1.3 关于数学知识的认识论问题

实在论者与反实在论者都承认，我们至少在某种意义上有数学知识，因为作为科学基础的、在科学中有广泛应用的数学，不会不包含任何真正的知识。因此，就有关于数学知识的认识论问题：

数学知识是关于什么的知识？我们是如何获得这些知识的？什么可以核证（或确证，justify）这些知识？

1.3.1 数学实在论的认识论难题

一 认识论难题

对于实在论者来说，数学知识很自然地是关于抽象数学对象的知识。这与上一节所说的，对数学陈述的意义的实在论解释密切相关：实在论者认为，§1.2中的语句（1）陈述了一个关于抽象数学对象π的客观事实，因此，认识到（1）也就是认识到关于对象π的一个客观事实。至于我们如何获得这些知识以及如何核证这些知识，首先，在数学中，我们一般是从一些数学公理出发推导出§1.2中的（1）那样的定理，因此，这归结为我们如何认识公理，如何核证公理。在现代数学中，各种数学概念都被归结到“集合”这个概念，集合论的公理成为数学的最原初的公理。因此，这又可以归结为我们如何认识或核证集合论的公理。为了说明实在论在这里所遇到的困难，让我们专门考察一下集合论中的无穷公理：

（1）存在一个无穷集合。

那么，我们是如何认识到有无穷集合？又是依据什么断言（1）是真理？

如§1.1所述，对于实在论而言，无穷集合是所谓抽象对象，是不存在于宇宙时空之中、独立于物质世界及我们思想的存在物。但是，假如我们接受科学（包括进化论）对人类的描述，我们应该是生活在宇宙之中的生物，而且，我们所有的知识，最终来源于我们的大脑由进化及遗传所决定的先天结构，及我们的大脑通过感官从环境所获得的信息。我们的经验活动范围始终是有限的。那么，我们究竟如何可能认识那些不存在于宇宙之中的、独立于物质世界的、也独立于我们的思想的无穷集合？公理被认为是自明的，但是关于自明的原因还应该有一个合理解释。如果仅仅是说，我们在某种意义上可以想象无穷的集合，那也许没有问题。事实上我们已经在想象了（不论想象得如何）。实在论所带来的困难恰恰在于，假如无穷集合果真是独立于物质世界及我们思想的存在，假如无穷公理果真是断言存在着这样一个事物，那么我们似乎无法解释无穷公理何以对我们来说会是自明的。

更一般地，我们关于物质世界中的具体事物的知识可以有合理的、自洽的、科学的解释。比如，我们关于原子、电子的知识，最终来源于原子、电子等等，通过一系列的中间环节，作用于我们的感官与大脑。当然，我们的科学知识也包括我们在科学理论的建构中，对那些与我们只有间接的因果联系的遥远事物的推测。但是，所谓的抽象数学对象不存在于时空之中，与我们也没有哪怕是间接的因果联系。正是这种对抽象数学对象的描述，使得我们如何可能获得关于抽象数学对象的知识成为难解的谜。还有，回忆一下，科学对于物质世界中离我们非常遥远的事物，如宇宙的起源、基本粒子等等，只能作不很确定的猜测。因此，假如无穷集合是否存在也是客观的、独立于我们的思想的，就像外星人是否存在那样，或像宇宙大爆炸是否存在那样，那么，在数学中，我们如何可能非常确定地认识到无穷集合的存在性也是一个难解的谜。这就是所谓实在论的认识论难题。

二 为什么我们平常没有意识到这个难题？

同样地，在日常的数学学习或研究中我们可能不认为这里有什么问题，但那也是因为我们其实是不自觉地摇摆于对数学知识的实在论解释与反实在论解释之间。比如，考虑一下无穷公理（1）。有人可能会说，当然有自然数1,2,3, …等，而且每个自然数后面都紧接着一个比它大的自然数，因此，所有这些自然数构成的集合当然就是一个无穷集合。但是，仔细想一下应该可以看出，这仅仅是在想象一个无穷集合。它首先想象一种运算或操作（即加1这个运算）可以无限地重复下去；然后想象这个无限的过程可以完成，可以将结果收集成一个无穷集合。作为一种想象，它是很自然的、很容易理解的。我们用“等等等等”这样的词汇来表达我们对无限地重复某种操作的想象。我们也可以理解别人用这些词汇传达给我们的想象。但如果这就是一切，它显然不是实在论。实在论的信念是，这种想象对应于某种独立于我们思想的客观实在。暂且不论一个无限过程能否真正完成，首先，这至少是像前面提到的古人关于“一尺之棰，日取其半，万事不竭”的想象。今天我们已经意识到，“一尺之棰，日取其半，万事不竭”这个想象有可能不对应于这个宇宙中的时空与事物的实情。那么，我们凭什么相信关于自然数的想象能对应于某种独立于我们的思想的客观实在？

甚至对于单个自然数，当一个人说“当然有自然数1,2,3”的时候，很可能他又是将作为抽象对象的自然数，与作为宇宙中的物质对象的一些声音、文字符号，即打印在纸上的数字符号“1”、“2”、“3”等等混淆了。对于作为宇宙中的物质对象的声音、文字符号，当然没有什么认识论难题。我们的眼睛、耳朵可以直接观察到它们。我们也可以想象宇宙中有无限多的数字，但那只是想象，而且它很可能不对应于宇宙中的实情。实在论的认识论难题在于，实在论设想自然数是独立于物质世界、独立于我们的思想的、客观存在着的抽象对象。因此，对数字的认识不能替代对作为抽象对象的自然数的认识；对于无限多的数字的想象，也不能替代对客观存在着的自然数的无穷集合的认识。实在论的认识论难题在于，如果我们是这个有限的物质世界中的有限的生物，我们如何可能认识那些作为抽象对象的自然数，甚至认识到所有自然数的集合。

三 实在论者回答这个难题的尝试

应该说，这个困难很早就被哲学家们意识到了。比如，柏拉图不得不说，我们关于理念的知识来源于灵魂的回忆，因为很明显，我们对生活在其中的物质世界中的具体事物的观察，达不到对所谓的理念的确定的知识。二十世纪的几种数学实在论思想也都蕴涵着回答关于抽象数学对象的认识论难题的一些尝试。比如，弗雷格试图证明算术真理是逻辑真理。如果这可以成功的话，它意味着，我们不必在任何意义上“接触”作为抽象对象的自然数，也能够获得算术真理。比如，我们必须以某种方式（哪怕是间接的方式）“接触”外星人，比如收到疑似外星人发出的电磁波信号或看到疑似它们留下的痕迹，才能认识到外星人存在。但是，要认识到“或者外星人存在，或者外星人不存在”这个逻辑真理，我们既不必以任何方式与外星人有哪怕是间接的联系，也不必真的去检查宇宙的每一个角落以验证有或没有外星人。对于逻辑真理的认识不需要我们与逻辑真理所谈论的对象有任何直接或间接的因果联系。如果算术真理是逻辑真理，那么对于算术真理也一样。又比如，哥德尔相信，我们的心灵有某种直觉能力，使得我们能够直接地把握一些抽象数学概念，直接地认识到一些数学公理。还有，蒯因则试图以一种较复杂的、实用主义的本体论与认识论理论（叫做“整体主义认识论”）来论证，我们的感觉经验也可以核证（justify）我们关于抽象数学对象的知识。本书后面的相关章节将更仔细地分析他们的尝试，评述他们是否真正解决了这个数学实在论的认识论难题。

在当代数学哲学中，最明确地指出这个数学实在论的认识论难题并产生很大影响的，是美国哲学家Benacerraf在1973年发表的一篇论文《数学真理》。虽然Benacerraf没有直接批评或反驳任何二十世纪的数学实在论思想中隐含着的对这个认识论问题的回答，但他将这个难题非常清晰地展示出来，即刻意指出并强调了所谓的抽象数学对象与我们没有任何哪怕是间接的因果联系这个事实。因此，他使得任何实在论者对这个难题可能提出的回答都显得可疑（包括上面提到的弗雷格、哥德尔和蒯因的回答），使得我们很自然地要去仔细检验所有实在论者解决这个难题的尝试，看看它们有没有漏洞。他也使得许多学者相信，这个数学实在论的认识论难题是不可解的，因此我们必须放弃数学实在论。在Benacerraf的文章发表以后，受其影响，从二十世纪八十年代开始，有越来越多的哲学家去探讨各种反实在论的数学哲学。

1.3.2 数学反实在论的认识论任务

一 反实在论也有需要回答的认识论问题

反实在论者否认抽象数学对象存在，因此我们的数学知识不会是关于抽象数学对象的知识，但这不等于回答了关于数学知识的认识论问题。反实在论者也有艰巨的任务需要完成。首先他们必须说明，我们的数学知识是关于什么的知识，我们又如何获得并核证这些知识。有些反实在论者声称，一些数学定理是假的，因为它们所断言存在的对象事实上不存在。比如，他们声称，“存在无穷多个素数”是假的，因为作为抽象对象的自然数根本就不存在。即使这样也不能完全回避认识论问题。因为，无论数学定理是真是假，我们有一些数学知识，这一点是显然的，而且恰恰是需要得到解释的。如果数学对象不存在，因而断言这样那样的数学对象存在的数学定理是假的，那么反实在论者就应该从另外一个角度来解释，我们的数学知识是关于什么的知识，以及我们如何获得并核证我们的数学知识。仅仅否认数学定理的真理性是不够的。

对此，我们首先想到的也许是，我们的数学知识，是关于从哪些公理可以推导出哪些定理，以及关于如何作这些推导的知识。这是§1.1中提到的朴素的反实在论的一个自然推论。它的问题是，虽然我们的数学知识的确部分地是关于从哪些公理可以推导出哪些定理，以及关于如何作这些推导的知识，但这显然不是全部数学知识。如果数学仅仅是从公理推导定理的游戏，那么这也许就是我们的数学知识的全部。比如，关于下棋的知识，就仅仅是关于如何按规则走步，以及关于哪些走法可以导致怎样的结局的知识。但是，我们的数学公理与定理可以在科学应用中推导出科学真理。数学实在论者认为，这是因为数学公理与定理本身是关于抽象数学对象的客观真理，而我们的数学知识，除了包括认识到哪些命题可以从公理推导出，也包括认识到公理是真理，因此定理也是真理。反实在论者否认数学公理与定理表达了关于抽象数学对象的真理，但他们也不得不承认数学公理不是随意选定的，不像弈棋规则那样；他们也不得不承认，选定今天的数学公理本身包含了某种客观知识。因此，反实在论者还必须说明这些知识在于什么（假如不是在于认识到那些公理是关于抽象数学对象的真理）。

其次，更进一步，反实在论者必须将这些知识的内容，与为什么数学可以在科学应用中推导出科学真理联系起来。我们的数学知识之所以为“真”知识，而不仅仅是关于某种任意发明的游戏的知识，就在于只有“真”知识才能成功地应用于科学。（这里的加引号的“真”可以不等同于实在论者所理解的“真”。）假如一个工程师错误地将一个“假”数学命题当成了定理，那就有可能使一座桥梁坍塌。我们不能仅仅说，这位工程师自己发明了一种新的数学游戏从而使得一座桥梁坍塌。我们也不能仅仅说，有一些数学游戏使得科学应用得以成功，有一些数学游戏则不能使得科学应用得以成功。这当然是对的，但我们需要的是，说明究竟是那种数学游戏的什么特质使得它可以被成功地应用于科学。也就是说，反实在论者必须说明，我们的数学知识在什么意义上是“真”知识，而不是任意编撰的故事，而且为什么这种意义上的“真”知识，使得它可以在科学应用中推导出科学真理。这也是反实在论数学哲学所面临的任务之一，是反实在论数学哲学的认识论任务。它与反实在论数学哲学的语义学任务非常相似。

二 二十世纪各种反实在论数学哲学的回答

同样地，在二十世纪的各种数学反实在论思想中，希尔伯特的形式主义方案，如果成功的话，也蕴涵着能够完成这个认识论任务的理论资源。希尔伯特指出，只要数学公理是逻辑上一致的，由公理推导出的关于有限事物的结论，就一定是真的。然后，他的证明论方案试图严格地证明，我们的数学公理确实是逻辑上一致的，并且，他要求证明中只能用到所谓的有穷主义数学，即不能假设任何无穷的抽象数学对象存在。如果成功的话，它意味着，我们关于数学公理的知识，不在于认识到公理本身是真理，而仅仅在于认识到公理是逻辑上一致的，而且，这种认识可以在反实在论的前提下得到严格的论证。同时又可以严格地论证，这种认识蕴涵着认识到，由公理推导出的关于有限事物的结论的确是真理。如上一节所述，一般认为，哥德尔的不完全性定理证明了希尔伯特的方案不可能成功，而我们认为实际情况并非那么简单。本书后面的相关章节将更详细地讨论这一点。

至于直觉主义、逻辑实证主义等等，它们都以认识论为它们哲学的中心，但我们将说明，它们其实并没有完成反实在论的认识论任务。对这些我们也将本书后面的相关章节作更详细的分析。