二十世纪数学哲学:一个自然主义者的评述
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第一章 数学哲学的基本问题

本章将说明什么是数学哲学的基本问题,并简述二十世纪的一些主要的数学哲学流派对这些问题的回答,以及它们各自的难点。这将成为本书后面更详细地介绍、分析、批评这些流派的基础,也将为划分二十世纪的主要数学哲学流派提供一个框架。本章可作为当代数学哲学的一个导论。本章更多的是提出问题,而不是讨论对这些问题的各种回答。我们希望由此能够说明:(1)确实存在一些关于数学的、真正有意义的哲学问题(而不仅仅是一些咬文嚼字的或庸人自扰的虚假问题);(2)关于这些问题的“朴素”的回答都有严重缺陷;(3)几种主要的数学哲学流派对这些问题的回答也都还有各自的难点;(4)回答这些问题对于我们的数学与科学实践会有潜在的影响。对于(3),本章只能作极简要的说明,对它的详细论述则是本书的主要任务之一。


一般认为,本体论(ontology)问题与认识论(epistemology)问题是两个最基本的哲学问题。本体论问题问的是究竟什么事物存在,认识论问题则问我们究竟如何认识那些存在着的事物。随着二十世纪分析哲学的兴起,另外一个哲学问题也获得了“哲学基本问题”的地位,即语言的意义问题。我们是用语言来表达关于何物存在的论断,及关于那些存在物的知识。因此,首先我们必须解释清楚,我们用语言表达的一个判断,究竟断言了何物存在,或者,它究竟在什么意义上为真理。数学哲学的基本问题,是这些一般的哲学基本问题在数学这个知识领域的反映,即数学的本体论、认识论与意义理论问题,以及由此派生出的其他问题,如数学公理与定理的分析性与先天性问题,数学的客观性问题,等等。同时,由于数学是科学的基础,在科学中有广泛的应用,能够在科学应用中帮助推导出科学真理,因此还有一个相对于数学特有的问题,即如何解释数学在科学中的可应用性。

本章将逐个介绍这些问题(§1.1至§1.6)。其间我们将分析对这些问题的一些朴素的回答,指出这些朴素回答的不足之处。我们还要根据对这些问题的不同回答,来划分二十世纪各主要数学哲学流派。我们将简要地提示二十世纪各主要数学哲学流派对这些问题的回答,以及这些回答面临的困难。最后(§1.7)我们将简要地回顾一下二十世纪数学哲学的发展,并讨论数学哲学研究的意义。