§0.3　基本初等函数与初等函数

1.基本初等函数

通常把幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.

（1）幂函数

形如y=xμ（μ为常数）的函数；

（2）指数函数

形如y=ax（a>0，a≠1）的函数；

（3）对数函数

指数函数y=ax的反函数，记为y=logax（a为常数，a>0，a≠1）；特别地，当a=e时，函数记为y=lnx，称为自然对数函数；

（4）三角函数

正弦函数y=sinx　　x∈（-∞，+∞）

余弦函数y=cosx　　x∈（-∞，+∞）

正切函数y=tanx　　　　n=0，±1，±2，…

余切函数y=cotx　　x≠nπ　　n=0，±1，±2，…

（5）反三角函数

反正弦函数　y=arcsinx　　

反余弦函数　y=arccosx　　x∈[-1，1]，y∈[0，π]

反正切函数　y=arctanx　　

反余切函数　y=arccotx　　x∈（-∞，+∞），y∈（0，π）

2.基本初等函数图形

基本初等函数分为以下五类函数.

（1）幂函数

y=xμ（μ为常数），如图0-6所示.

①当u为正整数时，函数的定义域为区间（-∞，+∞），它们的图形都经过原点，并当u>1时在原点处与x轴相切.当u为奇数时，图形关于原点对称；当u为偶数时图形关于y轴对称.

②当u为负整数时.函数的定义域为除去x=0的所有实数.

③当u为正有理数时，n为偶数时，函数的定义域为（0，+∞），n为奇数时，函数的定义域为（-∞，+∞）.函数的图形均经过原点和（-1，1）.

如果n<m，图形与x轴相切；如果m<n，图形与y轴相切.当m为偶数时，函数关于y轴对称；当m，n均为奇数时，函数关于原点对称.

④当u为负有理数时，n为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数.

（2）指数函数

y=ax（a>0，a≠1），x∈（-∞，+∞），如图0-7所示.

①当a>1时函数为单调递增，当a<1时函数为单调递减.

②不论x为何值，y总是正的，图形在x轴上方.

③当x=0时，y=1，所以它的图形必通过点（0，1）.

（3）对数函数

y=logax（a是常数且a<1，a≠1），x∈（0，+∞），如图0-8所示.

①图形位于y轴的右方；并通过点（1，0）.

②当a>1时，在区间（0，1）内，y的值为负，图形位于x的下方；在区间（1，+∞）上，y的值为正，图形位于x轴上方.在定义域上y=logax是单调增函数.

（4）三角函数

（5）反三角函数

续表

3.复合函数

实际问题中，常常会遇到由几个较为简单的函数组成的较为复杂的函数.

引例4　在自由落体运动中，落体的动能E是速度v的函数

其中m为落体的质量.由于落体的速度v是时间t的函数

v=gt.

因此，如果要研究动能与时间的关系，就得把v=gt代入 .结果是

由此看到E与t的对应关系是由两个函数与v=gt复合而成的.

定义1　如果y是u的函数y=f（u），而u又是x的函数u=φ（x），且φ（x）的值域与y=f（x）的定义域的交非空.那么，y通过中间变量u的联系成为x的函数，把这个函数称为是由函数y=f（u）与u=φ（x）复合而成的复合函数，记作y=f（φ（x）），x为自变量，y为因变量，u为中间变量.

例7　已知y=lnu，u=cosx，试把y表示为x的函数.

解　由y=lnu，u=cosx有y=lncosx.

利用复合函数的概念，一个较复杂的函数可以看成几个简单函数复合而成，简单函数是指由常量与基本初等函数经过四则运算而得到的函数.

例8　函数y=esinx是由哪些简单函数复合而成的？

解　令u=sinx，则y=eu，故y=esinx是由y=eu与u=sinx复合而成的.

复合函数也可以由两个或两个以上的简单函数复合而成.

例9　函数y=ln[arctan（x2+1）]是由哪些简单函数复合而成的？

解　令u=arctan（x2+1）则y=lnu，再令v=x2+1，则u=arctanv.

故y=ln[arctan（x2+1）]是由y=lnu，u=arctanv，v=x2+1复合而成的.

3.初等函数

定义9　由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或有限次函数的复合后所得到的能用一个解析式表达的函数，称为初等函数.

如　y=，y=sin2x，y=ln（x2+1）等都是初等函数.

本课程讨论的主要是初等函数.