4.2 模型

4.2.1 模型假设

假定两家企业i和j在同一细分市场上竞争，现面临同一个对产品技术进行突破性技术创新的机会，其产品性价比相同，研发成本、建设时间也相同。两家公司是对称的，意味着其收益和投资策略也是对称的，假设研发投资既存在技术不确定性，又存在市场不确定性，且技术不确定性最终通过市场冲击对企业收益产生影响。由于竞争，一家企业进行突破性技术创新将会影响另一家企业的决策和收益。我们假设这两家企业目前已经在从事相同的技术创新。同时，假设企业是风险中性的，所以可以用无风险利率r贴现。沉没成本为I，I＞0，建设时间为δ。借鉴Dixit研究思路，可以设定企业i的反需求函数为：

其中，D（N_i，N_j）是需求参数。经营成本为零，或者可以考虑经营成本已经包含在中了D（N_i，N_j），因此，p（t）可以看作利润流，X（t）是市场需求冲击，在不引起混乱的情况下，用X代替X（t）。

对企业i而言，由于对称，对企业j亦成立，D（N_i，N_j）的可能值为：

①D（0，0）表示两个企业均不进行突破性技术创新；

②D（1，0）表示企业i进行突破性技术创新并成为领先者，企业j不进行突破性技术创新并成为追随者；

③D（0，1）表示企业i不进行突破性技术创新并成为追随者，企业j进行突破性技术创新并成为领先者；

④D（1，1）表示两家企业同时进行突破性技术创新。

负的外部性假定：一个企业执行投资期权会减少另一个企业的投资价值。可由下列不等式给定：

先发优势假定：变成领先者获得的投资价值要高于变成追随者获得的价值。可以由下列不等式给定：

4.2.2 不确定性数学描述

在分析突破性技术创新投资时，不但需要考虑市场的不确定性，还要分析技术不确定性。由于技术的发展，会导致企业产品成本降低、市场份额增加等，最终影响企业的收益。因此，在模型的基本假设中，本书假设技术的不确定性通过市场冲击影响企业的收益。由于突破性技术创新的非连续性，使得评估突破性创新的标准与评价持续性技术创新显著不同。当突破性技术创新发生时，技术领域将发生质的变化，企业面临的随机市场冲击也将发生跳跃性的变化。与持续性技术创新项目的投资价值变动过程相比，突破性技术创新项目的投资价值还将在随机变动的基础上发生跳跃。假设技术创新的实现服从参数为λ的泊松过程，随机市场需求冲击X（t）满足如下跳跃扩散过程：

其中，dX（t）=uX（t）dt+σX（t）dz部分是市场随机冲击不发生跳跃时服从的连续扩散过程，其中，u是漂移项，σ是变动率，dz是维纳增量。

方程的后半部分是对跳跃过程的描述，其中dq为泊松过程，定义为：

即在一个很小的时间间隔dt里，q发生一个跳跃的概率为λdt。λ叫作泊松过程的强度。且假设布朗运动和泊松过程之间没有相关关系。

定义：J为突破性技术创新的市场冲击影响指数。在随机时刻，如果发生一个跳跃即dq=1时，那么X立刻到达JX。例如J=1.1，那么市场随机冲击立刻上升10%。

在进行模型设定和不确定性数学描述之后，下面进行突破性技术创新期权模型构建。当一个企业面临突破性技术创新时，其一般情况下策略选择只有两种：等待或者立刻进行投资。选择等待的企业成为追随者，而选择立刻执行投资的企业成为领先者。因此，本书从追随者企业和领先者企业两方面考虑投资价值和投资临界，进而进行博弈分析。

4.2.3 追随者的投资价值和临界

假定两个企业在τ时刻投资，只能在（τ+δ）时刻赚取现金流。在领先者已经投资进行突破性技术创新的情况下，由于两个企业初始时就已经在市场上活动，因此追随者投资的价值是由市场已经活动而赚取的通过δ期贴现现金流XD（1，0）e^-（r-u）δ和执行一个跳跃扩散过程投资期权价值的组合。Merton于1976年研究了跳跃扩散过程期权的定价，其满足的差分方程为：

其中，E表示随机变量的期望。由于本书假定了获取现金的时间是固定的，因此，，且突破性技术创新的市场冲击影响指数为固定常数，而不是随机变量，因此上述方程可以简化为：

采取传统或有债权分析方法（也称“未定权益分析”），利用Ito引理，追随者的投资价值F（X）可以由下列微分方程给出：

方程（8）由于包含了F（JX）这一项，一般没有解析解，为此采用泰勒展开，用F（X）近似F（JX）。一般情况下可以假设投资价值F（X）在其定义域上是二阶连续可导的，进行如下展开：

其中，R_n（X）是拉格朗日型余项，为了计算简便，这里只取F（JX）的二阶展开，即：

将方程（10）带入式（8），得到投资价值常微分方程如下：

方程（11）是一个非其次的欧拉方程，其解是由一个其次解加上方程的一个特解，其中β₁和β₂是特征方程：

的两个根，于是有：

由经济条件F（0）=0可知β₂＜0没有意义，故只保留一个正根β₁。于是常微分方程的解为：

其中，X_F是追随者最优投资临界，由边界条件：

式（16）是价值匹配条件（Value Matching），式（17）是平滑粘贴条件（the Smooth Pasting），解关于A和X_F方程组式（16）和式（17），得到：

将式（18）和式（19）带入式（15）可得追随者企业的投资价值：

通过上述分析，我们可以得到追随者的投资临界和投资策略，由此我们可以得出领先者的投资临界。当领先者知道追随者最优投资策略是在T_F={t≥0：X（t）≥X_F}时刻投资，X_F是领先者的投资临界。且在两个企业同时投资的情况下，任何一个企业的投资价值都是S（X）：

4.2.4 领先者的投资价值和临界

根据追随者最优投资策略，假定领先者已经执行了他的投资期权，并且直到δ才能完成，接下来的δ时间中，投资项目不会给投资者带来利润。一旦投资完成，领先者将会赚取垄断利润流X（t）D（1，0），直到（τ+δ）时刻，追随者的进入会减少领先者的投资价值。可以使用计算追随者价值的同样方法来进行推导，设垄断价值为V（X），则领先者的价值L（X）可以表示为：

根据Ito引理有：

同样，式（23）通解可以表示为：

由价值匹配条件L（X_F）=F（X_F），有：

由式（25）解得：

将式（26）代入式（24），再代入式（22），不难求出领先者的投资价值：

现在来考虑技术突破创新领先者的投资临界值。领先者与追随者相对投资价值是不确定的，它取决于模型的参数和初始投资时机。令相对价值为D（X），则D（X）=L（X）-F（X），当X≥X_F时，因为L（X）=F（X），所以D（X）≡0，可以证明在区间（0，X_F）上，D（X）=0有唯一的根X_L。且当X＜X_L时，L（X）＜F（X）；当X=X_L时，L（X）=F（X）；当X_F＞X＞X_L时，L（X）＞F（X）；当X≥X_F时，L（X）=F（X）（证明过程见本章后附录1）。

由此我们可以得出领先者的投资临界。当领先者知道追随者最优投资策略是在T_F={t≥0：X（t）≥X_F}时刻投资，X_L是领先者的投资临界，则领先者的最优投资策略是在T_L={t≥0：L（X_L）=F（X_L）}时刻执行投资期权。