第3章　效用论

3.1　复习笔记

一、效用论概述

1效用的概念

效用是指商品满足人的欲望的能力评价，或者说，效用是指消费者在消费商品时所感受到的满足程度。一种商品对消费者是否具有效用，取决于消费者是否有消费这种商品的欲望，以及这种商品是否具有满足消费者欲望的能力。

2基数效用与序数效用

（1）基数效用论。基数效用论者认为，效用如同长度、重量等概念一样，可以具体衡量并加总求和，具体的效用量之间的比较是有意义的。

（2）序数效用论。序数效用论者认为，效用仅是次序概念，而不是数量概念。在分析商品效用时，无需确定其具体数值是多少，只需用第一、第二、第三等序数来说明各种商品效用大小顺序，并由此作为消费者选择商品的根据。

（3）基数效用论与序数效用论的比较

差异：①假设不同。基数效用论假设消费者消费商品所获得的效用是可以度量的，可以用基数表示。序数效用论则认为消费所获得的效用只可以进行排序，而不可以度量。效用的大小及特征表现在无差异曲线中。②使用的分析方法不同。基数效用论使用，即在预算约束下求效用值的最大化作为工具；而序数效用论则使用无差异曲线、预算线作为分析工具。③均衡条件的表达不同。基数效用论表达式为；序数效用论表达式为。

相同点：①都是从市场的需求方着手，通过推导需求曲线，说明需求曲线上的任一点都表示消费者获得了效用最大化。②都是一种消费者行为理论，都把消费者的行为看作是在既定的收入条件下追求最大化效用的过程。③都以边际效用理论为基础，认为商品的价值或价格是由商品带给消费者的边际效用的大小来决定的。④推导的需求曲线具有相同的趋势，都符合需求规律。

二、边际效用分析

1总效用与边际效用的概念及其数学表达公式

总效用是指消费者在一定时间内从一定数量的商品的消费中所得到的效用量的总和。假定消费者对一种商品的消费数量为，则总效用函数为：

边际效用是指消费者在一定时间内增加一单位商品的消费所得到的效用量的增量。

相应的边际效用函数为：

当商品的增加量趋于无穷小，即时有：

2边际效用递减规律

（1）边际效用递减规律的内容

边际效用递减规律是指在一定时间内，在其他商品的消费数量保持不变的条件下，随着消费者对某种商品消费量的增加，消费者从该商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增量，即边际效用是递减的。

（2）边际效用递减的原因

一是生理或心理的原因，人的欲望虽然多种多样、永无止境，但由于生理等因素的限制，就每个具体的欲望满足来说则是有限的。最初欲望最大，因而消费第一单位商品时得到的满足也最大。随着商品消费的增加，欲望也随之减少，从而感觉上的满足程度递减，以致当要满足的欲望消失时还增加消费的话，反而会引起讨厌的感觉。二是设想物品有多种多样的用途，并且各种用途的重要程度不同，人们总会把它先用于最重要的用途，也就是效用最大的地方，然后才是次要的用途，故后一单位的物品给消费者带来的满足程度或效用水平一定小于前一单位。

3货币的边际效用

基数效用论者认为，货币如同商品一样，也具有效用。商品的边际效用递减规律对于货币也同样适用。但是，在分析消费者行为时，基数效用论者又通常假定货币的边际效用是不变的。

4消费者均衡

（1）消费者均衡的含义

消费者均衡是研究单个消费者如何把有限的货币收入分配在各种商品的购买中以获得最大的效用。也可以说，它是研究单个消费者在既定收入下实现效用最大化的均衡条件。这里的均衡是指消费者实现最大效用时既不想再增加、也不想再减少任何商品购买数量的一种相对静止的状态。

（2）消费者均衡的条件

如果消费者的货币收入水平是固定的，市场上各种商品的价格是已知的，那么，消费者应该使自己所购买的各种商品的边际效用与价格之比相等，即消费者应使自己花费在各种商品购买上的最后一元钱所带来的边际效用相等。

消费者用既定的收入购买种商品，、、、分别为种商品的既定价格，为不变的货币的边际效用。以、、、分别表示种商品的数量，、、、分别表示种商品的边际效用，则消费者效用最大化的均衡条件可以用公式表示为：

5需求曲线的推导

基数效用论者以边际效用递减规律和建立在该规律上的消费者效用最大化的均衡条件为基础推导消费者的需求曲线。

商品的需求价格是指消费者在一定时期内对一定量的某种商品所愿意支付的最高价格。基数效用论者认为，商品的需求价格取决于商品的边际效用：一单位商品的边际效用越大，消费者为购买这一单位商品所愿意支付的价格就越高。由于边际效用递减规律，随着消费者对商品消费量的连续增加，每一单位商品的边际效用是递减的，因此消费者所愿意支付的价格也是递减的。这意味着，建立在边际效用递减规律上的需求曲线是向右下方倾斜的。

购买一种商品的效用最大化的均衡条件：

对任何一种商品来说，随着需求量的不断增加，边际效用是递减的。于是，为了保证均衡条件的实现，在货币的边际效用λ不变的前提下，商品的需求价格必然与同比例递减。

三、无差异曲线分析

1关于消费者偏好的几个假定

偏好（Preference）就是爱好或喜欢的意思。经济学家对消费者偏好提出以下几个基本假定：

（1）偏好的完全性。偏好的完全性指消费者总是可以比较和排列所给出的不同商品组合。

（2）偏好的非饱和性。如果两个商品组合的区别仅在于其中一种商品的数量不同，则消费者总是偏好于含有这种商品数量较多的那个商品组合。即就商品（goods）而非厌恶品（bads）而言，人们希望是多多益善。

（3）偏好的可传递性。如果消费者对A的偏好大于B，对B的偏好大于C，那么对A的偏好就大于C。

（4）偏好的单调性。如果一个消费组合所包含的每种商品的数量至少同另—个消费组合的一样多，那么，这个消费组合至少同另一个消费组合一样好。

（5）偏好的凸性。这里的凸性是指无差异曲线是凸的。之所以要假定消费者的偏好是凸状的，是因为在大多数情况下各种商品是搭配消费的。正常情况下，消费者总是会愿意用一种商品去换取另外的商品，最终消费各种商品的一部分，而不是单独一种。

偏好和偏好假定为借助无差异曲线分析消费者行为提供了条件。

2无差异曲线

（1）无差异曲线的含义

无差异曲线是用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合的曲线。或者说，它是表示能够给消费者带来相同的效用水平或满足程度的两种商品的所有组合的曲线。如图3-1所示，在同一条无差异曲线上的点代表了消费者认为无差异的所有可能的消费组合。

图3-1  无差异曲线图

（2）无差异曲线的基本特征

①在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，可以有无数条无差异曲线。

②离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越高，离原点越近的无差异曲线代表的效用水平越低。

③在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线不会相交。

④无差异曲线向右下方倾斜，且凸向原点。

3边际替代率及其递减法则

（1）商品的边际替代率的含义和计算

商品的边际替代率是指在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费数量时所需要放弃的另一种商品的消费数量。商品1对商品2的边际替代率的定义公式为：

当商品数量的变化趋于无穷小时，则商品的边际替代率公式为：

（2）边际替代率的几何意义

无差异曲线上某一点的边际替代率就是无差异曲线在该点的斜率的绝对值。

（3）商品的边际替代率递减规律

在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品的消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。

4无差异曲线的特殊形状

无差异曲线的形状可以表明人们用一种商品替代另一种商品的愿意程度。现实中可能还存在以下两种极端情况：

（1）完全替代型偏好的无差异曲线，完全替代品指两种商品之间的替代比例是固定不变的情况。因此，在完全替代的情况下，两商品之间的边际替代率就是一个常数，相应的无差异曲线是一条斜率不变的直线。

（2）完全互补型偏好的无差异曲线。完全互补品指两种商品必须按固定不变的比例同时被使用的情况。因此，在完全互补的情况下，相应的无差异曲线为直角形状。

5预算线

（1）预算线的含义与数学公式表达

预算线又称为预算约束线、消费可能线或价格线，表示在消费者的收入和商品的价格给定的条件下，消费者的全部收入所能购买到的两种商品的各种组合。

预算线方程：。其中，表示消费者既定收入，和分别为商品1和商品2的购买数量，和分别为商品1和商品2的价格，分别为购买商品1和商品2的支出。

（2）预算线的变动

预算线的斜率变化和水平移动情况如图3-2所示，由此可见预算线具有以下特征：

①两种商品的价格和不变，消费者的收入发生变化，这时，相应的预算线的位置会发生平移。如图3-2（a）所示，假定原有的预算线为，消费者收入增加，使预算线由向右平移至。相反，消费者收入减少，使预算线向左平移至。前者表示消费者的全部收入用来购买任何一种商品的数量都因收入的增加而增加，相反，后者表示消费者的全部收入用来购买任何一种商品的数量都因收入的减少而减少。

图3-2  预算线的变动

②消费者的收入不变，两种商品的价格和同比例同方向发生变化，这时，相应的预算线的位置也会发生平移。

③当消费者的收入不变，商品1的价格发生变化而商品2的价格保持不变，这时，预算线斜率发生变化，预算线与轴的截距发生变化，如图3-2（b）所示。反之，预算线与轴的截距发生变化，如图3-2（c）所示。

④消费者的收入与两种商品的价格和都同比例同方向发生变化，这时预算线不发生变化。它表示消费者的全部收入用来购买任何一种商品的数量都未发生变化。

6消费者均衡条件及其图解

在一定的预算约束下，为了实现最大的效用，消费者应该选择最优的商品组合，使得两种商品的边际替代率等于两种商品的价格之比。也可以这样理解：在消费者的均衡点上，消费者愿意用一单位的某种商品去交换的另一种商品的数量（即），应该等于该消费者能够在市场上用一单位的这种商品去交换得到的另一种商品的数量图3-3消费者的均衡（即）。消费者的均衡如图3-3所示。

图3-3  消费者的均衡

序数效用论条件下的消费者均衡条件为，表示无差异曲线与预算线相切的切点即为消费者均衡点。这一均衡条件可以用数学方法予以证明。证明如下：

第一步，将经济问题转化成数学模型，即：在约束条件下，求的最大值。

第二步，数学求解。构造拉格朗日函数。拉格朗日定理认为，最优选择必定满足以下三个一阶条件：

可得：。

第三步，经济意义解释。当商品的边际效用之比等于它们价格比时，就达到了消费者均衡。

四、消费者均衡比较静态分析

对消费者均衡进行比较静态分析时，应先考察商品价格变化和消费者收入变化对均衡的影响，并在此基础上分别推导出消费者的需求曲线和恩格尔曲线。

1价格变化的影响

（1）价格—消费曲线

价格—消费曲线是在消费者的偏好、收入以及其他商品价格不变的条件下，与某一种商品的不同价格水平相联系的消费者效用最大化的均衡点的轨迹。在图3-4中，假定商品1的初始价格为，相应的预算线为，它与无差异曲线相切于效用最大化的均衡点。如果商品1的价格由下降为，相应的预算线由移至，于是，与另外一条较高无差异曲线相切于均衡点。如果商品1的价格再由继续下降为，相应的预算线由移至，于是，与另一条更高的无差异曲线相切于均衡点……，不难发现，随着商品1的价格不断变化，可以找到无数个诸如那样的均衡点，它们的轨迹就是价格—消费曲线。

图3-4  价格—消费曲线和消费者的需求曲线

（2）消费者的需求曲线

由消费者的价格—消费曲线可以推导出消费者的需求曲线。在图3-4（a）中的均衡点，商品的价格为，则商品1的需求量为。在均衡点，商品1的价格由下降为，则商品1的需求量由增加为。在均衡点，商品1的价格进一步由下降为，则商品1的需求量由再增加为。根据商品1的价格和需求量之间的这种对应关系，把每一个数值和相应的均衡点上的数值绘制在商品的价格—数量坐标图上，便可以得到单个消费者对商品1的需求曲线，如图3-4（b）所示。

2收入变化的影响

（1）收入—消费曲线

收入—消费曲线是在消费者的偏好和商品价格不变的条件下，与消费者的不同收入水平相联系的消费者效用最大化的均衡点的轨迹。如图3-5所示，在图3-5（a）中，随着收入的不断增加，预算线由移至再移至，于是，形成了三个不同收入水平下的消费者效用最大化的均衡点。如果收入水平的变化是连续的，则可以得到无数个这样的均衡点的轨迹，这便是图3-5（a）中的收入—消费曲线。图3-5（a）的收入—消费曲线是向右上方倾斜的，它表示：随着收入水平的增加，消费者对商品1和2的需求量都是增加的。在图3-5（b）中，采用与图3-5（a）中类似的方法，随着收入水平的连续增加，描绘出了另一条收入—消费曲线。但是图3-5（b）中的收入—消费曲线是向后弯曲的，它表示：随着收入水平的增加，消费者对商品1的需求量开始是增加的，但当收入上升到一定水平之后，消费者对商品1的需求量反而减少了。

图3-5  收入—消费曲线

（2）恩格尔曲线

恩格尔曲线表示消费者在每一收入水平对某商品的需求量。与恩格尔曲线相对应的函数关系为，其中，为收入水平，为某种商品的需求量。由消费者的收入—消费曲线可以推导出消费者的恩格尔曲线。收入—消费曲线反映了消费者的收入水平和商品的需求量之间存在着一一对应的关系：以商品1为例，当收入水平为时，商品1的需求量为；当收入水平增加为时，商品1的需求量增加为；当收入水平再增加为时，商品1的需求量增加为，把这种一一对应的收入和需求量的组合描绘在相应的平面坐标图中，便可以得到相应的恩格尔曲线，如图3-6所示。

图3-6  恩格尔曲线

收入—消费曲线和恩格尔曲线是相对应的。如果商品1是正常品，商品1的需求量随着收入水平的上升而增加。在一定的收入水平上，图3-6（b）中的商品1由正常品转变为劣等品。或者说，在较低的收入水平范围，商品１的需求量与收入水平成同方向的变动；在较高的收入水平范围，商品1的需求量与收入水平成反方向的变动。

五、替代效应与收入效应

1替代效应与收入效应的含义

某种商品价格变动所引起的该商品需求量变动的总效应可以被分解为替代效应和收入效应两个部分，即总效应=替代效应+收入效应。

（1）替代效应。由商品的价格变动所引起的商品相对价格的变动，进而由商品相对价格变动所引起的商品需求量的变动为替代效应。

（2）收入效应。由商品的价格变动所引起的实际收入水平变动，进而由实际收入水平变动所引起的商品需求量的变动为收入效应。

收入效应表示消费者的效用水平发生变化，替代效应则不改变消费者的效用水平。

2正常物品的替代效应与收入效应

对于正常物品来说，替代效应与价格成反方向的变动，收入效应也与价格成反方向的变动，在它们的共同作用下，总效应必定与价格成反方向的变动。正因为如此，正常物品的需求曲线是向右下方倾斜的。

3低档物品的替代效应与收入效应

对于低档物品来说，替代效应与价格成反方向的变动，收入效应与价格成同方向变动，而且，在大多数的场合，收入效应的作用小于替代效应的作用，所以，总效用与价格成反方向的变动，相应的需求曲线是向右下方倾斜的，但吉芬物品除外。

4吉芬物品的替代效应与收入效应

作为低档物品，吉芬物品的替代效应与价格成反方向的变动，收入效应与价格成同方向的变动。吉芬物品的特殊性就在于：它的收入效应的作用很大，以至于超过了替代效应的作用，从而使得总效应与价格成同方向的变动。这也就是吉芬物品的需求曲线呈现出向右上方倾斜的特殊形状的原因。

综上所述，物品价格变化所引起的替代效应和收入效应如表3-1所示。

表3-1  商品价格变化所引起的替代效应和收入效应

六、消费者剩余

1消费者剩余的概念

消费者剩余通常被用来度量和分析社会福利问题。消费者剩余是指消费者愿意支付的金额与其实际支付的金额的差额。它虽然并不真正代表消费者在购买之后所剩下的真实的东西，但它代表了消费者以低价购买商品所获得的利益。

2消费者剩余的计算和几何图形表示

在计算消费者剩余时可以使用以下公式：令反需求函数为，价格为时的消费者的需求量为，则消费者剩余。公式右边的第一项即积分项表示消费者愿意支付的总金额，第二项表示消费者实际支付的总金额。

图3-7  消费者剩余

如图3-7所示，需求曲线以反需求函数的形式给出，它表示消费者对每一单位商品所愿意支付的最高价格。假定该商品的市场价格为，消费者的购买量为，在产量0到区间，需求曲线以下的面积表示消费者为购买数量的商品所愿意支付的最高总金额，即相当于图中的面积，而实际支付的总金额等于市场价格乘以购买量，即相当于图中的矩形面积这两块面积的差额即图中阴影部分面积，就是消费者剩余。简单地说，消费者剩余就是消费者需求曲线以下、市场价格以上的面积。

七、市场需求

一种商品的市场需求是指在一定时期内在各种不同的价格下市场中所有消费者对某种商品的需求数量。因而，一种商品的市场需求不仅依赖于每一个消费者的需求函数，还依赖于该市场中所有消费者的数目。

假定在某一商品市场上有个消费者，他们都具有不同的个人需求函数，、2….，则该商品市场的需求函数为。

市场需求曲线是单个消费者的需求曲线的水平加总，一般也是向右下方倾斜的。市场需求曲线表示某商品市场在一定时期内在各种不同的价格水平上所有消费者愿意而且能够购买的该商品的数量。市场需求曲线上的每个点都表示在相应的价格水平下可以给全体消费者带来最大的效用水平或满足程度的市场需求量。

八、不确定性和风险

1不确定性和风险

不确定性是指经济行为者在事先不能准确地知道自己的某种决策的结果，或者说，只要经济行为者的一种决策的可能结果不止一种，就会产生不确定性。描述不确定性的指标有概率、期望值、方差等。

在消费者知道自己某种行为决策的各种可能的结果时，如果消费者还知道各种可能结果发生的概率，则可以称这种不确定的情况为风险。

2期望效用与期望值的效用

消费者的期望效用，又称预期效用，是指不确定条件下可能得到的各种结果的效用的加权平均数。如果用和分别表示两种结果和发生的概率，则期望效用函数可记作或，即

。显然，期望效用是每个状态中的某种效用函数和的加权平均，代表了消费者对每个状态的消费或收入的偏好。

期望效用和期望值是两个不同的概念。后者是指消费者在不确定条件下所拥有财富的加权平均数，期望值公式为：，期望值效用=。

3消费者对风险的态度

（1）风险规避者

当一个消费者的期望效用小于期望值效用时，他是风险规避者。他的效用函数是严格凹性的，其曲线斜率随着财富的增加而变得越来越平坦。

（2）风险爱好者

当一个消费者的期望效用大于期望值效用时，他是风险爱好者。他的效用函数是严格凸性的，其曲线斜率随着财富的增加而变得越来越陡峭。

（3）风险中立者

当一个消费者的期望效用等于期望值效用时，他是风险中立者。他在图形上表现为一条穿过原点的直线。

可见，不同的消费者对待风险的态度是不同的。在现实生活中，大多数人在大多数时间里是风险规避者，人们会以各种形式避免风险。但是，有些人在某种情况下却喜欢冒风险。真正的风险中立者可能并不多见。

4降低风险的途径

（1）多样化选择。多样化选择指消费者在计划未来一段时间内的某项带有风险的经济活动时，可以采取多样化的行动，以降低风险。

（2）风险分散。投资者通过投资许多项目或者持有许多公司的股票而分散风险。这种以多种形式持有资产的方式，可以一定程度地避免持有单一资产而发生的风险，这样投资者的投资报酬就会更加确定。

（3）保险。在消费者面临风险的情况下，风险回避者会愿意放弃一部分收入去购买保险。如果保险的价格正好等于期望损失，风险规避者将会购买足够的保险，以使他们从任何可能遭受的损失中得到全额补偿，确定收入给他们带来的效用要高于存在无损失时高收入、有损失时低收入这种不稳定情况带来的效用。此外，消费者可以进行自保，一是采取资产多元化组合，如购买共同互助基金；二是向某些基金存放资金，以抵消未来损失或收入降低。

3.2　课后习题详解

1已知一件衬衫的价格为80元，一份肯德基快餐的价格为20元，在某消费者关于这两种商品的效用最大化的均衡点上，一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率是多少？

解：按照两种商品的边际替代率的定义公式，可以将一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率写成：

其中，表示肯德基快餐的份数；表示衬衫的件数；表示在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一份肯德基快餐消费时所需要放弃的衬衫的消费数量。

在该消费者实现关于这两种商品的效用最大化时，在均衡点上有：

即有：。

它表明，在效用最大化的均衡点上，对于该消费者来说，一份肯德基快餐对衬衫的边际替代率为0.25。

2假设某消费者的均衡如图3-8所示。其中，横轴和纵轴分别表示商品1和商品2的数量，线段为消费者的预算线，曲线为消费者的无差异曲线，点为效用最大化的均衡点。已知商品1的价格元。

图3-8  消费者效用最大化

（1）求消费者的收入；

（2）求商品2的价格；

（3）写出预算线方程；

（4）求预算线的斜率；

（5）求点的的值。

解：（1）图3-8中的横截距表示消费者的收入全部购买商品1的数量为30单位，且已知元，所以消费者的收入元。

（2）图3-8中的纵截距表示消费者的收入全部购买商品2的数量为20单位，且由（1）已知收入元，所以商品2的价格元。

（3）由于预算线方程的一般形式为：

所以，由（1）、（2）可将预算线方程具体写为：。

（4）将（3）中的预算线方程进一步整理为，预算线的斜率为。

（5）在消费者效用最大化的均衡点上，有，即无差异曲线的斜率的绝对值即等于预算线斜率的绝对值。因此，。

3请画出以下各位消费者对两种商品（咖啡和热茶）的无差异曲线，同时请对（2）和（3）分别写出消费者B和消费者C的效用函数。

（1）消费者A喜欢喝咖啡，但对喝热茶无所谓。他总是喜欢有更多杯的咖啡，而从不在意有多少杯的热茶。

（2）消费者B喜欢一杯咖啡和一杯热茶一起喝，他从来不喜欢单独只喝咖啡，或者单独只喝热茶。

（3）消费者C认为，在任何情况下，1杯咖啡和2杯热茶是无差异的。

（4）消费者D喜欢喝热茶，但厌恶喝咖啡。

答：（1）根据题意，对消费者A而言，热茶是中性商品，因此，热茶的消费数量不会影响消费者A的效用水平。消费者A的无差异曲线如图3-9（a）所示。图3-9中的箭头均表示效用水平增加的方向。

图3-9（a）

（2）根据题意，对消费者B而言，咖啡和热茶是完全互补品，其效用函数是。消费者B的无差异曲线如图3-9（b）所示。

图3-9（b）

（3）根据题意，对消费者C而言，咖啡和热茶是完全替代品，其效用函数是。消费者C的无差异曲线如图3-9（c）所示。

图3-9（c）

（4）根据题意，对消费者D而言，咖啡是厌恶品。消费者D的无差异曲线如图3-9（d）所示。

图3-9（d）

4对消费者实行补助有两种方法：一种是发给消费者一定数量的实物补助，另一种是发给消费者一笔现金补助，这笔现金额等于按实物补助折算的货币量。试用无差异曲线分析法，说明哪一种补助方法能给消费者带来更大的效用。

答：一般来说，发放现金补助的方法能给消费者带来更大的效用。分析如下：

发放现金补助，消费者可根据自己的偏好选择自己需要的商品，以获得尽可能大的效用；而发放一定数量的实物补助，则可能此实物不是消费者所需要或最需要的，这时，消费者就难以得到最大的满足了。分析如图3-10所示。在图3-10中，线代表实物和其他商品的价格一定时，发放一笔现金补助所形成的预算线。如发实物，该消费者最佳消费点为点，消费数量的实物和数量的其他商品，所获效用为；如发放现金补助让消费者根据偏好自由选购，该消费者最佳消费点为点，消费数量的实物和数量的其他商品，所获效用为。可以看出，，即用发放现金补助的方法能给消费者带来更大的效用。

图3-10  实物补助与现金补助

5已知某消费者每年用于商品1和商品2的收入为540元，两种商品的价格分别为元和元，该消费者的效用函数为，该消费者每年购买这两种商品的数量应各是多少？每年从中获得的总效用是多少？

解：（1）据题意有：，，，。

根据消费者效用最大化的均衡条件：。

其中，由可得：

于是有：，整理得：。

将代入预算约束式，即：。

解得：，。

因此，该消费者每年购买和这两种商品的数量分别为9和12。

（2）将以上最优的商品组合代入效用函数，得：

即该消费者最优商品购买组合给他带来的最大效用水平为3888。

6假设某商品市场上只有A、B两个消费者，他们的需求函数各自为和。

（1）列出这两个消费者的需求表和市场需求表。

（2）根据（1），画出这两个消费者的需求曲线和市场需求曲线。

答：（1）由消费者A的需求函数可编制消费者A的需求表；由消费者B的需求函数可编制消费者B的需求表。至于市场需求表的编制可以使用两种方法，一种方法是利用已得到消费者A、B的需求表，将每一价格水平上两个消费者的需求数量加总来编制市场需求表；另一种方法是先将消费者A和B的需求函数加总来求得市场需求函数，即市场需求函数，然后，运用所得到的市场需求函数（）来编制市场需求表。这两种方法所得到的市场需求表是相同的。

按以上方法编制的三张需求表如下所示：

表3-2  消费者A的需求表　  表3-3  消费者B的需求表　  表3-4  市场的需求表

　

（2）由（1）中的三张需求表，所画出的消费者A和B各自的需求曲线以及市场的需求曲线如图3-11所示。

图3-11  从单个消费者的需求曲线到市场需求曲线

需要特别指出的是，市场需求曲线有一个折点，该点发生在价格和需求量的坐标点位置。关于市场需求曲线的这一特征，可以从两个角度来解释：一个角度是从图形来理解，市场需求曲线是市场上单个消费者需求曲线的水平加总，即在的范围，市场需求曲线由两个消费者需求曲线水平加总得到；而当时，只有消费者B的需求曲线发生作用，所以，他的需求曲线就是市场需求曲线。另一个角度是从需求函数看，在的范围，市场需求函数成立；而当时，只有消费者B的需求函数才构成市场需求函数，即。

7假定某消费者的效用函数为，两商品的价格分别为、，消费者的收入为。分别求该消费者关于商品1和商品2的需求函数。

解：建立拉格朗日函数：。

效用最大化的一阶条件为：

由上式联立可得：，。

此分别为商品1和商品2的需求函数。

8令某消费者的收入为，两商品的价格为、。假定该消费者的无差异曲线是线性的，且斜率为。求该消费者的最优商品消费组合。

解：据题意，可知预算方程为：，预算线斜率为。

由于无差异曲线是直线，且斜率为，所以无差异曲线斜率的绝对值为：

所以，该消费者的最优商品消费组合有以下三种情况，其中第一二种情况属于边角解，如图3-5所示：

（1）当，即时，边角解是预算线与横轴的交点，如图3-12（a）所示。

这时，，由预算方程得：，即最优商品组合为（，0）。

（2）当时，边角解是预算线与纵轴的交点，如图3-12（b）所示。

这时，，由预算方程得：，即最优商品组合为（0，）。

（3）当时，无差异曲线与预算线重叠，预算线上各点都是最优商品组合点，即最优解为，，且满足，如图3-12（c）所示。

图3-12  最优商品组合

9假定某消费者的效用函数为，其中，为某商品的消费量，为收入。求：

（1）该消费者的需求函数。

（2）该消费者的反需求函数。

（3）当，时的消费者剩余。

解：（1）由题意可得，商品的边际效用为：

货币的边际效用为：

于是，根据消费者效用最大化条件，有，整理得需求函数为。

（2）由需求函数可得反需求函数为：。

（3）由反需求函数可得消费者剩余为：

将，代入上式，则由消费者剩余。

10设某消费者的效用函数为柯布-道格拉斯类型的，即，商品和商品的价格分别为和，消费者的收入为，和为常数，且。

（1）求该消费者关于商品和商品的需求函数。

（2）证明当商品和的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两商品的需求关系维持不变。

（3）证明消费者效用函数中的参数和分别为商品和商品的消费支出占消费者收入的份额。

解：（1）由消费者的效用函数，可得：

消费者的预算约束方程为。根据消费者效用最大化条件：

得：

解上述方程组得：，。

上式分别为消费者关于商品和商品的需求函数，其图形如图3-13所示。

图3-13  商品和商品的需求曲线

（2）当商品和的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，相当于消费者的预算线变为：

，其中为一非零常数。

此时消费者效用最大化的均衡条件变为：。

由于，故方程组化为，与（1）中方程组相同，故其解就是（1）中方程组的解。这表明消费者在这种情况下对两种商品的需求关系维持不变。

（3）由消费者的需求函数和可得：

关系式的右边正是商品的消费支出占消费者收入的份额。关系式的右边正是商品的消费支出占消费者收入的份额，故结论被证实。

11已知某消费者的效用函数为，两商品的价格分别为，，消费者的收入是。现在假定商品1的价格下降为。求：

（1）由商品1的价格下降所导致的总效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？

（2）由商品1的价格下降所导致的替代效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？

（3）由商品1的价格下降所导致的收入效应，使得该消费者对商品1的购买量发生多少变化？

解：（1）消费者效用最大化的问题是：

当，时，可得出最优消费束为（，）＝（10，20），此时消费者的效用水平为：。

当下降到2元时，可得出此时最优消费束为（，）＝（20，20），此时消费者的效用水平为：

。

所以，当从4元下降到2元时，消费者对商品1的购买量从10增加到20，增加了10个单位。

（2）下面在保持原来效用不变的情况下，在新的价格水平下，求出的需求量。此时，最优化问题是：

可得出时，达到了原有的效用水平，且为经过调整后的最优消费束。

所以，价格下降的替代效应使的购买量变化为。即由商品1的价格下降所导致的替代效应，使得该消费者对商品1的购买量增加4.14。

（3）由于价格下降的总的变化效应为，替代效应使得购买量变化为，所以收入效应为。即由商品1的价格下降所导致的收入效应，使得该消费者对商品1的购买量增加5.86。

12某消费者是一个风险回避者，他面临是否参与一场赌博的选择：如果他参与这场赌博，他将以5%的概率获得10000元，以95%的概率获得10元；如果他不参与这场赌博，他将拥有509.5元。那么，他会参与这场赌博吗？为什么？

解：该消费者不会选择赌博。

因为如果该消费者不参与这场赌博，那么在无风险条件下，他可以拥有一笔确定的货币财富是509.5元。其数额刚好等于风险条件下的财富量的期望值：

由于该消费者是风险回避者，所以在他看来，作为无风险条件下一笔收入509.5的效用水平大于在风险条件下赌博所带来的期望效用，因而他不会选择赌博。

13基数效用论者是如何推导需求曲线的？

答：基数效用论者以边际效用递减规律和建立在该规律上的消费者效用最大化的均衡条件为基础推导消费者的需求曲线。

（1）基数效用论者提出的商品的边际效用递减规律是其推导需求曲线的基础。基数效用论者指出，在其他条件不变的前提下，随着消费者对某商品消费数量的连续增加，该商品的边际效用是递减的，所以，消费者对每增加一单位商品所愿意支付的最高价格是递减的，即消费者对该商品的需求曲线是向右下方倾斜的。

（2）在只考虑一种商品的前提下，消费者实现效用最大化的均衡条件是。由此均衡条件出发，可以计算出需求价格，并推导与（1）中的消费者的向右下方倾斜的需求曲线。

14用图说明序数效用论者对消费者均衡条件的分析，以及在此基础上对需求曲线的推导。

答：序数效用论者对消费者均衡的分析和对需求曲线的推导，运用的两个基本分析工具是无差异性曲线和预算线。无差异性曲线是用来表示消费者偏好相同的两种商品的全部组合的，其斜率的绝对值可以用商品的边际替代率来表示。预算线表示在消费者收入和商品价格给定的条件下，消费者全部收入所能购买到两种商品的全部组合，其斜率为。

（1）序数效用论者对消费者均衡条件的分析

消费者效用最大化的均衡点发生在一条给定的预算线与无数条无差异曲线中的一条相切的切点上，于是，消费者效用最大化的均衡条件为：，或者。

图3-14  消费者的均衡

如图3-14所示，有一条预算线和三条反映不同效用程度的无差异曲线，只有预算线和无差异曲线的相切点，才是消费者在给定的预算约束下能够获得最大效用的均衡点。因为无论是无差异曲线的点，还是无差异曲线上的点，以及无差异曲线上除了之外的点，它们所表示的商品组合的效用，或者无法满足，或者小于点代表的效用水平。只有当既定的预算线和无差异曲线相切于点时，消费者才在既定的预算约束条件下获得最大的满足，故点就是消费者实现效用最大化的均衡点。在均衡点有：，这就是消费者效用最大化的均衡条件。它表示：在一定的预算约束下，为了实现最大的效用，消费者应该选择最优的商品组合，使得两种商品的边际替代率等于两种商品的价格之比。

（2）消费者需求曲线的推导

分析图3-15（a）中价格—消费曲线上的三个均衡点、和可以看出，在每一个均衡点上，都存在着商品1的价格与商品1的需求量之间一一对应的关系。在均衡点，商品1的价格为，商品1的需求量为。在均衡点，商品1的价格由下降到，则商品1的需求量由增加到。在均衡点，商品1的价格由下降到，则商品1的需求量由增加到。把每一个数值和相应的均衡点上的数值绘制在商品的价格—数量坐标图上，便可以得到单个消费者的需求曲线。这便是图3-15（b）中的需求曲线。

图3-15  需求曲线的推导

在图3-15（b）中，横轴表示商品1的数量，纵轴表示商品1的价格。图3-15（b）中需求曲线上的、、点分别和图3-8（a）中的价格—消费曲线上的均衡点、、相对应。至此，从序数效用论者对消费者经济行为的分析中推导出了消费者的需求曲线。由图3-15可见，序数效用论者所推导的需求曲线是向右下方倾斜的，它表示商品的价格和需求量成反方向变动关系。

15分别用图分析正常物品、低档物品和吉芬物品的替代效应和收入效应，并进一步说明这三类物品的需求曲线的特征。

答：（1）正常物品的替代效应和收入效应

图3-16  正常物品的替代效应和收入效应

如图3-16所示，横轴和纵轴分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是正常商品。是价格变化前消费者对商品1的需求量。商品1的价格下降后，商品需求量增加到。商品1需求量的增加量为

，这便是商品1的价格下降所引起的总效应。

如果作一补偿线，使该线与价格变化后的预算线平行，并与价格变化前的无差异曲线相切，则切点处对应的对商品1的需求量就是在商品价格变化后，剔除了收入效应的消费量。因此，就是商品1价格下降后的替代效应，就是商品1价格下降后的收入效应。

可以看出，对于正常物品来说，替代效应与价格成反方向的变动。收入效应也与价格成反方向的变动，在它们的共同作用下，总效应必定与价格成反方向的变动。正因为如此，正常物品的需求曲线是向右下方倾斜的。

（2）低档物品的替代效应和收入效应

如图3-17所示，横轴，商品1是低档物品。商品1的价格下降前后，消费者的效用最大化的均衡点分别为、点，因此，价格下降所引起的商品1的需求量的增加量为，这是总效应。下降引起的商品相对价格的变化，使消费者由均衡点运动到均衡点，相应的需求增加量为，这就是替代效应，它是一个正值。而下降引起的消费者的实际收入水平的变动，使消费者由均衡点运动到均衡点，需求量由减少到，就是收入效应，它是一个负值。

图3-17  低档物品的替代效应和收入效应

对低档物品来说，替代效应与价格成反方向的变动，收入效应与价格成同方向的变动，而且，在大多数的场合，收入效应的作用小于替代效应的作用。所以，总效应与价格成反方向的变动，相应的需求曲线是向右下方倾斜的。

（3）吉芬物品的替代效应和收入效应

如图3-18所示，商品1是吉芬物品。商品1的价格下降前后，消费者的效用最大化的均衡点分别为点和点，相应的商品1的需求量的减少量为，这就是总效应。通过补偿预算线可得：为替代效应；是收入效应，它是一个负值。而且，负的收入效应的绝对值大于正的替代效应的绝对值，所以，最后形成的总效应为负值。在图3-18中，点必定落在、两点之间。

图3-18  吉芬物品的替代效应和收入效应

对吉芬物品来说，替代效应与价格成反方向变动，收入效应与价格成同方向变动，但收入效应的作用大于替代效应的作用。所以，总效应与价格是同方向变动，相应的需求曲线就呈现向右上方倾斜的特殊形状。

3.3　名校考研真题详解

一、名词解释

1吉芬商品（Giffen goods）[武汉大学2000、2002、2003研；人大2003研；中山大学2005研；西安交大2007研；中央财大2008、2009研；北理工2012研；对外经贸大学2013研]

答：19世纪，英国统计学家罗伯特·吉芬发现一个现象，1845年爱尔兰发生灾荒，导致土豆价格上升，但居民对土豆的需求量却反而增加了，而这无法用传统的经济学理论进行解释，故此现象称为“吉芬难题”，并将像土豆这种随着物品价格上升，需求量反而增加的商品称之为“吉芬商品”。

吉芬商品是一种特殊的低档商品。作为低档商品，吉芬商品的替代效应与价格成反方向的变动，收入效应与价格成同方向的变动。吉芬商品的特殊性就在于：它的收入效应的作用很大，以至于超过了替代效应的作用，从而使得总效应与价格成同方向的变动。这也就是吉芬商品的需求曲线呈现出向右上方倾斜的特殊形状的原因。

2补偿预算线[人大2004研；华中科大2006研；西安交大2009研；西南大学2012研]

答：补偿预算线是用来表示当商品的价格发生变化引起消费者的实际收入水平发生变化时，用假设的货币收入的增减来维持消费者的实际收入水平不变的一种分析工具。

具体来说，在商品价格下降引起消费者的实际收入水平提高时，假设可以取走消费者的一部分货币收入，以使消费者的实际收入下降到只能维持原有的无差异曲线的效用水平（即原有的实际收入水平）这一情况。相反，在商品价格上升引起消费者实际收入水平下降时，假设可以对消费者的损失给予一定的货币收入补偿，以使消费者的实际收入维持原有的水平，则补偿预算线在此就可以用来表示消费者的货币收入提高到得以维持原有的无差异曲线的效用水平（即原有的实际收入水平）这一情况。

3直接显示偏好[中央财大2007研]

答：显示偏好理论是保罗·萨缪尔森于1948年在《用显示性的偏好论述的消费理论》一文中提出的研究需求理论的一种方法。通过观察消费者的购买行为（如何对价格和收入的变化做出反应）推测人们的偏好。

设是消费者在收入为时按价格购买的商品束，消费者花尽所有的收入，因此有等式形式的预算约束。又设是在收入既定条件下有能力购买的商品束，这意味着它满足不等式预算约束：

。如果这一不等式成立，且确实是不同于的商品束，就称是的直接显示偏好。

可以看出，显示偏好是按某种预算实际需求的消费束和按这种预算能够购买但并未购买的消费束之间的一种关系。

4无差异曲线[武汉大学2005研；西安交大2006研；北京交大2007研；华中科大2007研；中央财大2007研；北邮2008研；浙江大学2009研]

答：无差异曲线是序数效用论的一种分析方法，是用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合的。或者说，它是表示能够给消费者带来相同的效用水平或满足程度的两种商品的所有组合的。无差异曲线的绘制如图3-19所示

图3-19  无差异曲线

图3-19中，横轴和纵轴分别表示商品1的数量和商品2的数量。图3-19中的曲线表示商品1和商品2的不同组合给消费者带来的效用水平是相同的。与无差异曲线相对应的效用函数为。其中，

、分别为商品1和商品2的消费数量；是常数，表示某个效用水平。

无差异曲线具有以下三个基本特征：第一，由于通常假定效用函数是连续的，所以，在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，可以有无数条无差异曲线；第二，在同一坐标平面图上的任何两条无差异曲线不会相交；第三，无差异曲线是凸向原点的，即无差异曲线的斜率的绝对值是递减的。

5消费者均衡（equilibrium of the consumer）[人大2001、2005研；中国海洋大学2001研；东南大学2002、2006研；中南财大2004研；中国政法大学2005研；东北财大2007、2012研]

答：消费者均衡是指消费者的效用达到最大并维持不变的一种状态，其研究单个消费者如何把有限的货币收入分配在各种商品的购买中以获得最大的效用。也可以说，它是研究单个消费者在既定收入下实现效用最大化的均衡条件。这里的均衡指消费者实现最大效用时既不想再增加、也不想再减少任何商品购买数量的这么一种相对静止的状态。

基数效用论者认为,消费者实现效用最大化的均衡条件是：如果消费者的货币收入水平是固定不变的，市场上各种商品的价格是已知的，那么，消费者应该使自己所购买的各种商品的边际效用与价格之比相等。或者说，消费者应使自己花费在各种商品购买上的最后一元钱所带来的边际效用相等，即，其中为货币的边际效用。

序数效用论者把无差异曲线和预算线结合在一起说明消费者的均衡。任何一个理性的消费者在用一定的收入购买商品时，其目的是为了从中获得尽可能大的消费满足。消费者偏好决定了消费者的无差异曲线，一个消费者的关于任何两种商品的无差异曲线簇可以覆盖整个坐标平面；消费者的收入和商品的价格决定了消费者的预算线，在收入既定和商品价格已知的条件下，一个消费者关于两种商品的预算线只能有一条。那么，当一个消费者面临一条既定的预算线和无数条无差异曲线时，只有既定的预算线和其中一条无差异曲线的相切点，才是消费者获得最大效用水平或满足程度的均衡点，此时满足

6消费者剩余[南开大学2005、2009研；中山大学2005、2006研；厦门大学2006、2007研；华中科大2007研；南京大学2007研；上海财大2007研；对外经贸大学2007研；财政部财科所2008研；中央财大2010研]

答：消费者剩余是指消费者在购买一定数量的某种商品时愿意支付的最高总价格和实际支付的总价格之间的差额。由于消费者消费不同数量的同种商品所获得的边际效用是不同的，所以，他们对不同数量的同种商品所愿意支付的价格也是不同的。但是，消费者在市场上所面临的同种商品的价格往往却是相同的，这样，消费者为一定数量的某种商品所愿意支付的价格和他实际支付的价格之间就会有一定的差额，这一差额就构成消费者剩余。消费者剩余可以用图3-20来表示。

图3-20  消费者剩余

如图3-20所示，反需求函数表示消费者对每一单位商品所愿意支付的最高价格。消费者剩余可以用消费者需求曲线以下、市场价格线以上的面积来表示，即图3-20中的阴影部分面积所示。

二、简答题

1边际效用递减和边际替代率递减有何关系？消费者最优选择的等边际条件和切点条件有何关系？[上海大学2009研]

答：（1）边际效用递减决定了边际替代率递减

边际效用递减规律是指在一定时间内，在其他商品的消费数量保持不变的条件下，随着消费者对某种商品消费量的增加，消费者从该商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增量是递减的。边际替代率递减规律是指在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品的消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。之所以会普遍发生商品的边际替代率递减的现象，其原因在于：随着一种商品的消费数量的逐步增加，消费者从该商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增量即边际效用是递减的，从而消费者想要获得更多的这种商品的愿望就会递减，也即他为了多获得一单位的这种商品而愿意放弃的另一种商品的数量就会越来越少。由此可知，边际效用递减决定了边际替代率递减。

（2）由于在保持效用水平不变的前提下，消费者增加一种商品的数量所带来的效用增加量和相应减少的另一种商品数量所带来的效用减少量必定是相等的，即有：，该式可以写为

，即消费者的最优选择的等边际条件和切点的斜率相等。

2为什么对人的生命不可或缺的水的价格要比没有多少实际用处的钻石的价格低？[中国政法大学2003研；南京财经大学2004研；中山大学2005研；北理工2006研；中南财大2010研；厦门大学2010研]

答：对人的生命不可或缺的水的价格要比没有多少实际用处的钻石的价格低这一悖论就是著名的“钻石与水悖论”，也称为“价值悖论”。

约翰·劳认为水之所以用途大、价值小，是因为世上水的数量远远超过对它的需求，而用途小的钻石之所以价值大，是因为世上钻石的数量太少，不能满足人们对它的需求。即物以稀为贵。

马歇尔用供求均衡来解释“价值悖论”。他认为，人们对水所愿支付的价格，由于水的供应量极其充足，而仅能保持在一个较低的水平；可是，钻石的供应量却非常少，而需要的人又多，所以，想得到它的人，就必须付出超出众人的价格。

边际学派试图用“边际效用”来说明价值悖论。按照边际学派的观点，价格取决于商品的边际效用，而不是总效用。由于水源充足，边际效用很少，所以价格也就很便宜。同理，由于钻石稀缺，边际效用很大，其价格也就相应地昂贵。

3设：消费者所消费的两种商品组合集和分别代表两个不同的效用总量和（亦即）。求证：这两种组合集所描出的无差异曲线和在平面（，）上不相交。[厦门大学2005研；清华大学2006研]

证明：如图3-21所示，假设这两种组合集所描出的无差异曲线和在平面（，）上相交，相交点为点。

图3-21  无差异曲线不能相交

根据无差异曲线的定义，由无差异曲线可得、两点的效用水平是相等的，由无差异曲线可得、两点的效用水平是相等的。于是，根据偏好可传递性的假定，必定有和这两点的效用水平是相等的。但是，观察和比较图3-21中和这两点的商品组合，可以发现组合中的每一种商品的数量都多于组合，于是，根据偏好的非饱和性假定，必定有点的效用水平大于点的效用水平。

这样一来，矛盾产生了：该消费者在认为点和点无差异的同时，又认为点要优于点，这就违背了偏好的完备性假定。由此证明：对于任何一个消费者来说，两条无差异曲线相交的画法是错误的。所以，这两种组合集所描出的无差异曲线和在平面（，）上不相交。

三、计算题

1市场上黄瓜价格元，西红柿价格元，张三的收入为50元，其效用函数为的平方根。

（1）根据上述条件计算张三的最大效用；

（2）做出张三的无差异曲线和预算线的图，分析张三的最优消费组合，与（1）对比，说明其有何区别并说明理由。[人大2010研]

解：（1）由题意得预算约束方程为。由效用函数得，

，边际替代率，可见边际替代率是随着的增加而增加的，所以不能根据消费者均衡条件去求效用最大化时的消费组合（最大化的二阶条件不满足），此时效用最大化的点只能在预算线上的两个端点处获得，在点处的效用为，在另外一个点的效用为，因此张三的最大效用是。

（2）张三的无差异曲线和预算线如图3-22所示。

图3-22  张三的无差异曲线和预算线

可以看出，无差异曲线是以原点为中心的一条条圆弧，而预算线是一条直线，一条无差异曲线与预算线相切于点，而另一条无差异曲线与预算线相交于点，点是张三效用最小化的那一点，而点是张三效用最大化的那一点，不难算出张三的最优组合为，这和（1）的结果一致。

2王先生对财富w的效用函数为，他目前有1万元，他的地里可以种植某种作物，旁边有条小河，有10%的概率可能发生灾害，发生灾害了就会颗粒无收，如果没有发生灾害就会得到两倍的毛收益，问：

（1）王先生会投资多少？

（2）有提供竞争性保险的保险公司，保费是多少？[上海财大2010研]

解：（1）设王先生投资元，则剩余元。如果发生灾害，他这一部分的效用为；如果没有发生灾害，则投资的收益为元，总财富变为，他这一部分的效用为

。要使总效用最大，则根据一阶条件得：

解得：。

因此，王先生会投资8000元。

（2）假如王先生投资8000元，则发生灾害的话，其损失为8000元。设定保费为元，则保险公司的收益为元，而假如没有发生灾害的话，保险公司的收益为元，因此保险公司的期望收益为：

因为保险市场时竞争性的，因此保险公司的期望收益为零，于是有，因此保险费为800元。

3抛一枚硬币，正面朝上的概率是；你连续抛硬币，直到第一次出现正面为止（连续抛次，在第次第一次出现正面），这时候你的回报是$。

（1）如果，计算你的期望回报；

（2）假定你的期望效用函数为，用级数求和的形式表示抛硬币带来的期望效用；

（3）计算该预期效用值。[中央财大2009研]

解：（1）第次出现正面的概率是（=1，2，3……）

期望回报

当时，期望回报。

（2）期望效用函数为，则第次出现正面时，效用，则期望效用

。

（3）

令

即该预期效用值。

4设某商品的需求方程为：，试求价格和时的消费者剩余各为多少？[上海交大2000研]

解：消费者剩余测量的是消费单位的净效益，为单位的商品所带来的总效益减去购买单位商品的支出。

图3-23  消费者剩余

如图3-23所示，表示该商品的需求曲线。当价格时，产量，此时消费者剩余为的面积，即；当价格时，产量，此时消费者剩余为的面积，即

。

四、论述题

1在中国北方许多大城市，由于水资源不足造成居民用水紧张。请根据边际效用递减规律设计一种方案供政府来缓解或消除这个问题，并回答与你的方案有关的下列问题：

（1）对消费者剩余有何影响？

（2）对生产资源的配置有何有利的影响？

（3）对城市居民的收入分配有何影响？有何补救的办法？[北京交大2005研]

答：可用提高自来水的使用价格来缓解或消除这个问题。自来水的价格提高：一方面，用户会减少（节约）用水；另一方面，可扩大自来水的生产或供给。这样，自来水供应紧张的局面也许可得到缓解或消除。

图3-24  自来水的需求曲线

（1）采取这一措施，会使用户消费者剩余减少。

在图3-24中，横轴代表自来水的数量，纵轴代表自来水的价格。直线代表自来水的需求曲线。当自来水价格从，用户对自来水的需求量从。于是，消费者剩余从。

（2）对生产资源配置的有利效应是节约了水资源，可使之用于人们更需要的途径上，从而使水资源得到更合理有效的使用。但这样做，也许会造成其他资源的浪费。比方说，工厂里本来用水来冷却物体，现在要改用电来冷却，增加了对电和有关装置的需求。如果自来水价格提高过度，必然会带来更多其他资源的消耗，这是不利的一面。

（3）如果城市居民的名义收入不变，自来水的价格提高无异是降低了居民的实际收入，降低了居民的实际购买力。对此，可以给居民增加货币工资或予以价格补贴。

2政府对居民征税一般有两种办法，一种是征收消费税，另一种是征收所得税，不论采取哪一种征税办法，政府征收的税额都是一样，那么哪一种征税办法对居民会更为有利些？[清华大学2010研]

答：假定该消费者只消费两种物品，征税前，该消费者的预算约束，但当对物品1征收消费税后，该消费者的预算约束变为。消费税的效果在图3-25中表示出来。如果用表示税后消费水平，则征税所能得到的税收为。

图3-25  产品税与所得税

现在假定要对所得征税以获取同样的税收。消费者的预算约束则变为，这是一条斜率为

并通过的直线，如图3-25所示。需要注意的是，这条预算线穿过了通过的无差异曲线，所以，尽管都能得到同样的税收，但消费者相对于缴纳消费税而言，缴纳所得税能获得更高的效用水平。

对于获取同样的税收而言，消费者被征以消费税比被征以所得税所蒙受的效用损失更大。