1.2.1　数列的极限

一般地，按一定顺序排列的一列数x1，x2，…，xn，…叫作数列，简记为{xn}，数列中的每一个数叫作数列的项，第n项xn叫作数列的一般项或通项.

例如：

（1，通项为；

（2）1，-1，1，-1，…，通项为xn=-（1）n+1；

（3）2，4，8，…，2n，…，通项为xn=2n.

例1　某新发现的稀有金属矿的矿藏量为q亿吨，计划今后第一个10年开采矿藏量的，第二个10年开采剩余矿藏量的，第三个10年开采剩余矿藏量的，……，第n个10年后，还剩多少矿藏量？多少个10年才能全部开采所有矿藏量？

解　第一个10年后，剩余矿藏量为；

第二个10年后，剩余矿藏量为；

第三个10年后，剩余矿藏量为；

……

第n个10年后，剩余矿藏量为

当自变量n变大时，矿藏量变小；当自变量n无限增大时，矿藏量无限趋近于0.

发现：数列{xn}可看作自变量为正整数n的函数

xn=f（n），n∈N+.

下面我们要讨论的是：当n无限增大时（即n→∞时），对应的xn=f（n）是否能无限接近某个确定的数值？如果能，这个数值等于多少？

观察上述数列可以发现，当n无限增大时，数列（1）无限趋近于一个确定的常数1，数列（2）无限趋向于两个确定的常数，数列（3）无限增大，例1中的数列无限趋近于0，从而引出数列极限的定义：

定义1　对于数列{xn}，如果当n无限增大时，其通项xn无限接近于某一个确定的常数A，则称常数A为数列{xn}的极限，或者称{xn}收敛于A，记作

　或　xn→A（n→∞），

此时也称数列收敛，否则称数列发散，习惯上也说极限不存在.

例2　观察下列数列变化趋势，利用数列极限定义写出极限.

解　通过观察发现，当n无限增大时，各数列的变化趋势如下：

（1）因为数列的通项无限趋近于确定的常数1，所以由数列极限定义得到

因此数列{xn}是收敛的.

（2）因为数列的通项无限趋近于确定的常数0，所以由数列极限定义得到

因此数列{yn}是收敛的.

（3）因为数列的通项zn=2无限趋近于确定的常数2，所以由数列极限定义得到

因此数列{zn}是收敛的.

（4）因为数列的通项无限趋近于两个确定的常数0和1，即该数列不能趋近于一个确定的常数，所以不存在，因此数列{wn}是发散的.

发现：（1） ）；（2） ）；

例如，当n→∞时，数列的通项与3的距离为

所以

因此该数列收敛.

讨论下列数列收敛还是发散.如果收敛写出其极限，并探讨数列与极限相差多少.

发现：数列{xn}的极限为A，即当项数无限增大时，数列的通项无限趋近于一个确定的常数A，此时通项与A的距离无限趋近于0，

当n→∞时，|xn-A|→0.

数列{xn}的极限为A的几何意义：当n→∞时，|xn-A|→0.表示在n→∞的过程中，一定存在某一项xN，当n>N时，所有的点xn都落在开区间（A-ε，A+ε）内，而只有有限个（至多只有N个）在这区间以外，如图1-15所示.