1.2　集合的表示法

本节重点知识：

1.列举法.

2.描述法.

集合的元素有多有少，有的是有限集，有的是无限集，在不同的地方，使用集合研究问题的目的也各不相同，根据不同的需要，表示集合的方法也各不相同.经常使用的表示集合的方法有两种：

1.列举法

我们把“中国古代四大发明”组成的集合表示为{指南针，造纸术，活字印刷术，火药}，把“方程x2-9=0的所有实数根”组成的集合表示为{-3，3}.

像这样把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.

例1　用列举法表示下列集合：

（1）小于8的所有自然数组成的集合；

（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；

（3）大于0且小于8的偶数组成的集合.

分析　题目中要求用列举法表示集合，需先分析集合中元素的特征及满足的性质，再一一列举出来满足条件的元素.

解　（1）小于8的所有自然数组成的集合{0，1，2，3，4，5，6，7}.

由于集合中元素具有无序性，因此集合可以有不同的列举方法.例如{7，6，5，4，3，2，1，0}.

（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合{0，1}.

（3）大于0且小于8的偶数组成的集合{2，4，6}.

列举法表示的集合的种类：

（1）元素个数少且有限时，全部列举，如{1，2，3，4}；

（2）元素个数多且有限时，可以列举部分元素，中间用省略号表示，如{1，2，3，4，…，100}；

（3）元素个数无限但有规律时，如自然数集N可以表示为{0，1，2，3，…}

用列举法表示集合时要注意以下几点：

（1）元素间用“，”隔开，而不是用“、”隔开；

（2）元素不能重复，满足元素的互异性；

（3）元素排列没有顺序，满足元素的无序性；

（4）对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号.

练一练

用列举法表示下列集合：

（1）大于-2且小于10的所有整数组成的集合；

（2）小于11的所有整数组成的集合；

（3）方程x2=16的所有实数根组成的集合；

（4）不大于10的所有正偶数组成的集合；

（5）大于 且小于 的所有偶数组成的集合；

（6）12的所有正因数组成的集合.

注意：

空集∅与集合{0}不同，∅指的是不含任何元素的集合；{0}是由一个元素0所组成的集合.

想一想

（1）你能用自然语言描述集合{2，4，6，8，10}吗？

（2）你能用列举法表示不等式x-2<5的解集吗？

2.描述法

我们不能用列举法表示不等式x-2<5的解集，因为这个集合中的元素是列举不完的.但是，我们可以用这个集合中元素所具有的共同特征来描述.

例如，不等式x-2<5的解集中所含元素的共同特征是：x∈R，且x-2<5，即x<7.所以，我们可以把这个集合表示为

{x|x<7，x∈R}

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征及取值（或变化）范围.

注意竖线“|”不能省略.集合中元素的共同性质可以用文字语言或符号语言描述.例如，由直线y=x+1上的点组成的集合，可以表示为：{P|P是直线y=x+1上的点}或{（x，y）|y=x+1}.

例2　用描述法表示下列集合：

（1）大于-5的所有实数组成的集合；

（2）{2，4，6，8，10}；

（3）不小于-2的所有有理数组成的集合；

（4）所有平行四边形组成的集合.

分析　用描述法表示集合时要先确定集合中元素的特征，再给出其满足的条件.

解　（1）设大于-5的实数为x，它满足条件x>-5，且x∈R，因此，用描述法表示为

A={x|x>-5，x∈R}；

当x的取值集合为R时，x∈R可省略不写，可写作A={x|x>-5}.

（2）设这个集合中的元素为x，它满足条件x=2n，n<6，且n∈N+，因此，用描述法表示为

B={x|x=2n，n<6，n∈N+}；

（3）设不小于-2的有理数为x，它满足条件x≥-2，x∈Q，因此，用描述法表示为

C={x|x≥-2，x∈Q}；

（4）设平面图形为x，它满足的条件是平行四边形，因此，用描述法表示为

D={x|x是平行四边形}.

描述法表示集合的条件：对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法.

用描述法表示集合时要注意以下几点：

（1）写清楚集合的代表元素的符号；

（2）说明集合中元素的共同属性；

（3）不能出现未被说明的字母；

（4）多层描述时，要准确使用“且”“或”；

（5）所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容要简明、准确；

（6）在不致引起混淆的情况下，用描述法表示集合还可以使用简单的形式，如{直角三角形}，{小于10的正整数}；

（7）当x的取值集合为R时，x∈R可省略不写，如{x|x>2，x∈R}可写作{x|x>2}.

练一练

用描述法表示下列集合：

（1）小于60的所有自然数组成的集合；

（2）大于-2且小于10的所有实数组成的集合；

（3）大于8的所有有理数组成的集合；

（4）不小于 的所有整数组成的集合；

（5）{1，3，5，7，9}；

（6）所有等腰三角形组成的集合.