3.1.3　拉格朗日定理

罗尔定理中的条件f（a）=f（b）很特殊，在实际应用中不容易满足，使得罗尔定理的应用受到一定的限制.若保持定理的前两个条件不变，将条件f（a）=f（b）去掉，并相应地改变结论，就得到了微分学中的又一个重要定理拉格朗日中值定理.

定理3（拉格朗日中值定理）　若函数y=f（x）满足：

（1）在闭区间[a，b]上连续；

（2）在开区间（a，b）内可导.

那么在（a，b）内至少有一点ξ，使f′（ξ）= .

拉格朗日中值定理的几何意义是：函数y=f（x）在区间[a，b]上的图形是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么在曲线弧上至少有一点（ξ，f（ξ）），使得在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线，如图3-5所示.

发现：（1）罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况.

（2）拉格朗日定理的条件是充分而非必要的.

由拉格朗日中值定理可得出下面两个重要的推论：

推论1　如果函数f（x）在区间（a，b）内任意一点的导数f′（x）都等于0，则函数f（x）在（a，b）内是一个常数.

推论2　如果函数f（x）与g（x）在区间（a，b）内每一点的导数f′（x）与g′（x）都相等，则函数f（x）与g（x）在（a，b）内至多相差一个常数.

例3　验证函数f（x）=x3-3x在区间[0，2]上满足拉格朗日定理的条件，并求定理中ξ的值.

解　由于f（x）=x3-3x是（-∞，+∞）上的初等函数，所以f（x）=x3-3x在区间[0，2]上连续，在区间（0，2）内可导，所以满足拉格朗日定理的条件，且f′（x）=3x2-3.所以有，由于f（2）=2，f（0）=0，f′（x）=3x2-3，将这些代入，可得3ξ2-3=1，解得.

例4　试证：当x>0时，有<ln（1+x）<x.

证明　令f（x）=ln（1+x），则f（x）在[0，x]上满足拉格朗日定理条件，且f′（x）=，于是有

f（x）-f（0）=f′（ξ）x（0<ξ<x），

即

（0<ξ<x），

由于 < <1，所以 < <x，即

<ln（1+x）<x.