§0.1　变量与区间

现实生活或自然界中的现象无一不处在变化之中，在观察自然现象、研究某些实际问题或从事生产的过程时，常常会遇到形式各异的量，如浓度、温度、速度、时间、重力、加速度等.其中有的量在变化过程中始终保持不变，称其为常量；有的量在变化过程中不断地变化，也就是可以取不同的数值，称其为变量.例如，掷同一铅球数次，发现铅球的质量、体积为常量，而投掷距离、上抛角度、用力大小均为变量.

通常，常量用a，b，c，…表示，变量用x，y，z，…表示.

任何一个变量，都有确定的变化范围，如果变量的变化范围是连续的，常用一种特殊的数集——区间来表示其变化范围.

设a，b是两个实数，且a<b，则数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记为{a，b}；数集{x|a<x<b}称为开区间，记为（a，b）.其中，a和b称为区间的端点，数b-a称为区间的长度.

从几何上看，开区间（a，b）表示数轴上以a、b为端点的线段上点的全体，而闭区间[a，b]则表示数轴上以a，（a，b）为端点且包括a，b两端点的线段上点的全体.当端点不包括在区间内时，通常把端点画成空心点；当端点包括在区间内时，通常把端点画成实心点，如图0-2所示.

图　0-2

类似地可以定义：

左开右闭区间　（a，b]={x|a<x≤b}；

左闭右开区间　[a，b）={x|a≤x<b}.

除了上述有限区间外，还有一类区间称为无限区间.为了讨论方便，引入记号“+∞”（读作“正无穷大”）和“-∞”（读作“负无穷大”），并规定：（-∞，+∞）表示全体实数（或记为-∞<x<+∞）；（-∞，b）表示满足不等式x<b的一切实数x的全体（或记为-∞<x<b）；（a，+∞）表示满足不等式x>a的一切实数x的全体（或记为a<x<+∞）；类似地有，[a，+∞）={x|x≥a}和（-∞，b]={x|x≤b}.

此外，邻域是表示集合中经常用到的又一个重要概念.

定义1　设δ是一正数，a为某一实数，把数集{x|x-a|<δ}称为点a的δ邻域，记作U（a，δ），即

U（a，δ）={x|x-a|<δ}，

其中，点a称为该邻域的中心，δ称为该邻域的半径.

有时用到的邻域需要把邻域的中心去掉.点a的δ邻域去掉中心a后，称为点a的去心δ邻域，记作，即

这里0<|x-a|就表示x≠a.