2.5 满管条件下管道中流体流速分布规律[63-66]

实际中的流体具有一定的黏性，流体的黏性使其在管道中呈现层流和紊流两种流动状态。层流流动时，管内流体全部微元分层流动，各流层之间互不混杂且平行于管道轴线流动，流层间没有流体质点的相互交换。紊流流动时，管内流体微元不再是有序地分层流动，而是相互混杂、穿插的，即流体微元除沿管道轴线方向运动外，还有剧烈的径向运动。大量实验表明，流态不仅和管道断面平均流速有关，还和管径、液体的黏性和密度有关。通常用雷诺数Re表征液体流动特性，对于圆管道其计算公式为

式中，是流体的平均流速，d是管道内径，ν为工作状态下流体的运动黏度。

当Re≤2300时，管内流动占主要地位的是黏性力，各流体质点平行于管道内壁有规则地分层流动，流体为层流状态；当Re＞2300时，管内流动占主要地位的是惯性力，流体为紊流状态。圆管道中，管道横截面上流体流速轴向分量的分布模式称为速度分布。流体的流动状态不同，其速度分布也不相同。

纳维-斯托克斯（Navier-Stokes，简称NS）方程是描述流体流动基本规律，包括质量守恒、动量守恒和能量守恒三大规律的数学方程组。

质量守恒方程为

式中，ρ为液体密度，t为时间，u为速度矢量。

x、y、z三个方向的动量守恒定律为

式中，ux, uy, uz为u在x, y, z方向的分量；p为流体微元体上的压力；τxx, τxy, τxz, τyy, τyx, τyz, τzx, τzy, τzz为作用在微元体表面上的黏性应力；Fx, Fy, Fz为微元体上受到的力。

当只有z方向的重力时，则Fx=0、Fy=0、Fz=-ρg。式中，g为重力加速度。

当流体为牛顿流体时，动量守恒定律简化为

式中，μ为流体动力黏性系数；Sx, Sy, Sz为动量守恒方程的广义源项。

Sx=Fx+sx, Sy=Fy+sy, Sz=Fz+sz，式中sx、sy和sz的表达式如下：

式中，λ是第二黏度，一般λ=-2/3。

对于黏性为常量的不可压缩流体，sx=0、sy=0和sz=0。

当需要考虑到传热问题时，能量守恒式必须满足的基本定律能量方程为

式中，T为温度，kT为流体的传热系数，C为比热容，ST为流体的内热源及流体因黏性作用而将机械能转换为热能的部分。

从理论上讲，任何流体力学问题都可归结为求解式（2-58）、（2-60）、（2-62）。但只有在极特殊的情况下，将NS方程简化，才可以得到解析解。到目前为止，尚未找到方程通用的解析解。

黏性流动的研究主要依靠数值计算方法。计算流体力学（computational fluid dynamics, CFD）是基于流动基本方程（质量守恒、动量守恒、能量守恒方程）的数值模拟，是计算机科学、流体力学和计算数学相结合的产物。CFD的基本思想：把原来在时间域及空间域上连续的物理场，用一系列有限个离散点上的变量值的集合来代替，通过一定的原则和方式建立起关于这些离散点上场变量之间关系的代数方程组，然后求解代数方程组获得场变量的近似值。与理论分析方法相比，CFD具有假设少、应用范围广、可以模拟复杂流场等特点；与流体力学的实验研究相比，CFD具有研制周期短、成本费用低、通用性能良好等优点。Comsol Multiphysics的流体仿真模块是常用的CFD软件之一。目前，对满管不可压缩的湍流运动的数值模拟主要有三种：直接数值模拟（DNS）、大涡数值模拟（LES）和雷诺平均数值模拟（RANS）。

RANS运动方程模型为

式中，φ为通用变量，代表ux、uy、uz等求解变量为平均速度矢量；S为广义源项。

从式（2-63）、（2-64）、（2-65）可看出，RANS方程含有雷诺应力项，导致雷诺方程不封闭。为解决这一问题，依靠理论与实际的结合，引进一系列模型假设，把湍流模型分为雷诺应力模型和涡黏模型。雷诺应力模型又有雷诺应力方程模型（RSM）和代数应力方程模型（ASM），它们直接构建表示雷诺应力的方程来封闭雷诺方程。

LES是近代湍流研究中，用计算机直接求解NS方程的一种方法。其基本思想是：将流动的区域分为两个部分：其一是大尺度涡旋运动部分，其流动性质可以直接通过求解非定常三维NS方程获得；其二是小尺度部分，其流动可以用较通用的模型获得而不需要直接计算。LES的控制方程是对NS方程在波数空间或者物理空间进行过滤得到的。过滤不可压缩流体的NS方程后，LES控制方程为

式中，τ为作用在微元体表面上的黏性应力；u为速度矢量；为平均速度矢量；i, j取x, y, z。

由上述介绍可知，CFD的主流模型大多是瞬态模型。而在实际情况中，研究通常考虑时均效应，即忽略时间对流体的影响，同时假设测量管壁无滑移。如此，由NS方程便可以得到圆形管道内满管流场分布的解析表达。

当管道内的流动为层流时，在半径方向上距管道中心轴距离为rx处的流速vx由下式表示：

式中，vmax为管道中心轴上的速度，r为管路的半径。

当流动为层流时，在过水圆断面内以圆心为中心，对流速vx进行面积分，得到流过圆断面的流量。用流量除以过水圆断面的面积，得平均流速：

通过大量实验，得到紊流时距管道中心轴距离为rx处的流速vx：

式中，n由雷诺数Re获得：

与层流相同，紊流流量也可由积分过水圆断面的流速得到，进而得到平均流速：

通过对满管条件下管道中流体流速分布的讨论，可知电磁流量传感器输出信号大小与管道内的被测液体流速分布有关。即使在相同的流量下，如果管道内流体流速分布不同，得到的测量信号大小也有可能不一样。因此，要根据实际被测流体的运动黏度以及传感器口径等因素得到管道内流体的流场分布情况。400～600℃下的冷却剂NaK-78黏度为0.25e6m2/s，依据不同口径非绝缘管壁电磁流量传感器的测量管径，将其代入式（2-57）、（2-71）可以得到Re和n，可得到管道内流体的流速分布。