§0.2　函数

1.函数的定义

定义1　设x和y为两个变量，D为一个给定的数集，若对于每一个x∈D，按照一定的法则f，变量y总有唯一确定的数值与之对应，就称y为x的函数，记为y=f（x）.数集D称为该函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量.

当x取数值x0∈D时，依法则f的对应值y0称为函数y=f（x）在x=x0时的函数值，并记作f（x0）.所有函数值组成的集合W={y|y=f（x），x∈D}称为函数y=f（x）的值域.

例1　确定下列函数的定义域.

解　（1）要使函数有意义，必须满足4-x2≠0且x+2≥0，即x≠±2且x≥-2，因此函数的定义域为（-2，2）∪（2，+∞）.

（2）要使函数有意义，必须满足，即-4≤x≤2，因此函数的定义域为[-4，2].

例2　函数，求其定义域和值域.

解　函数的定义域为（0，1]∪[-1，0）=[-1，1].

当x∈（0，1]时，y∈（0，1]；当x=0时；当x∈[-1，0）时，y∈（1，2]；所以函数y的值域是（0，2].

例3　设，求它的定义域和f（1），f（3），f（x-1）.

解　函数y=f（x）的定义域为[0，2]∪（2，+∞）=[0，+∞）；f（1）=1+2=3；

2.函数的表示法

表示函数关系的方法通常有三种：解析法、列表法和图像法，三种表示函数的方法各有优缺点.

（1）解析法，即借助于数学表达式来表示两个变量之间的函数关系.解析法简单明了，但在求函数值有时较复杂，上面的例子和引例1均为解析法.

（2）列表法，即把函数自变量的取值和其相对应的函数值用一个表格来列出表示.引例2用的是列表法.这种表示函数的方法便于查询函数值，但由于很多函数的自变量取值无法全部列出而导致函数值不完备，且从表中不能直接看出变量间的对应规律，所以局限性较大.

（3）图像法。引例3用的是图像法.图像法形象直观，易于研究函数的性态，但函数值不精确.

函数的三种表示方法各有其优缺点，高等应用数学中使用解析法较普遍.有时，根据不同的问题与需要，灵活地采用不同的方法.在实际中，经常把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数值的表格，再画出它的图像.

3.函数关系的建立

在实际中，很多问题都要用函数的知识来研究，人们要用函数的方法来表示工程技术、生产生活、经济管理中的各种问题，也就是要建立起变量之间的函数关系.首先看以下几个例题.

例4　销售总收入与年产量的关系问题.

某工厂生产某种产品，年产量为x，每台售价250元，当年产量为600台以内时，可以全部售出，当年产量超过600台时，经广告宣传又可再多售出200台，每台平均广告费20元，如果再多生产，则本年度就售不出去了，建立本年的销售总收入R与年产量x的函数关系.

解　（1）当0≤x≤600时，R=250x.

（2）当600<x≤800时，R=250x-20（x-600）=230x+1.2×104.

（3）当x>800时，R=800×250-20×200=1.96×105

例5　无盖圆柱形锅炉的总造价问题.

某工厂要生产一个容积为50m3的无盖圆柱形锅炉，锅炉底部材料造价为周围材料造价的两倍，并知周围材料造价为k元/m2，试求总造价S与锅炉底半径r的函数关系式.

解　因为无盖圆柱形锅炉容积V=50m3，设锅炉的高为h（如图0-3），则有V=πr2h=50，从而有.

已知锅炉底部材料造价为周围材料造价的两倍，而周围材料造价为k元/m2，则底部材料造价为2k元/m2，根据圆面积及圆柱侧面积公式，总造价为

即 ，这就是总造价S与锅炉底半径r的函数关系式.

例6　防空洞的截面积与矩形底宽的关系.

某防空洞的截面是矩形加半圆，周长为l，试把截面积表示为矩形底宽x的函数.

解　如图0-4，防空洞的截面积A由矩形和半圆两部分组成，其面积分别为.

故防空洞的截面积A与矩形底宽x的函数关系式是　.

4.函数的几种特性

（1）奇偶性

定义2　给定函数y=f（x）（x∈D），D为对称于原点的数集.

若对任意x∈D，有f（-x）=f（x）恒成立，就称f（x）为偶函数.

若对任意x∈D，有f（-x）=-f（x）恒成立，就称f（x）为奇函数.

对于偶函数，由于f（-x）=f（x），因此，偶函数的图形关于y轴对称；同理，奇函数的图形关于原点对称.

（2）单调性

定义3　设函数f（x）在区间I上有定义，若对任意两点x1，x2∈I，当x1<x2时总有：f（x1）<f（x2），就称f（x）在I上单调递增；f（x1）>f（x2），就称f（x）在I上单调递减.

（3）周期性

定义4　设函数f（x）的定义域为D，若存在l≠0，对于任意的x∈D，有x±l∈D，使得f（x+l）=f（x）恒成立，就称f（x）为周期函数.满足上述条件的l中最小的正数称为函数的最小正周期，简称为周期.

例如，y=sinx是周期为2π的周期函数.函数tanx是以π为周期的周期函数.

（4）有界性

定义5　设函数（a，b）在区间（a，b）内有定义，若存在一个正数M，对任意的x∈（a，b），恒有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在区间（a，b）上有界，否则称为无界.

例如，y=sinx在（-∞，+∞）上有界，因为对任何实数x，恒有|sinx|≤1；函数在（0，1）内是无界的，但在[1，+∞）上是有界的.由此可见，如果说某个函数是有界函数或无界函数必须指明所考虑的区间.

5.反函数

定义6　设有函数y=f（x），其定义域为D，值域为M，且函数y=f（x）中的f为一一对应.如果对于M中的每一个y值，都可从关系式y=f（x）中找到确定的x值（x∈D）与之对应，那么由此所确定的以y为自变量的新函数叫做y=f（x）的反函数，记为x=φ（y）或x=f-1（y），它的定义域为M，值域为D.这里指出

（1）函数x=φ（y）的定义域为M，值域为D.

（2）习惯上，函数的自变量都以x表示，所以，反函数一般都表示为y=f-1（x）.

（3）在同一直角坐标系中，函数y=f（x）的图形与反函数y=f-1（x）的图形关于直线y=x对称（如图0-5所示）.