2.3 电磁流量传感器权重函数理论[48-49,54-57]

电磁流量计技术在发展初期并没有完善系统的相关理论分析。最早的关于电磁流量计传感器的理论是建立在测量管无限长及均匀磁场的条件下的，通过研究流体在管内的流速分布对测量精度的影响，得出当流体以轴对称流速分布流动时，流量测量不受流体流动状态影响的结论，并研究了磁场相对于管径的长度对测量的影响。

早期的传感器是根据均匀磁场条件下的理论来设计的。早期的电磁流量传感器一般的长度直径比大于3，对于大口径的传感器来说体积可想而知。如一个直径1米的传感器长度达到3米，重量达到10吨。于是后来的理论研究扩展到了非均匀、有限长磁场的条件。

2.3.1 权重函数的定义及求解

Shercliff在总结了有关电磁流量传感器大量文献的基础上，提出了权重函数。所谓权重函数，表示在工作磁场的有效区域内，任何微元切割磁力线所产生的感应电动势对两个电极间的电压产生“贡献”的大小。即使磁场和流场在测量圆管道内都处处相等，在工作磁场中，测量管内不同位置的流体微元切割磁力线产生的感应电动势对两个电极的“贡献”大小也不相同。Bevir引入了虚电流的概念，利用场论中的格林公式推出了电磁流量传感器测量方程的积分形式，提出且深化了权重函数的矢量概念。Bevir的具体做法如下。

设U和j为流体运动时产生的感应电动势和电流密度矢量，Uv和jv表示流体静止时单位电流通过电极时产生的电动势和电流密度，由欧姆定律有

式中，σ为流体电导率，v为流体速度，B为磁感应强度。

jv为

假设S1和S2是由良导体制成的电极表面，τ是空间体积，在包围τ的表面上的（除电极外）表面法向有

由第二格林公式，有

流体中的传导电流被忽略，故有

U、Uv在S1和S2上分别为常数，则最后有

式中，

jv为虚电流密度矢量，由传感器电极形式和测量管壁电边界条件决定。虚电流的物理意义是：假如流体静止不动，有单位电流从传感器正电极流入被测流体，同时从负电极流出，电流在流体中的分布为电流密度矢量。这种电流实际上不存在，故称虚电流。

由于在测量管内部只有被测流体，没有电源，所以有

引入势函数，有

由式（2-42）、（2-43）可得

可见在电磁流量传感器内部，虚电流的势满足拉普拉斯方程。要得到权重函数矢量即式（2-41）的问题，变成了求解式（2-45）以及边界条件的问题。再根据流速分布情况求积分式（2-40），从而获得传感器输出信号。由此可见，权重函数对求解传感器输出信号有着极为重要的作用。其中，权重函数边界条件的确定是求解的关键。

电磁流量传感器的电极形式及管壁（除电极）的电特性决定着边界条件。对于典型点电极绝缘管壁电磁流量传感器，其点电极可视为尺寸无限小的点。根据Bevir提出的虚电流理论，单位虚电流通过点电极，此处的虚电流密度为狄拉克函数，即边界条件可表示为

式中，a为传感器半径。

电磁流量传感器测量壁（除电极）一般都采用绝缘材料或者内壁附有绝缘衬里，没有法向电流流过，所以边界条件满足

根据传感器的边界处虚电流势及虚电流密度是否确定，边界条件分为三种类型：①虚电流势G确定；②G在边界上的梯度确定；③前两者的混合，即混合边界。除了典型点电极绝缘管壁电磁流量传感器，其他类型的传感器一般都具有边界。比如非绝缘管壁电磁流量传感器的测量管壁具有一定范围的电导率，且信号引出点置于管壁外侧，使得求解域增加，且带来了管壁与流体间存在内部边界条件变化等诸多问题。在混合边界条件下解析求解式（2-45）是十分困难的。目前只有典型点电极绝缘管壁电磁流量传感器存在虚电流势G的解析解，其他情况下的求解只能借助半解析方法或数值法。随着计算机技术的发展，借助于计算机的数值仿真平台求解成为该领域研究的主流方式。

2.3.2 权重函数的分布特性及物理意义

在满足研究工作精度要求下，目前普遍采用电磁流量传感器权重函数的二维简化模型，研究权重函数分布图是理论分析中最重要的内容之一。

在均匀磁场和轴对称流的情况下，文献[57]给出的典型满管电磁流量传感器的权重函数解析解为

式中，W为权重函数，a为传感器半径，x和y为管道截面的二维平面坐标。

归一化的权重函数分布情况如图2-3所示。

从图2-3可看出，典型电磁流量传感器的权重函数极大值分布在两端的电极处，理论上趋向于无限，而在传感器中心处的权重函数为1，并沿着x轴两侧逐步衰减至极小值0.5。

通过上述权重函数分布图可知，越靠近电极处的权重函数值越大，离电极越远的权重函数值越小。因此，电极附近的流速变化对传感器输出信号的影响较大。权重函数分布越均匀，传感器测量受流体流速分布影响越小[50]。因此权重函数的分布特性可以作为分析与设计传感器的重要依据之一。为定量的衡量权重函数分布的特性，定义权重函数不均匀度ε为

式中，τ为求解域，Wi为管道内任意微元的权重，W-为平均权重：

式中，n为微元个数。

为减小流速分布的影响，在传统流量传感器设计中，总是希望权重函数不均匀度ε较小。

综上所述，权重函数以及权重函数不均匀度的物理意义如下。

（1）在管道传感器测量电极截面上，不同位置的流体微元产生的感应电动势，在电极上的贡献随所处位置的不同而不同。

（2）电磁流量传感器获取的流量信号与流速分布相关。权重函数反映了流体在截面不同位置的各流动微元产生的感应电动势信号在两个信号拾取位置上的贡献。对流体各微元在信号拾取端产生的感应电动势分量进行积分，即可得到反映流体流速的传感器输出信号。

（3）利用权重函数分布特性指导设计出受流速分布影响较小的电磁流量传感器结构，可以最大限度地使传感器发挥对流速分布不敏感这一优势。