预备知识
“代数”用初等数学的话说,就是用字母代表数参加运算.
直线方程y=kx+b是一次方程,其中有加法和数k与变量x的乘法(简称数量乘法).因此,这两种运算统称为线性运算或一次运算,只有线性运算的代数称为线性代数.
1.实数域R
数学讨论问题首先要明确所用数的范围.唯此,问题才有确切的结论.例如方程x2+1=0在实数范围内无解,在复数范围内就有解.
全体实数R包括:① 有理数(分数),即无限循环小数,例如; ② 无理数,即无限不循环小数,例如.把规定了原点、方向和单位的直线称为实数轴,如下图所示:
实数与实数轴上的点一一对应.这就不难理解实数具有有序性(任意两个实数都可以比较大小),稠密性(任意两个实数之间有无穷多实数)和连续性.
由于R中包含数“0”和“1”,且对四则运算封闭(即任意a, b∈R,恒有a±b∈R, ab∈R,当b≠0时,,所以称全体实数构成的集合R为实数域.
本教程第一至六章在实数域R上讨论.
2.和号 “∑”(读作西格玛)
定义1 .
性质1 .
性质2 .
性质3 (1≤k<n).
性质4 .
3.充分条件,必要条件
能充分保证结论成立的条件称为充分条件.
例1 两个实数x1和x2,当它们的绝对值相等(|x1|=|x2|)且符号相同时,则(充分保证)x1=x2.
这里“绝对值相等且符号相同”是使“x1=x2”成立的充分条件.
必要条件是指结论成立必不可少的条件.换句话说,缺了这个条件结论就不成立.
例2 两个实数x1与x2相等的必要条件是它们的绝对值相等(|x1|=|x2|).
例3 两个实数x1与x2相等的必要条件是它们的符号相同.
4.逆否命题
逆否命题是对原命题而言.例如,
原命题:如果实数x1与x2相等,则它们的符号相同.
逆否命题:如果实数x1与x2符号相反,则x1与x2不相等.
逆否命题与原命题是等价的.
5.数学归纳法
对于自然数n成立的命题,一般用数学归纳法证明.
例4 对于任意自然数n,恒有等式
成立.
证 当n=1时,上式左边=1,右边==1,因此
等式成立.
假设n=k时等式成立,即
当n=k+1时,
因此,当n=k+1时,等式也成立.这就证明了等式对任意自然数n都成立.
6.反证法
有些命题由已知条件推证结论比较麻烦,这时可以考虑用反证法,即否定命题结论,引出与已知条件或理论的矛盾.这就从反面证明了命题成立.
例5 已知a1, a2, …, an都是实数,则.
证 假设,则至少有一项(1≤k≤n).此时
此与已知ak是实数矛盾.