何增值理论，或者叫熵（shang）理论（因为其中采用了同物理学和信息论中的熵函数相似的熵函数作为优化标准），并完成了专著《投资组合的熵理论和信息价值——兼析股票期货等风险控制》（中国科技大学出版社，1997）。笔者知道美国的凯利（John Kelly）于1956年最早提出了用几何平均收益或复利作为优化投资组合的准则，并得出类似的优化比例公式。和已有研究不同的是，笔者的研究更注重应用，具体说来：（1）结合打赌模型讨论了分散和相关问题；提供了各种复杂情况下（考虑手续费、卖空、透支、银行利率或机会成本等）的最优投资比例公式；（2）提出一些实用结论和方法，比如分散投资极限定理、投资容量、新的风险测度。