1.1 关于数学对象的本体论问题

数学对象指的是数学中研究的数、函数、集合等等。关于数学对象的本体论问题，简单地说就是：

数、函数、集合等数学对象是否真实存在？是否独立于我们的思维和语言而存在？

这其实包含两个问题：一个简单地问数学对象是否存在，另一个问，如果它们存在的话，它们是否为独立于我们的思维和语言的存在物。

为了解释这何以会成为一个问题，首先需要区分两个概念：具体对象（或具体事物，具体实体）（concrete objects, concrete entities）与抽象对象（或抽象事物，抽象实体）（abstract objects, abstract entities）。具体对象指的是存在于宇宙时空中的对象。从我们周围的物体到自然科学中研究的电子、原子、遥远的星球等，都是具体对象。如果数学家所说的数、函数、集合等也是作为对象（objects, entities）客观存在的话，那么它们应该不是具体对象，因为它们显然不存在于宇宙时空之中。抽象对象指的是那些不存在于宇宙时空之中的对象，假设果真有这样的对象，而且假设“存在但又不存在于宇宙时空之中”这个说法是有意义的。比如，自然数2、实数π、空集、一个实函数、某个拓扑空间或代数结构、一个无穷基数等等，如果它们是一个个客观地存在着的个体对象，那么它们就应该是所谓抽象对象。

有人可能会怀疑“抽象对象”这个概念是否有意义，即怀疑“存在但又不存在于宇宙时空之中”这个说法是否有意义。本节及本章后面还会回到这一点。这里我们仅仅指出，如果你对上面的数学本体论问题的回答是肯定的，那么你应该已经假设了“抽象对象”这个概念是有意义的，至少，你所认为的存在着的数学对象是抽象对象。而如果你认为“抽象对象”这个哲学概念本身不够清晰，甚至无意义，那么你对数学本体论问题的回答也许是否定的。这时，你可以不必诉诸“抽象对象”这个哲学概念来表达你的哲学观点。比如，你可以说，数学中的词项“自然数2”、“实数π”等并不指称什么对象，数学定理并不是在陈述关于对象的事实。这涉及数学语言的意义问题，我们将在下一节讨论这一点。

1.1.1 朴素的数学实在论及其认识论难题

一 朴素的数学实在论

也许多数人（包括多数数学家）天然地相信，数学理论是在描述一个独立于我们的思想的、客观的数学世界。它意味着，自然数、实数、函数、集合等等，都是在某种意义上独立于我们的思想的客观存在物，就像星球、原子、电子等是独立于我们思想的客观存在物，虽然数学对象不存在于宇宙时空之中，因此是所谓抽象对象。它还意味着，数学定理是关于那些抽象数学对象的客观真理，就像物理学定律是关于那些具体的物理对象的客观真理。这种信念一般被称作朴素的数学实在论。

二 数学对象如果客观存在的话，应该是独立于物质世界的

为了更清楚地看出数学中的抽象对象（尤其是无穷数学对象）与宇宙中的具体事物之间的本质差异，并由此认识到朴素的数学实在论观点所包含的一些困难，我们可以回顾一下物理学家对我们生活在其中的这个宇宙的描述。依物理学家们的描述，宇宙在宏观上很可能是有限的。在微观上，一些物理学家也在考虑离散时空的可能性。这还没有定论，但问题是，今天的物理学仅仅研究、描述所谓普朗克尺度（大约10-35米，10-44秒等）以上的事物。对于普朗克尺度以下的事物，不论是否有那样的事物（即不论是否时空在普朗克尺度上就已经是离散的了），今天的物理学家们还没有任何肯定的说法。今天，我们常常用一些连续的数学模型，从宏观上描述在微观上明显地是有限和离散的事物，比如，在经典流体力学中描述由离散粒子构成的流体，甚至在人口学中描述人口增长等等。所以，使用连续数学模型描述物理对象不意味着假设那些对象是连续的。因此，即使今天物理学家们都接受了一个用连续数学模型来描述在普朗克尺度上的微观事物的理论，这也不意味着物理学家们是在肯定地断言时空是连续的。同样，即使今天物理学家们都认为在普朗克尺度以下的事物还有结构，它也不蕴涵时空是连续的，因为还有可能在一个更遥远的微观尺度上（比如10-350米以下）时空又是离散的。

古人说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。但是，2-120＜10-36，因此事实上，在“日取其半”未到120日之前（更不用说“万世”了），我们就已达到了普朗克尺度，而我们目前还不清楚，继续“日取其半”下去是否还有物理意义。也许在那个尺度上时空就已经是离散、不可继续分割的了；也许在那个尺度上时空不是四维的，因此“一半”的意义变得不清楚了；也许在那个尺度上我们熟知的物理量，如距离、时间度量等等，都将失去物理意义。所以，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”仅仅是我们基于日常经验、将日常观察到的事物作直接而简单的延伸的想象。但是，从现代物理学我们已经认识到，宏观上或微观上离我们非常遥远的事物，会完全超出我们的日常经验以及基于日常经验的简单想象。比如，我们想象两根平行线可以无限地延长而不相交，但广义相对论与现代宇宙学告诉我们也许这不是真的，宇宙有可能是有限而又封闭的。又比如，我们很自然地将微观粒子想象成像一粒沙子那样的很小的小球（经典粒子），但量子力学告诉我们这是不对的，因为微观粒子有所谓难以清楚地想象的波粒二象性等等。因此，我们不应该轻易地将我们对有限范围内的事物的认识，直接地推广到这个有限范围之外，甚至推广至无穷。结论是，我们不应该轻易地断言在这个宇宙中存在着（宏观上或微观上的）无穷的对象。这是我们对宇宙中的具体事物的科学认识的实情。

然后我们再看看在现代数学中数学家们对无穷数学对象的态度。在数学中数学家们非常肯定地断言有无穷多个自然数存在，有不可数无穷多的实数存在，有更多的无穷基数存在等等。数学家们从未怀疑过，是只有有限多个自然数或实数，还是有无穷多个自然数或实数。他们对无穷的态度是非常确定的。对比一下物理学对于宇宙中超出一个有限范围的事物的不确定性，我们应该可以看出，如果这些数学对象真正存在，它们应该是与宇宙中的物理对象在本质上不同的对象，是在本质上独立于物质世界的东西。比如，有的人可能会说，一个数本身不是一个独立存在着的对象，它只是某一类物理量的表示，比如，数2代表了物理量“2米”、“2千克”等等。但是，假如真实的宇宙中没有任何事物具备那些非常大的物理量，这是否等于说那些非常大的数就不存在了？对于数学家来说这是荒谬的。所以，数不能总与宇宙中实际存在着的物理量相联系。而且，一个自然数或实数还有可能表示某个物理量，但是那些抽象的函数空间、拓扑空间、无穷基数、乃至大基数等等，可能在有限的物质世界中没有任何直接与之对应的物体或属性，在物质世界中没有任何“例子”或“影子”。因此，如果那些抽象数学对象自身也客观地存在，它们应该是独立于这个物质世界的，它们也不是宇宙中的物质对象或其属性的某种简单的抽象、概括、代表等等。它们应该是一种完全不同类型的存在物，即抽象的存在物。

这里需要强调一下，我们并没有假设物质世界就是有限的。重要的是，物质世界是否无穷还是未知的，而且时空的离散性是有可能的；而另一方面，数学中的无穷的实在性似乎是非常地确定的、毋庸置疑的。这才是真正的差异。它意味着，数学家们所非常肯定地断言存在着的事物，如果果真客观存在的话，一定是在本质上独立于这个物质世界的东西。

所以，接受那种朴素的数学实在论意味着，相信数学理论是在描述一个独立于物质世界且独立于我们的思想的数学世界，其中居住着与我们的物质世界中的事物完全不同类的抽象事物，尤其是无穷的抽象事物。它们在两个意义上是无穷的：（1）有无穷多个（甚至不可数个或大基数个）这样的抽象的个体事物；（2）单个抽象数学对象本身也可以蕴涵着实无穷。

三 实在论的认识论难题

认识到了这一点，我们就可以进一步认识到这种朴素的数学实在论信念带来的一个很大的难题。我们凭什么相信有这样一个独立于物质世界、又独立于我们思想的数学世界？这样的论断是否太不可思议了？用哲学的语言说，我们究竟是如何认识到那个独立的世界的？我们关于那个独立的世界的知识是如何可能的？我们的数学知识又为什么会那么可靠？甚至被认为是最可靠的知识？更具体地说，假设我们承认我们是生活于宇宙时空之中的生物，我们的认知活动也局限于宇宙时空之中，我们如何能够认识到那些不存在于时空之中的所谓抽象对象？而且，我们的经验活动的范围总是有限的，我们如何可能那么确定地认识无穷的对象？尤其是对比一下，在物理学中我们尚且不能那么确定地认识离我们非常遥远但还是有限的事物，这使得我们究竟如何可能获得关于数学中的无穷的知识，显得非常令人难解。

注意，这不是否认我们有数学知识。它是一种归谬论证：假设我们有数学知识，又假设朴素的数学实在论对“我们的数学知识是关于什么的知识”这一点的解释是正确的，也就是说，我们的数学知识是关于一个既独立于物质世界、又独立于我们思想的无穷的数学世界中的事物的知识；然后这个论证指出，这实际上使得我们究竟怎么可能会有数学知识变成一个不可解的谜。反过来，假设我们没有理由相信我们有可能认识这样一个既独立于物质世界、又独立于我们思想的、无穷的抽象数学世界，那么它说明，朴素的数学实在论对我们的数学知识的解说是错误的，即我们的数学知识并不是关于一个既独立于物质世界、又独立于我们的思想的抽象数学世界的知识。

这是朴素的数学实在论所面临的主要难题，一般称作数学实在论的认识论难题。朴素的数学实在论未能回答这个问题。

1.1.2 朴素的数学反实在论及其可应用性难题

一 朴素的数学反实在论

这些困难也许会使得一些人否认数学对象真正存在。比如，他们可能认为，数学家所做的仅仅是从数学公理推导出定理，而公理仅仅是一些任意的假设，不必是关于任何独立于物质世界且独立于我们的思想的所谓抽象对象的客观真理。他们甚至可能怀疑数学“对象”（objects, entities）这种说法是否有意义。这是一种典型的、朴素的数学反实在论。这种观点有时也被称作形式主义（formalism）。

有这样一个流行的说法：数学家们在工作日都是实在论者，但在周末都变成了形式主义者。因为，当他们在工作时，他们都坚信他们是在探索一个客观的数学世界，证明关于那个世界中的事物的客观真理，为我们的科学知识大厦提供最可靠的知识基础。但在周末休闲时，他们读了点哲学，想起这种信念中蕴涵的种种问题，于是他们后退一步说：“哦，我们只是从公理推导定理罢了，我们并不是说那些数、无穷集合、超穷基数、函数空间等真的存在，我们也不是说公理就是真理。公理只是一些任意的假设而已。”

二 朴素的数学反实在论的可应用性问题

但是，这样的朴素的数学反实在论同样会带来其他的问题。假设一个理论是从一些假设推导出一个结论，那么，当我们将这个理论应用于实际事物的时候，我们应该仔细地确认那些假设条件是被满足了，由此所推导出的结论才能是真理。所以，假如我们从数学公理A推导出一个数学定理B，然后将数学定理B应用在物理学中再推导出一个物理结论C。为了使得最终得出的物理结论C是科学真理，整个推导的前提之一数学公理A本身必须是真的，而不能仅仅是任意的假设。但是，假如抽象数学对象不存在，那么那些数学公理是关于什么对象的真理？如果物理世界是有限、离散的，那么那些涉及无穷的数学公理就不可能被解释为关于任何物理对象的真理，而只能是关于抽象数学对象的真理。所以，为了说明从数学公理推导出的科学结论是真理，我们似乎必须承认数学公理本身是真理，而不能说公理仅仅是任意的假设，因此我们又似乎必须承认无穷的抽象数学对象存在。

换句话说，如果数学仅仅是数学家们在玩的从公理推导定理的游戏，那么我们可以不必承认数学对象真正存在，也不必承认数学公理是关于数学对象的真理，因为这意味着，数学活动就像下棋一样，是从一些任意设定的规则开始进行游戏。但是，既然数学公理在科学应用中能够推导出真正的科学真理，我们似乎不得不承认，数学公理不仅仅是任意的假设，而是关于某些东西的真理，至少在科学应用中必须是关于某些东西的真理，然后，从公理推导出的结论才能是科学真理。而这些东西似乎只能是所谓的抽象数学对象（因为它们必须是无穷的，而科学从来没有确认有无穷的物质对象）。

这是朴素的数学反实在论所面临的数学可应用性难题，即假如数学对象不存在，数学定理不是关于数学对象的真理，那么数学为何可以在科学应用中得出真理。朴素的反实在论还未回答这个问题。

1.1.3 二十世纪各数学哲学流派对本体论问题的回答

一 二十世纪数学哲学观点的简单分类

因此，朴素的数学实在论与朴素的反实在论都还有未解决的难题。二十世纪的各种数学哲学流派都试图修正、改进朴素的实在论或朴素的反实在论，提出一些更精巧的实在论或反实在论理论，以解决这里的难题以及本章后面所介绍的更多的难题。介绍、分析与批评他们的尝试，将是本书的主要任务。

在各种数学哲学流派试图回答的关于数学的哲学问题之中，本体论问题是最核心的。围绕对本体论问题的不同回答，我们可以将二十世纪的种种数学哲学观点分类。对两个本体论问题都持肯定回答的哲学理论，即断言抽象数学对象存在而且独立于我们的思想的理论，属于数学实在论（mathematical realism），又称数学柏拉图主义（mathematical Platonism）。它们的典型代表有弗雷格的逻辑主义实在论、哥德尔的柏拉图主义或概念实在论、蒯因的实用主义实在论，等等。而对这两个本体论问题都持否定回答的哲学理论，属于数学反实在论（mathematical anti-realism），又称作数学唯名论（mathematical nominalism）。它们的典型代表包括希尔伯特的形式主义，以及最近几十年由哲学家们提出的一些理论，如虚构主义等。也有哲学家承认数学对象在某种意义上存在，但不说它们是独立于我们的思想而存在的，因此他们的观点与柏拉图主义和唯名论都有所区别。比如，有的认为数学对象是我们思想的创造物，因此不是独立于我们思想而存在的。这种观点的典型代表有布劳威尔的直觉主义。又比如，有的人认为数学对象是依我们的语言的约定而存在的，如卡尔纳普的逻辑实证主义。这种观点也是既承认数学对象存在，但又回避承认数学对象的独立于我们思想（及语言）的客观实在性。这里我们将这一类观点也归入反实在论，但有时称之为“弱反实在论”，而用“唯名论”指完全否定数学对象存在的观点。这样，实在论承认数学对象独立于我们的思想存在，反实在论则认为数学对象不存在或不独立于我们的思想存在，唯名论则断言数学对象完全不存在。这种分类法似乎是多数作者所接受的。本书后面的相关章节将更详细地介绍、分析与批评这些数学哲学思想流派。

二 二十世纪数学哲学中的实在论与反实在论之争与历史上的实在论与唯名论之争的比较

数学实在论与数学反实在论之间的争论，是二十世纪数学哲学中的争论的焦点。从历史渊源上说，当代的数学实在论与数学反实在论之间的争论，与西方传统哲学中的实在论与唯名论之间的争论既有联系又有区别。首先，抽象数学对象与西方传统哲学中的所谓共相或理念都有所不同。共相、理念都与一类具体事物相联系，可视为一类具体事物的代表或抽象。比如，柏拉图设想，完美的圆真实存在，而那些物质世界中的、具体的、不完美的圆，只是完美的圆的影子。反过来我们也可以说，所谓完美的圆，是具体的、不完美的圆在某种意义上的代表或抽象。但是，如果宇宙是有限、离散的话，那么，欧氏几何中的完美的圆其实在物质世界中没有任何“影子”。类似地，那些非常大的数，也可能不是宇宙中任何真实存在着的具体事物或它们的物理量的代表或抽象。更不用说那些抽象的函数空间、拓扑空间、无穷基数乃至大基数等等，它们在物质世界中没有任何“影子”，也不是任何具体事物或其属性的直接的抽象。它们不同于传统哲学中的共相或理念。传统哲学中的柏拉图主义、实在论与唯名论，指的是肯定或否定共相与理念的独立存在性的学说。因此，现代数学哲学中的实在论或柏拉图主义超出了传统意义上的实在论与柏拉图主义。现代数学哲学中的实在论是在断言一个完全独立于物质世界，与物质世界没有相似性的抽象数学世界的客观实在性。这是由于现代数学所具备的一些前所未有的特征，即现代数学所谈论的对象不是具体事物的简单抽象，它们看上去远远超出了物质世界中的任何具体事物，在物质世界中可以没有任何“影子”。

三 现代数学的特征使得实在论与反实在论之争尖锐化，也更有意义

现代数学的这一特征，使得实在论与反实在论之间的冲突显得更尖锐，使得上面提到的朴素的数学实在论与朴素的反实在论所面临的问题显得更突出。一方面，如果一个抽象事物，如共相或理念，仅仅是一类相应的具体事物的代表，或者相应的具体事物在某种意义上的“抽象”，那么实在论者可能会说，断言抽象事物存在并不是那么不可思议。他们可能会说，我们可以通过具体事物来认识那些抽象事物，因此对抽象事物的认识论问题是可以回答的。

相反，反实在论者也可以说，我们在谈论所谓的抽象事物的时候，只不过是采纳了某种言谈方式来谈论那些相应的具体事物，而非真正地断言那些所谓的抽象事物存在。也就是说，柏拉图的那个所谓的完美的圆只是幻想，我们只是想象出这么一个完美的圆，来代表真实世界中许许多多不那么完美的圆，而我们的几何学中关于所谓的完美的圆的论断，都应该理解为关于相应的各种各样的不完美的圆的（近似的）论断。据此反实在论者可以认为，断言共相、理念等独立于具体事物存在，这并没有什么真正的意义，也不能增加我们真正的知识，而只不过是一些哲学家的咬文嚼字的理论，是烦琐哲学。或者说，关于共相、理念是否独立于那些具体事物存在的问题，是基于对语言的错误使用而产生的问题，是庸人自扰的问题。

但是，现代数学似乎确实在谈论着那些完全独立于具体事物，与具体事物没有任何相似性的抽象数学对象，而数学被认为是提供了最可靠的知识，是科学的基础。数学真理被认为是最可靠的真理。我们所尊敬的许多数学家、科学家们似乎都持有这种信念。这些似乎都支持实在论，而且它们显示，实在论似乎是被科学实践证实了的信念，不仅仅是某些哲学家们妄想的结果，不仅仅是基于对语言的错误理解而产生的信念。另一方面，由于现代数学中所研究的对象，尤其是其中的无穷对象、抽象数学结构等等，远远超出了宇宙中的具体事物的简单抽象，与具体事物没有任何相似性。我们很难说我们可以通过有限的具体事物，来认识那些无穷的抽象数学对象。至少，这需要构造一个复杂的哲学理论来说明。而且，我们也不能像回避谈论那个完美的圆（而只谈论物质世界中的不完美的圆）那样，来回避谈论实数、函数、拓扑空间等数学对象（因为物质世界中没有与它们足够相似的东西可以作为它们的替代）。

所以，现代数学的这两个特征，即它作为科学的基础这一特征，与它的研究对象的（至少表面上的）超越性，既加强了支持实在论的理由，又增加了解决实在论的认识论难题的困难。这使得我们相信，这其中有一个真正的谜，而不仅仅是一些糊涂头脑妄想出的庸人自扰的问题。也就是说，关于数学的哲学问题，是有真正意义的问题，而不仅仅是一些对数学与科学很无知的哲学家们关起门来幻想出的问题。

四 二十世纪的实在论与唯名论数学哲学还未解决各自的难题

二十世纪的各种具有实在论倾向的数学哲学思想，都尝试了以某种方式回答我们如何认识抽象数学对象这个问题，但应该说他们迄今都还没有成功，还没有真正克服抽象数学对象与我们的认知官能之间的鸿沟。另一方面，唯名论的哲学，比如希尔伯特的形式主义，也有解决可应用性问题的方案，但也还没有成功。本书后面的相关章节将详细地介绍、分析他们的尝试。

五 弱反实在论的问题

这样看来，承认数学对象在某种意义上存在，但又不承认它们独立于思想或语言的存在性的哲学观点，似乎更精巧、更能够回避那些哲学难题。依这种观点，数学对象存在，因此数学公理与定理确实是真理，而不仅仅是任意的假设；但数学对象又不是独立于我们的思想或语言而存在的，不是与我们之间隔离开的，所以，我们如何认识到它们这个问题应该不难回答。但是，这一类观点也有其自身的问题。

比如，布劳威尔的直觉主义数学哲学仅仅适用于解释所谓的直觉主义数学。直觉主义数学只接受潜无穷而否认实无穷，因为它认为，数学对象是我们思想的创造物，而我们的思想活动是有限的，显然不能真正创造出无穷多的数学对象，至多只能潜在地不断创造出新的数学对象。在这种哲学观念的基础上布劳威尔在二十世纪初发明了直觉主义数学。但直觉主义数学并没有被数学家与科学家们接受。可以认为，直觉主义数学仅仅是经典数学的一部分，比经典数学更弱，即只能证明更少的数学定理。今天被数学家们广泛接受的，在科学中被广泛应用的是经典数学。今天我们所面临的真正的数学哲学问题，是关于这个经典数学的种种哲学问题。直觉主义数学哲学当然无助于回答这些问题。而且，布劳威尔的早先观点是，经典数学是无意义的，我们应该放弃经典数学而接受直觉主义数学。但如果今天直觉主义者还想从某种哲学观念出发，去否定整个二十世纪成功的、对经典数学的实践与科学应用，劝告人们放弃经典数学而采纳直觉主义数学，这似乎是不现实的。

又比如，卡尔纳普的逻辑实证主义认为，我们只有先接受了一种语言以后才能用语言询问什么对象存在；而数学语言是我们的科学语言的一部分，接受了这个语言，也就接受了数学对象存在，再去否认数学对象真正存在，或者去询问数学对象是否真正存在，都是无意义的。在这个意义上，数学对象是依语言的约定而存在的。而且，卡尔纳普认为，不同的语言之间的差别，不是对与错的差别，而只是实用性上的差别。也就是说，我们可以相当随意地约定数学对象存在，只要这种约定是有用的。但这种观点同样面临着一系列难题，包括它可能导致极端相对主义，以及它未能解释一个数学语言框架为什么有好的实用性等等。

本书后面的相关章节将更详细地分析直觉主义与卡尔纳普的思想等问题。

六 结构主义

最近几十年来又有一些学者提出，数学研究的不是一个个的个体对象（objects），而是所谓的数学结构（structures）。这种观点一般被称作结构主义（structuralism）。这里需要指出，普通的数学中所说的数学结构，如抽象代数结构、拓扑空间等等，都是用集合来定义的。因此，这些结构本身也就是作为抽象数学对象的集合。它们最终还是一些对象（objects）。作为一种数学哲学理论的结构主义，一般指的是将“结构”（structure）作为原始概念，来对数学理论作新的解释，而不是用集合来定义结构。结构被理解为某种原初的东西，它们不是对象，也不是某种类型的集合。这包括了以范畴论为基础的对经典数学的重新表述。

人们提出了各种形式的结构主义。依它们对所谓结构的不同的本体论态度，它们可以被归为实在论或反实在论。比如，有的人认为数学结构本身是独立存在的，而不是仅仅作为存在着的对象的结构而存在。考虑到现代数学中研究的一些结构是无穷结构，它们在这个物质世界中可能没有任何例子，这种结构本身应该被理解为广义上的抽象实体。更重要的是，我们有限的人如何能够认识客观的无穷结构，也是一样的难题。也就是说，这种结构主义实际上属于数学实在论，它也面临着数学实在论所面临的认识论难题。又比如，有的结构主义者将数学中研究的结构视为虚构的东西，或仅仅是逻辑上可能存在的东西，即认为，一类结构之存在，仅仅在于我们的一些相关的对结构的描述是逻辑上一致的。这种结构主义实际上与朴素的形式主义很相似，属于反实在论，因而又面临着与反实在论所面临的同样的问题。

七 一个澄清：“存在”的涵义

面对实在论与反实在论之间的这种争议，有的人可能会提出，实在论者肯定数学对象存在时所说的“存在”，与反实在论者否定数学对象存在时所说的“存在”，也许不是同一个意义上的“存在”。的确，真正的问题在于实在论者是在什么意义上说“存在”。反实在论者可以说，他们所能理解的“存在”就是在宇宙时空中存在，其他的“存在”都是无意义的，但数学实在论者就必须说还有另外一种意义上的“存在”，而且数学对象正是在那种意义上存在的。比如，如果数学对象存在仅仅意味着数学定理以某种方式有用，或者甚至仅仅意味着证明数学定理是有趣味的事情，那么这种观点可能实际上是反实在论的观点，或者至少是卡尔纳普式的观点，因为它否认数学定理是关于某些独立于我们的思想与语言的对象的客观真理。因此，它所面临的问题也是反实在论者所面临的问题，即说明，如果数学定理不是这种意义上的客观真理，那么数学为何可以在科学应用中推导出科学真理（假设科学真理是关于一个独立于我们的思想与语言的物理世界的客观真理）。

事实上，各种现有的实在论数学哲学都对他们所说的“存在”有更多的解说，但是，实在论之所以为实在论，主要在于它承认存在是在某种意义上独立于我们的思想与语言的。只要承认了存在的这种意义上的客观性，本章所讨论的实在论所面临的各种难题就都存在了。所以，更确切地说，并非实在论者与反实在论者在不同的意义上理解“存在”，而是实在论者断言，除了在宇宙时空中的存在，还有一种有意义的存在，而且那也是独立于我们的心灵的存在，即抽象对象的存在。反实在论者则或者声称自己不理解那种意义上的存在，或者认为那在一定程度上可以想象，但没有任何事物是在那种意义上存在的。

八 另一个澄清：与科学实在论、科学反实在论之争的关系

最后我们要说明一下数学实在论和数学反实在论，与所谓的科学实在论和科学反实在论之间的联系与区别。在当代科学哲学中也有实在论与反实在论之间的争论，而且它也是二十世纪最后几十年的科学哲学研究中的焦点之一。科学实在论认为，我们的自然科学实践能够证明我们的自然科学理论表达了关于这个物质世界的真理，尤其是关于那些不能被直接观察到的微观事物的真理。科学实在论相信，今天的物理学理论是（近似地）真的，也就是说，原子、电子、基本粒子等不能被直接观察到的微观粒子都存在，而且今天的物理学真实地（虽然是近似地）描述了它们。科学反实在论与此相对立。一种最典型的科学反实在论是所谓构造经验论（constructive empiricism），它承认自然科学中的关于可观察事物的论断是真理，但它否认我们的自然科学实践能够证明，我们的科学理论也真实地描述了那些不可被直接观察到的微观事物，如今天的物理学中所描述的原子、电子、基本粒子等等。因此，科学实在论与科学反实在论之间的争议所涉及的，主要是这个物质宇宙中的不可被直接观察到的微观事物，而数学实在论与数学反实在论之间的争议所涉及的，则是一个既独立于这个物质宇宙、又独立于我们的思想的数学世界。科学实在论与数学实在论之间没有直接的联系。

事实上，前面在描述无穷的抽象数学对象与宇宙中的具体事物之间的本质差异的时候，我们隐含地接受了科学实在论，即承认了现代物理学对微观世界的描述是（近似地）真实的。这可能也是大多数科学家们的信念。但我们的描述可以被数学反实在论者拿来作为质疑数学实在论的证据。因此，接受科学实在论不蕴涵着接受数学实在论。数学实在论是相信一个独立于这个物质宇宙的数学世界。也有的学者认为，科学反实在论者必须同时也是数学反实在论者，但这里我们不能再作更深入的讨论。