2.6.4　微分在近似计算中的应用

微分有许多重要的应用，近似计算是其广泛应用之一.用什么公式作近似计算呢？一般要求有两点：一是有足够好的精度，二是计算简便.用微分来作近似计算常常能满足这些要求.由微分的定义知道，当|Δx|很小时，且f′（x0）≠0时，由Δy≈dy，推得

f（x0+Δx）-f（x0）≈f′（x0）Δx，

或

f（x）≈f（x0）+f′（x0）（x-x0）.

发现：当x0=0，|x|很小时，f（x）≈f（0）+f′（0）x，由此可推得公式sinx≈x，tanx≈x，ln（1+x）≈x，ex-1≈x， 等.

例5　计算sin29°的近似值（保留四位小数）.

解　选函数f（x）=sinx，x=29°，；

f′（x）=cosx， ，

代入公式f（x）≈f（x0）+f′（x0）（x-x0），得

例6　求的近似值（保留四位小数）.

解　选函数，x=8.9，x0=9；

，x-x0=8.9-9=-0.1，

代入公式f（x）≈f（x0）+f′（x0）（x-x0），得

例7　试证当|h|很小时，eh≈1+h.

证明　选函数f（x）=ex，x0=0，x=h，f（x0）=1，f′（x0）=1，代入公式

f（x）≈f（x0）+f′（x0）（x-x0）

得

eh≈1+h.