1.4 数学的分析性与先天性

1.4.1 什么是数学的分析性与先天性问题

一 分析真理与综合真理

与关于数学语言的意义问题及关于数学知识的认识论问题密切相关的是，关于数学公理或定理的分析性与先天性问题。我们称一个语句表达一个分析真理，假如它的意义本身就已经决定了它一定是真的，而不论这个世界是如何。比如，一般认为，“单身汉是男性的”、“动物是生物”等等是分析真理，因为这些语句中所包含的词项的意义就已经决定了它们一定是真的，不论谁是单身汉，不论世界上有哪些动物与生物等等。逻辑真理都是分析真理，比如考虑“p或者并非p”，“如果p，那么p”等形式的逻辑真理，由这些语句中的逻辑常项“或者”、“并非”、“如果……那么……”等等的意义，就已经决定了它们一定是真的，而不论其中的语句p的真假。分析真理是所谓同语反复，没有真正的事实内容，对世界实际上无所断定。

对“分析真理”的一种更细致的定义需要假设语言中的词项有定义或有同义词。比如，一些人认为，“单身汉”的定义是“未婚的成年男性”，“lawyer”与“attorney”是同义词，等等。这样，一个语句表达一个分析真理，当且仅当，当我们将这个语句中的一些词用它们的定义或同义词替换以后，我们会得到一个逻辑重言式，或更一般的逻辑真理。比如，用“未婚的成年男性”替换语句“单身汉是男性的”中的“单身汉”，就得到“未婚的成年男性是男性的”，它是一个逻辑重言式。这个分析性概念一般称作弗雷格分析性。

与分析真理相反的是综合真理。比如，“月球上没有动物”是综合真理，因为仅仅由这个句子中所出现的词项的意义并不能决定它就是真的。它之为真，是因为它对应的现实世界恰好是，月球上没有动物。直观上，综合真理是有真正内容的、对世界有所断定的真理。

这里需要说明一下，有些哲学家（比如蒯因）认为没有分析真理与综合真理之间的绝对清晰的区别，甚至没有逻辑真理与非逻辑的真理之间的绝对清晰的区别。对此我们将在后面再作深入的分析。这里只是要将数学的分析性作为一个问题提出来。

二 先天真理与后天真理

我们称一个语句表达一个先天真理，是指我们不需要从感官获得的经验知识来核证它，即验证它为真。这里需要注意的是，我们当然需要后天的经验来学习语言，理解这个语句中的词项的意义，以及理解这个语句本身的意义。这里强调的是，在理解这个语句的意义之后，我们不需要后天的经验来验证它所表达的是真理。也就是说，它的真理性不依赖于经验。因此，分析真理自然地都是先天真理，因为对于分析真理，我们只要理解了它的意义，就可以通过分析它的意义来证明它是真的，而不再需要观察这个世界。比如，只要理解了“单身汉”与“男性”这两个词的意义，通过分析它们的意义就足以证明，“单身汉是男性的”是真理，而无须去观察单身汉们来验证单身汉确实是男性的。与先天真理相反的是后天真理。合理地认识（而不是盲目地相信）一个后天真理，就需要我们从感官获得的经验来证明它为真。

三 先天综合真理

分析—综合与先天—后天这两对概念是对我们的知识的两种划分。第一种划分是依据一个语句之为真的基础是什么，是由于语句的意义本身，还是由于其他的事实；第二种划分则是依据什么可以核证我们的知识，是要依据我们的经验，还是不必依据经验。既然分析的一定是先天的，下一个问题自然是，那么先天的都是分析的吗？也就是说，所有不必依据经验就可以被合理地认识、被验证为真的真理，都仅仅是由于它们的意义而为真的吗？或者说，对于一个语句，是否可能出现这样的情形：假如我们不必依赖经验就能够认识、验证它为真，但又需要依赖这个语句中的词项的意义之外的某种东西，因此这个语句不能说是分析真理？如果有这样的情形，那么那个所谓“这个语句中的词项的意义之外的某种东西”又是什么？它应该是我们的某种认知功能，使得我们可以合理地、不依赖感官经验地认识一些不能归约为分析真理的真理，但这样一种认知功能究竟是什么，是从哪里来的？如果有这样的情形，这种语句就是所谓的先天综合的真理。

四 关于数学的分析性与先天性问题

这样，对于我们目前所关心的数学知识，我们可以将分析性与先天性问题概括如下：

数学真理是分析的还是综合的？是先天的还是后天的？如果它们是后天的，它们与其他科学真理的区别在哪里？如果它们是分析的，又是怎样的关于数学语言的意义理论可以说明它们是分析的？如果它们是先天综合的，那么又是什么决定了它们为真，是我们的什么认知功能，使得我们可以先天地认识到它们？

1.4.2 传统哲学的回答

一 康德认为算术真理是先天综合真理

二十世纪现代数学及现代数学哲学产生之前，哲学家们就已经关注这些问题。比如，康德就认为，算术真理是先天综合的真理。首先，康德认为，“5+7=12”是综合的而不是分析的，因为，“5”、“7”、“+”这些概念中并非已经包含了“12”这个概念，不像“动物是生物”，其中“动物”这个概念中已经包含了“生物”这个概念。我们不能仅仅基于分析“5”、“7”、“+”、“12”这些概念就得出“5+7=12”。我们还需要数一数手指头，来帮助我们认识到“5+7=12”。但是，康德又认为，“5+7=12”不是后天的，因为，虽然我们需要靠数手指头来帮助我们认识“5+7=12”，但数手指头并不能证明“5+7=12”。算术真理有一种必然性与普遍性，超出我们任何可能的经验。虽然我们可能是通过经验才意识到它们的真理性，但它们的真理性其实不依赖于我们的经验，也不能靠经验来证明。比如，我们可以想象一个有着不同物理规律的世界，但我们似乎无法真正想象一个5+7不等于12的世界。因此，我们需要靠实际观测两个物体之间的作用力，来证实牛顿的万有引力定律对这个世界是（近似地）真的，但是，通过数手指头来帮助我们认识“5+7=12”，只是通过经验来帮助我们认识到某种必然的真理，并不是通过数手指头来验证“5 +7 =12”。因此，“5 +7 =12”应该是先天的，而不是后天的。

康德的哲学的主要任务之一，就是解释为什么会有这些先天综合的真理，以及我们如何认识它们。本书不能详细介绍康德。极其简单地说，康德的想法是：我们的心灵不是简单地反映外部世界。我们的心灵有一些先天的结构和功能，又叫先天认知形式，它对我们的感官所接受到的原始的感觉材料，如视觉形象、声音等等，作了一些组织和处理，使得感官所接受到的感觉材料不是无秩序的、无结构的。比如，它将相关的感觉材料组合成关于一个物体的印象，将它们排列成时间空间上的顺序和关系，排列成因果关系上的关联顺序等等。这样组织的结果，自然使得我们得到的对外部世界的印象，符合某些规律。这些规律，实际上是我们的先天认知形式加在外部世界上的。反映这些规律的真理就是先天综合真理。换句话说，也许并非外部世界原来是如此，而是我们的心灵的一些内在结构，决定了我们只能以某种方式来认识这个世界，所以使得我们所认识的世界只能符合某些真理，也就是说，使得一些关于这个世界的判断对我们来说是必然地真的。我们不需要用对这个世界的实际观察来验证这些真理，因为所有可能被观察到的东西，由于我们用于观察和认知的官能的一些内在的结构，都已经必然地符合这些真理了。所以它们是先天的真理。另一方面，既然我们的心灵确实对我们的感官所接受的原始的感觉材料作了组织和处理，那么反映组织和处理的结果的真理，就不会仅仅是空洞的同语反复，像分析真理那样。它们会有着确实的内容。因此它们不是分析的真理。先天综合真理就是这样一些对我们来说是必然的、绝对普遍的、不真正地依赖于经验的，但又是有内容的、有所肯定的、不仅仅是同语反复的真理。

即使是从现代科学的角度看，康德的想法也有其合理性。现代认知科学认为，我们的大脑显然有着某种先天的结构，使得大脑能够以某种方式表示与处理知识，使得大脑能够在学习中很快地习得某些知识。大脑显然并非生来是一块白板。所以，很可能由于我们的大脑的这些先天结构，使得大脑所可能认识到的知识都符合某些规律。当然，康德是从所谓先验的角度来考察这个问题，而不是像现代认知科学，它是将认知过程作为自然现象来研究，是研究人的大脑如何获得与表示知识。

二 但现代数学中关于无穷数学对象的公理似乎不是由我们的先天认知形式所决定的

这种回答对于像初等算术那样简单的数学真理似乎是有道理的，但问题是，现代数学与初等数学不同。初等数学中的基本真理，比如，初等算术与初等几何中的真理，似乎是表达我们的感官所直接认识的事物的最一般的特征，因此可能这些特征其实是来源于我们自己的先天认知结构。但现代数学所讨论的抽象数学对象，特别是那些蕴涵实无穷的数学对象或复杂的数学结构，远远不同于我们的感官所直接面对的物质世界中的事物。现代数学的真理是否也是由我们心灵的先天结构所决定的，有很大的疑问。比如，我们的感官所接受到的感觉材料都是有穷的。心灵的先天认知形式如何能够决定现代数学中关于无穷数学对象和结构的真理？比如，心灵的先天认知形式如何能够决定存在着无穷集合？另外，现代数学中对无穷公理、选择公理等的认识，似乎是经历了类似于科学中的尝试、错误、再尝试的长期的经验过程。这并不说明它们与其他科学假说一样是经验真理，但它们似乎不是靠我们的某种直觉能力直接地认识的，不是在传统的意义上先天的。康德本人对无穷所导致的所谓二律背反的态度也说明了，要将现代数学中关于实无穷的数学对象和结构的真理纳入康德式的解释中，可能会有一些实质性的困难。

三 二十世纪数学哲学对康德的继承和发展

当然，康德的哲学中可以解说数学知识的认识论资源，可能不仅仅是这些属于他的先验感性论的对先天综合真理的解说。但康德本人所考虑的数学仅限于初等算术、初等几何、初等代数等，甚至没有考虑到当时已经出现的微积分，与现代数学的距离更大。所以，究竟是否可能从康德哲学中挖掘发展出对现代数学哲学问题的回答，还有待于研究者们的探索。另一方面，康德的一些基本思想其实被二十世纪的一些数学哲学流派继承下来。比如，希尔伯特接受了康德的基本思想作为有穷主义数学的认识论基础；又比如，布劳威尔也将直觉主义与康德哲学相联系。他们的哲学思想可以理解为在现代数学的背景下对康德的基本思想的发展。

四 穆勒的经验主义及其问题

在二十世纪之前的关于数学的哲学思想中，与康德直接相对立的是穆勒的经验主义。穆勒认为，像“5 +7 =12”那样的算术真理，就是“5个苹果加7个苹果等于12个苹果”、“5根手指头加7根手指头等于12根手指头”等等这些事实真理的概括，因此它们也是后天的经验真理。它们与其他经验真理的区别仅仅在于，千百年来，它们已经被经验最充分地验证了，因此是最可靠的经验真理。穆勒否认这些算术真理有着绝对的必然性。事实上，今天的物理学可以为穆勒的这种信念作旁证。比如，一些研究量子力学的学者提出，我们的经典命题逻辑中的一些逻辑定律，特别是，合取（即“而且”）对析取（即“或者”）的分配律，对微观粒子可能不再有效。也就是说，经典命题逻辑可能不适于描述具有量子效应的微观粒子。因此，连经典命题逻辑可能都不是绝对地普遍与必然的。经典命题逻辑的有效性，可能是依赖于宏观物质世界的偶然的构成，即依赖于宏观物体是符合经典物理学定律的物体这一偶然事实。这样，我们也有理由相信，算术也不是绝对地普遍与必然的。

但是，另一方面，穆勒的经验主义面临着与康德同样的问题：现代数学的内容已经远远超出了初等算术，因此，要坚持这种经验主义的观点，就要说清楚，经验如何可能验证，以及在什么意义上验证现代数学中关于无穷数学对象的论断，如无穷集合的存在性、选择公理等等。这些数学论断显然不是经验事实的概括，不像“5+7=12”是“5个苹果加7个苹果等于12个苹果”等等的概括。所以，穆勒的基本思想也需要发展才有可能回答今天的数学哲学问题。

五 二十世纪的经验主义

穆勒的经验主义在二十世纪也有它的变种或发展。比如，蒯因的哲学也是经验主义，一样否定数学真理是绝对地必然的或先天的，同时蒯因是以其整体主义认识论将现代数学容纳到他的哲学体系中。但蒯因得出的是一种经验论的数学实在论，他将“5+7=12”理解为关于抽象对象的真理。另一方面，本书下一章要介绍的笔者提出的自然主义数学哲学也赞同穆勒的一些基本思想，包括算术不是绝对地普遍、必然的，及“5 +7 =12”是经验事实的概括这些方面，因此也许更接近于穆勒。

1.4.3 二十世纪数学哲学流派的各种回答

二十世纪的各种实在论数学哲学有着对数学真理的分析性与先天性问题的不同回答。比如，弗雷格相信，算术真理是分析真理。弗雷格认为，康德没有充分地分析“自然数”、“5”、“7”、“+”、“12”等等这些概念，因此以为“5+7=12”不是依相关概念的定义就为真的。其原因是，康德所知道的逻辑仅仅是亚里士多德的逻辑，它太简单了，不足以分析算术陈述的逻辑结构。弗雷格为此发明了现代数理逻辑。他认为，用这种更强有力的逻辑工具，我们可以明确地定义“自然数”、“5”、“7”、“+”、“12”等等概念，然后能够严格地证明，如果把这些概念的定义代入“5+7=12”中，它就成为逻辑真理，因此，“5+7=12”是分析的与先天的真理。

蒯因则与弗雷格相反。他深化了经验主义。他认为，一切知识最终都基于经验；没有绝对先天的知识；也没有绝对的分析真理与综合真理之间的差别。他用他的整体主义认识论理论来说明，经验如何能够验证现代数学中关于抽象数学对象的真理。对这些理论的更深入的分析、批评将留待后面的相关章节。

反实在论数学哲学或者认为数学定理本身无真假，或者认为数学定理是真理，但是在另外一种意义上，而不是在普通的、表达关于客观存在着的抽象对象的事态这个意义上为真理。对于前者，不存在关于数学定理本身的分析性与先天性问题，但有一些相关的分析性与先天性问题。比如，不论一种反实在论的关于数学语言的意义理论怎么解释“5+7=12”的意义，是否承认它是真理，它都应该承认相应的语句“5个苹果加7个苹果等于12个苹果”等等是表达了真理。那么，这一类真理是分析的还是综合的？是先天的还是后天的？还有，当孩子们学习了“5+7=12”，他们学到了某种知识。也许它不是关于作为抽象数学对象的自然数的知识，但直观上它应该依旧是一种相当普遍的、相当自明的、可能也是必然的知识。那么，它是先天的知识吗？这些问题，依旧是任何一个反实在论的数学哲学都必须回答的问题。其次，至于那些承认数学定理是真理但对“真理”的涵义有不同理解的哲学理论，分析性与先天性也有稍微不同的涵义。比如，卡尔纳普认为数学公理都是我们的数学语言中的约定，是依语言的约定而为真，因而在这个意义上它们是分析的。这意味着无穷公理、选择公理等等都是分析真理。这与康德或弗雷格所理解的分析性有所不同。后面相关的章节将更仔细地分析一些反实在论哲学是否回答了这些问题，以及他们的回答是否还有缺陷。