第4章　生产论

4.1　复习笔记

一、企业的性质及经营目标

1企业的性质

传统的微观经济学理论，认为价格机制能有效的配置资源。问题是，假如生产是由价格机制调节的，生产能在根本不存在任何组织的情况下进行，那么组织为什么存在呢？

科斯在其被公认为是新制度经济学开山之作的论文《企业的性质》中提出了“交易成本”的概念。在科斯看来，企业和市场是两种不同的资源配置方式。在企业内是“权威”指导资源的配置，而在市场上则是价格配置资源。市场的运行是有成本的，通过形成一个组织，并允许某个权威（一个“企业家”）来支配资源，就能节约某些市场运行成本，即企业的性质是价格机制的替代物。

2厂商的目标

在微观经济学中，一般总是假定厂商的目标是利润最大化，这一基本假定是“经济人”假设在生产理论中的具体化。

需要注意的是，在现实经济生活中，厂商有时并不一定选择实现最大利润的决策，可能会以实现销售收入最大化或市场销售份额最大化来取代利润最大化的决策，这主要是由于信息不完全和信息不对称。

二、生产函数

1生产函数的几个概念

（1）生产要素

生产要素是指在生产中投入的各种经济资源，包括劳动、土地和资本等。生产要素一般划分为劳动、土地、资本和企业家才能四种类型。

劳动：指人类在生产过程中提供的体力和智力的总和。

土地：不仅指土地本身，还包括地上和地下的一切自然资源。

资本：表现为实物形态（资本品或投资品）和货币形态。

企业家才能：指企业家组织建立和经营管理企业的才能。

（2）生产函数

生产函数表示在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。若以表示劳动投入数量，表示资本投入数量，则生产函数写为：。

（3）长期和短期

长期是指时间长到可以使厂商调整生产规模来达到调整产量的目的的时间段。在长期中，一切生产要素都是可以变动的，不仅劳动投入量、原材料使用量可变，而且资本、设备量也可变。

短期是指时间短到厂商来不及调整生产规模来达到调整产量的目的，而只能在原有厂房、机器、设备条件下来调整产量的时间段。在短期中，只有一部分要素如劳动投入量及原材料投入数量是可变的，而另一些生产要素不随产量变动而变动，如机器、厂房、设备、高级管理人才等。

2生产函数的几种形式

（1）固定替代比例的生产函数

固定替代比例的生产函数也被称为线性生产函数，表示在每一产量水平上任何两种生产要素之间的替代比例都是固定的。假定生产过程中只使用劳动和资本两种要素，则固定替代比例的生产函数的形式通常为：

其中，为产量，和分别表示劳动和资本的投入量，常数、。

（2）C-D生产函数

C-D生产函数，即柯布-道格拉斯函数，是一种典型的齐次生产函数，其形式为：

其中，为产量，和分别表示劳动和资本的投入量，、和为三个参数，、。

当时，和分别为劳动和资本所得在总产量中所占的份额。通过和还可以判断规模报酬的情况：，为规模报酬递增；，为规模报酬不变；，为规模报酬递减。

（3）里昂惕夫生产函数

里昂惕夫生产函数，又称固定投入比例的生产函数，是指在每一个产量水平上任何一对要素投入量之间的比例都是固定的生产函数。假定生产过程中只使用劳动和资本两种要素，则固定投入比例生产函数的形式通常为：

式中，为产量，和分别表示劳动和资本的投入量，常数、，分别为固定的劳动和资本的生产技术系数，它们分别表示生产一单位产品所需要的固定的劳动投入量和固定的资本投入量。

当一种生产要素的数量不变时，另一种生产要素的数量再多，也不能增加产量，所以假定：，进一步有：。因此，对一个固定投入比例生产函数来说，当产量发生变化时，各要素投入量将以相同的比例发生变化。

三、短期生产函数

1短期生产函数的形式

短期内，假设资本数量不变，只有劳动可随产量变化，则短期生产函数为：

2总产量、平均产量与边际产量

（1）总产量、平均产量与边际产量的概念

劳动的总产量指与一定的可变要素劳动的投入量相对应的最大产量，即。

劳动的平均产量指平均每一单位可变要素劳动的投入量所生产的产量，即。

劳动的边际产量指增加一单位可变要素劳动投入量所增加的产量，即：

3总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线

总产量、平均产量与边际产量的曲线如图4-1所示，从图中可以总结出这三个产量之间的关系：

图4-1  产量曲线和产量三阶段

（1）总产量与边际产量的关系

①曲线上每一点的斜率代表边际产量。当劳动量在之间时，不仅是正数，而且是逐渐增加的，曲线的斜率为正，曲线向上凹。在时，达最大（即点），这时总产量曲线的斜率最大。

②当劳动量时，边际产量虽然是正数，但是递减的，逐渐变小，在曲线上表示向上凸；当劳动量时，这时总产量极大，即点是总产量最大值点，曲线此时与横轴相交于点，即。

③当劳动量时，为负数，曲线达到横轴以下，总产量也处于递减，即当再投入劳动量时，总产量会减少。

（2）总产量与平均产量的关系

①连接曲线上任何一点和坐标原点的线段的斜率，就是相应的值。当投入劳动量时，总产量与平均产量都是增加的。当时，达到最大，即点。

②当时，随着劳动量投入的增加，总产量虽不断增加，但到达到最大，此后就要递减，而平均产量在时已处于递减阶段。

（3）平均产量与边际产量的关系

①当平均产量处于递增阶段，即时，；当时，，平均产量达最大。

②当平均产量处于递减阶段时，即时，这时，这时说明边际产量的下降幅度大于平均产量的下降幅度。

4生产要素报酬递减规律

（1）边际报酬递减规律的内容

在技术水平不变的条件下，在连续等量地把某一种可变生产要素增加到其他一种或几种数量不变的生产要素上去的过程中，当这种可变生产要素的投入量小于某一特定值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递增的；当这种可变要素的投入量连续增加并超过这个特定值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递减的。

（2）边际报酬递减的原因

对于任何产品的短期生产来说，可变投入和不变投入之间都存在着一个最佳的数量组合比例。在开始时，由于不变投入给定，而可变投入为零，因此生产要素的投入量远远没有达到最佳的组合比例。随着可变投入的逐渐增加，生产要素的投入量逐步接近最佳的组合比例，相应地，可变要素的边际产量呈现出递增的趋势。一旦生产要素的投入量达到最佳的组合比例时，可变要素的边际产量达到最大值。在这一点之后，随着可变投入的继续增加，生产要素的投入量越来越偏离最佳的组合比例，相应地，可变要素的边际产量便呈现出递减的趋势。

在任何一种产品的短期生产中，随着一种可变要素投入量的增加，边际产量最终必然会呈现出递减的特征。即边际产量递增阶段后必然进入边际产量递减阶段。

（3）生产要素报酬递减规律要发生作用必须具备以下三个前提条件：

①生产要素投入量的比例是可变的，即生产技术系数是可变的。

②技术水平保持不变。

③所增加的生产要素具有同样的效率。

5短期生产的三个阶段

根据总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线之间的关系，把产量的变化分为三个区域，如图4-1所示。

第Ⅰ阶段，是平均收益递增阶段。可变要素劳动量投入的增加，使平均产量增加。这时，因为边际产量高于平均产量，每增加一个单位的劳动都能提高平均产量。这表明，和可变要素劳动量相比，固定要素（如资本等）投入太多，很不经济。在这一区域，增加劳动量投入是有利可图的，它不仅能充分利用固定要素，而且能使总产量以递增的比率增加，任何理性的厂商通常不会把可变要素投入的使用量限制在这一区域内。

第Ⅱ阶段，是平均收益递减阶段。从平均产量最高点开始，随着可变要素劳动量投入的增加，边际产量虽递减但大于0，故总产量仍递增，一直到达最大时为止。另一方面，平均产量开始递减，因为边际产量已小于平均产量。

第Ⅲ阶段，是边际负收益阶段。从总产量达到最高点开始，随着可变要素劳动量L投入的增加，边际产量成为负值，总产量开始递减，这时每减少一个单位的可变要素投入反而能提高总产量，表明与固定要素投入相比，可变要素投入太多了，也不经济。显然，理性的厂商也不会在这一区域进行生产。

可见，理性厂商必然要在第Ⅱ阶段生产。这一阶段为生产要素合理使用区域，又称经济区域。但是，生产者究竟要投入多少可变要素或生产多少取决于成本函数，假如厂商不考虑单位产品成本，而希望得到最大产量，那么劳动要素的投入量以图4-1中点最合适；假如厂商考虑的是单位产品成本，而不要求得到最大产量，那么劳动要素的投入量以图4-1中点最合适。

四、长期生产函数

1长期生产函数的形式

在长期内，所有的生产要素的投入量都是可变的，多种可变生产要素的长期生产函数可以写为：

，式中，为产量；为第种可变生产要素的投入数量。该生产函数表示：长期内在技术水平不变的条件下由种可变生产要素投入量的一定组合所能生产的最大产量。

假定生产者使用劳动和资本两种可变生产要素来生产一种产品，则两种可变生产要素的长期生产函数可以写为。式中，为可变要素劳动的投入量，为可变要素资本的投入数量，为产量。

2等产量曲线的含义与性质

等产量曲线表示在技术水平不变的条件下，为生产一定的产量所需投入的两种生产要素之间的所有不同组合的轨迹。以常数表示既定的产量水平，则与等产量曲线相对应的生产函数为。等产量曲线有如下性质：

（1）表示某一生产函数的等产量曲线图中，可以画出无数条等产量曲线，并且任何两条等产量曲线不能相交。

（2）等产量曲线上的任一点的斜率等于该点上以生产要素代替生产要素的边际技术替代率，不仅为负值，而且其绝对值是递减的，即等产量曲线凸向原点。

（3）离原点越近的等产量曲线代表的产量越低，离原点越远的等产量曲线代表的产量越高。

由于等产量曲线的几何特点与无差异曲线相似，它又被称为生产无差异曲线。但两者有区别，等产量曲线表示产量，无差异曲线表示效用；等产量曲线是客观的，无差异曲线是主观的。

3边际技术替代率及其递减规律

（1）边际技术替代率

边际技术替代率，是指在产量不变的情况下，当某种生产要素增加一单位时，与另一生产要素所减少的数量的比率。劳动对资本的边际技术替代率的定义公式为：

式中，和分别为资本投入量和劳动投入量的变化量。

边际技术替代率还可以表示为两要素的边际产量之比，即。

等产量曲线上的斜率绝对值等于两种要素之间的边际技术替代率。

（2）边际技术替代率递减法则

边际技术替代率递减规律的内容：在维持产量不变的前提下，当一种生产要素的投入量不断增加时，每增加一单位的这种生产要素所能替代的另一种生产要素的数量是递减的。

边际技术替代率递减的主要原因在于：任何一种产品的生产技术都要求各要素投入之间有适当的比例，这意味着要素之间的替代是有限制的。

边际技术替代率递减使得等产量曲线像无差异曲线一样向右下方倾斜，且凸向原点。

4脊线和生产的经济区域

脊线是指把所有等产量曲线上切线斜率为零的点和斜率为无穷大的点与原点一起连接起来形成的两条线。

超过脊线范围之外，必须同时增加两种投入要素的数量才能使总产量不变。脊线表明生产要素替代的有效范围，厂商只能在脊线范围之内从事生产，实现不同要素的组合。因此，这一脊线围成的区域是生产的经济区域。

五、等成本线

1等成本线的含义及表示

等成本线是在既定的成本和既定生产要素价格条件下，生产者可以购买到的两种生产要素的各种不同数量组合的轨迹。

图4-2  等成本线

假定要素市场上既定的劳动的价格即工资率为，既定的资本的价格即利息率为，厂商既定的成本支出为，则成本方程为：，或者，成本曲线如图4-2所示。

2等成本线具有以下特点：

（1）等成本线的斜率是两种要素价格之比的负值。等成本线的斜率表明在不改变成本支出的情况下，两种要素相互替代的比率。

（2）在等成本线上，和的数值呈反方向变化。纵轴截距（）表明用全部的成本可以买到资本的最大数量。横轴截距（）表明用全部的成本可以买到劳动的最大数量。

（3）生产要素价格不变时，成本增加了，等成本线将向右上方平行移动；反之，向右下方平行移动。

3等成本线把坐标平面分为三部分

等成本线以外区域中的任何一点代表的要素组合，在既定成本下是不能实现购买的。等成本线以内区域中的任何一点代表的要素组合，在既定成本下不仅能够实现购买并且还有剩余。只有等成本线上的点所代表的要素组合，才能使生产者正好用光全部成本。

六、生产要素的最优组合

生产要素的最优组合可以是既定成本条件下的产量最大化，也可以是既定产量条件下的成本最小化。这两种情况的要素组合点表现在图形上，都是等成本线和等产量曲线相切之点，即生产者均衡点。

1既定成本条件下的产量最大化

如图4-3所示，代表三条不同等产量曲线，代表生产者在一定资金成本约束下的等成本线，显然，生产者在此成本约束下不可能达到的产量，生产者可以达到的产量，如在两点的生产，但这种生产不能使产量最大，不符合经济原则，沿着直线将点向点移动，就可以得到这一总成本水平上的最高产量。

图4-3  既定成本条件下产量最大的要素组合

2既定产量条件下的成本最小化

如图4-4所示，显然生产者只能选择成本线。低于的成本线，如，不能使生产达到的产量水平，高于的成本线，如，虽然可以生产产量，如、两点，但不经济，只有点代表的和单位的资本与劳动的组合，才是生产产量最为节约即成本最小的要素组合。

图4-4  既定产量条件下成本最小的要素组合

3能满足要素投入最优组合的两个条件

（1）要素投入的最优组合处在等成本线上，这意味着厂商必须充分利用资金，而不让其剩余下来。

（2）要素投入的最优组合发生在等产量曲线和等成本线相切之点上，即要求等产量曲线的切线斜率与等成本线的斜率相等。

4生产要素最优组合的计算

下面将运用数学模型求解既定成本条件下产量最大的要素组合（既定产量条件下成本最小的要素组合可类似求解）。实际上，寻找最佳生产要素组合的问题就是一个有约束条件的最优求解问题。模型如下：

构造拉格朗日函数。拉格朗日定理认为，最优选择必定满足以下三个一阶条件：

解得：。

5利润最大化可以得到最优的生产要素组合

厂商生产的目的是为了追求最大的利润。在完全竞争条件下，对厂商来说，商品的价格和生产要素的价格都是既定的，厂商可以通过对生产要素投入量的不断调整来实现最大的利润。厂商在追求最大利润的过程中，可以得到最优的生产要素组合。

6生产扩展线

等斜线是一组等产量曲线中两要素的边际技术替代率相等的点的轨迹。

扩展线是在生产要素的价格、生产技术和其他条件不变时，不同的等产量曲线与不同的等成本曲线相切，形成一系列不同的生产均衡点的轨迹。可见，扩展线一定是一条等斜线。

扩展线表示在给定条件下，当生产的成本或产量发生变化时，厂商会沿着扩展线来选择最优的生产要素组合，从而实现既定成本条件下的最大产量，或既定产量条件下的最小成本。扩展线是厂商在长期扩张或收缩生产时所必须遵循的路线。

七、规模报酬

1规模报酬的含义及其与要素报酬含义的区别

规模报酬与生产要素报酬是两个不同的概念。规模报酬所涉及的是企业的生产规模变化与所引起的产量变化之间的关系，而要素报酬是指要素投入的边际产量收益。前者是厂商根据经营规模设计不同的工厂，属长期分析；后者是在既定的生产规模中，增加可变要素时相应产量的变化，属短期分析。

2规模报酬的三种类型

（1）规模报酬递增，是指产量增加的比例大于各种生产要素增加的比例。原因：生产专业化程度提高；生产要素具有不可分的性质；管理更合理。规模报酬递增导致等产量曲线越来越紧密。

（2）规模报酬不变，是指产量增加的比例等于各种生产要素增加的比例。原因：主要是由于规模报酬递增的因素吸收完毕，某种生产组合的调整受到了技术上的限制。规模报酬不变时，等产量曲线间距相等。

（3）规模报酬递减，是指产量增加的比例小于各种生产要素增加的比例。原因：主要是规模过大造成管理效率的下降。规模报酬递减时，等产量曲线间距越来越远。

3用数学公式定义规模报酬

令生产函数。

（1）如果，其中，常数，则生产函数具有规模报酬递增的性质。

（2）如果，其中，常数，则生产函数具有规模报酬不变的性质。

（3）如果，其中，常数，则生产函数具有规模报酬递减的性质。

4规模报酬的规律

当企业从最初的很小的生产规模开始逐步扩大的时候，企业面临的是规模报酬递增的阶段。在企业得到了由生产规模扩大所带来的产量递增的全部好处以后，一般会继续扩大生产规模，将生产保持在规模报酬不变的阶段。这个阶段有可能比较长。在这以后，企业若继续扩大生产规模，就会进入一个规模报酬递减的阶段。

4.2　课后习题详解

1下面是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表：

表4-1  短期生产函数的产量表

（1）在表中填空。

（2）该生产函数是否表现出边际报酬递减？如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的？

答：（1）利用短期生产的总产量（）、平均产量（）和边际产量（）之间的关系：，，可以完成对该表的填空，其结果如表4-2所示。

表4-2  短期生产函数的产量表

（2）边际报酬递减是指短期生产中一种可变要素的边际产量在达到最高点以后开始逐步下降的这样一种普遍的生产现象。本题的生产函数表现出边际报酬递减的现象，具体地说，由表4-2可见，当可变要素的投入量由第4单位增加到第5单位时，该要素的边际产量由原来的24下降为12。

2用图说明短期生产函数的曲线、曲线和曲线的特征及其相互之间的关系。

答：短期生产函数的曲线、曲线和曲线的综合图如图4-5所示。

图4-5  短期生产函数曲线

由图4-5可见，在短期生产的边际报酬递减规律的作用下，曲线呈现出先上升达到最高点以后又下降的趋势。由边际报酬递减规律决定的曲线出发，可以方便地推导出曲线和曲线，并掌握它们各自的特征及其相互之间的关系。

关于曲线。由于，所以，当时，曲线是上升的；当时，曲线是下降的；而当时，曲线达最高点。换言之，在时，曲线达到零值的点与曲线达到最大值的点是相互对应的。此外，在即的范围内，当时，曲线的斜率递增，即曲线以递增的速率上升；当时，曲线的斜率递减，即曲线以递减的速率上升；而当时，曲线存在一个拐点，换言之，在时，曲线斜率为零的A点与曲线的拐点是相互对应的。

关于曲线。由于，所以，在时，曲线有一条由原点出发的切线，其切点为。该切线是由原点出发与曲线上所有的点的连线中斜率最大的一条连线，故该切点对应的是的最大值点。再考虑到曲线和曲线一定会相交在曲线的最高点。因此，在图4-5中，在时，曲线与曲线相交于曲线的最高点，而且与点相对应的是曲线上的切点。

3已知生产函数，假定厂商目前处于短期生产，且。

（1）写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量函数、劳动的平均产量函数和劳动的边际产量函数。

（2）分别计算当劳动的总产量、劳动的平均产量和劳动的边际产量各自达到极大值时的厂商的劳动投入量。

（3）什么时候？它的值又是多少？

解：（1）将代入生产函数中，得：

于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有以下函数：

劳动的总产量函数。

劳动的平均产量函数。

劳动的边际产量函数。

（2）令，解得，即当劳动的投入量为20时，劳动的总产量达到最大。

令，解得，且有，所以，当劳动投入量为时，劳动的平均产量达到最大。

由劳动的边际产量函数可知，，边际产量曲线是一条斜率为负的直线。当劳动投入量时，劳动的边际产量达到极大值。

（3）当劳动的平均产量达到最大时，一定有。

即，得，此时。

4区分边际报酬递增、不变和递减的情况与规模报酬递增、不变和递减的情况。

答：边际报酬变化是指在生产过程中一种可变要素投入量每增加一个单位时所引起的总产量的变化量，即边际产量的变化，而其他生产要素均为固定生产要素，固定要素的投入量是保持不变的。边际报酬变化具有包括边际报酬递增、不变和递减的情况。边际报酬分析可视为短期分析视角。

规模报酬是描述在生产过程中全部生产要素的投入数量均同比例变化时所引起的产量变化特征，当产量的变化比例分别大于、等于、小于全部生产要素投入量变化比例时，则分别为规模报酬递增、不变、递减。规模报酬分析可视为长期生产的分析视角。

5已知生产函数为，求：

（1）当产量时，与值分别是多少？

（2）如果生产要素的价格分别为，，则生产480单位产量的最小成本是多少？

解：（1）生产函数表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，当厂商进行生产时，总有。由，解得，。

（2）由，，可得：，。

又因为，，所以有：

即生产480单位产量的最小成本为1280。

6假设某厂商的短期生产函数为。

求：（1）该企业的平均产量函数和边际产量函数。

（2）如果企业使用的生产要素的数量为，是否处于短期生产的合理区间？为什么？

解：（1）由厂商的短期生产函数可得平均产量函数和边际产量函数，即有：

（2）当企业使用的生产要素的数量时，

显然，当企业使用的生产要素的数量时，生产处于第Ⅱ阶段，是短期生产的合理区间。

7假设生产函数。试问：

（1）该生产函数是否为齐次生产函数？

（2）如果根据欧拉分配定理，生产要素和都按其边际产量领取实物报酬，那么，分配后产品还会有剩余吗？

解：（1）因为，所以有：

所以该生产函数为齐次生产函数，且是规模报酬不变的一次齐次生产函数。

（2）因为，，所以，根据欧拉分配定理，被分配掉的实物总量为：

可见，对于一次齐次的该生产函数来说，若按欧拉分配定理，生产要素和都按其边际产量领取实物报酬，那么，分配后产品不会有剩余，剩余产量为零。

8假设生产函数。

（1）作出时的等产量曲线。

（2）推导该生产函数的边际技术替代率函数。

（3）分析该生产函数的规模报酬情况。

解：（1）生产函数表明该生产函数是一个固定投入比例的生产函数，它反映了劳动和资本在某一技术水平下必须以固定比例投入的情况。本题时等产量曲线为如图4-6所示的直角形状，资本和劳动应满足，且。联立解得：，。

图4-6  等产量曲线

（2）由于该生产函数为固定要素投入比例，故生产要素和是不可替代的，因此边际技术替代率

。

（3）因为，所以有：

故该生产函数为规模报酬不变。

9已知柯布-道格拉斯生产函数为。请讨论该生产函数的规模报酬情况。

解：因为，所以有：

故，当时，柯布-道格拉斯生产函数具有规模报酬递增的性质；

当时，柯布-道格拉斯生产函数具有规模报酬不变的性质；

当时，柯布-道格拉斯生产函数具有规模报酬递减的性质。

10已知生产函数为：

（1）

（2）

（3）

（4）

求：（a）厂商长期生产的扩展线方程。

（b）当，，时，厂商实现最小成本的要素投入组合。

解：（1）①对于生产函数来说，有：

由最优要素组合条件，可得：

即厂商长期生产扩展线方程为：

②当，，时，有：。

代入生产函数中，可解得：。

即当时，，。

（2）①对于生产函数来说，有：

由，可得：，即厂商长期生产扩展线方程为：

②当，，时，有：。

代入生产函数中，得：。即当时，。

（3）①对于生产函数，有：，。

由，可得：

则厂商长期生产扩展线方程为：

②当，，时，有：

代入生产函数中，可得：，解得：，。

（4）①生产函数是固定比例生产函数，厂商按照的固定投入比例进行生产，且厂商的生产均衡点在直线上，即厂商的长期扩展线函数为：

②当，，时，由，得：，。

11已知生产函数。

判断：（1）在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型？

（2）在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？

解：（1）因为，于是有：

所以，生产函数属于规模报酬不变的生产函数。

（2）假定在短期生产中，资本投入量不变，用表示；而劳动投入量可变，用表示。

对于生产函数，有：，且。

这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量是递减的。

相类似地，假定在短期生产中，劳动投入量不变，以表示；而资本投入量可变，以表示。对于生产函数

，有：，且

这表明：在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量是递减的。

以上的推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。

12令生产函数，其中，。

（1）当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征？

（2）证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。

解：（1）由，则有：

如果该生产函数表现出规模报酬不变，则，这就意味着对于任何常数，都必有

，解得。即当时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。

（2）在规模报酬不变的情况下，生产函数为，这时有：

这表明在规模报酬不变的情况下，劳动和资本的边际产量都是递减的。

13已知某企业的生产函数为，劳动的价格，资本的价格。求：

（1）当成本时，企业实现最大产量时的、和的均衡值。

（2）当产量时，企业实现最小成本时的、和的均衡值。

解：（1）根据企业实现既定成本条件下产量最大化的均衡条件：，且有：

，

于是有：，整理得，即。

再将代入约束条件，有，解得：。

将代入生产函数，求得最大产量为：

（2）根据厂商实现给定产量条件下成本最小化的均衡条件：，且有：

，

于是有：，整理得，即。

再将代入约束条件，有，解得：。

将代入成本方程，求得最小成本：

14画图说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的。

答：（1）以图4-7为例来说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的。由于本题的约束条件是既定的成本，所以，图中只有一条等成本线，此外有三条等产量曲线、和以供分析，并从中找出对应的最大产量水平。

图4-7  既定成本条件下产量最大的要素组合

（2）分析代表既定成本的唯一的等成本线与三条等产量曲线、和之间的关系。等产量曲线代表的产量虽然高于等产量曲线，但唯一的等成本线与等产量曲线既无交点又无切点。这表明等产量曲线所代表的产量是企业在既定成本下无法实现的产量，因为厂商利用既定成本只能购买到位于等成本线上或等成本线以内区域的要素组合。等产量曲线虽然与唯一的等成本线相交于、两点，但等产量曲线所代表的产量是比较低的。因为，此时厂商在不增加成本的情况下，只需由点出发向右或由点出发向左沿着既定的等成本线改变要素组合，就可以增加产量。所以，只有在唯一的等成本线和等产量曲线的相切点，才是实现既定成本条件下的最大产量的要素组合。任何更高的产量在既定成本条件下都是无法实现的，任何更低的产量都是低效率的。

由此可见，厂商实现既定成本条件下产量最大化的均衡条件为，且整理可得：

它表示：厂商可以通过对两要素投入量的不断调整，使得最后一单位的成本支出无论用来购买哪一种生产要素所获得的边际产量都相等，从而实现既定成本条件下的最大产量。

15画图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小成本的最优要素组合的。

答：以图4-8为例，说明如下：

图4-8  既定产量条件下成本最小的要素组合

（1）由于本题的约束条件是既定的产量，所以，在图4-8中，只有一条等产量曲线；此外，有三条等成本曲线、和以供分析，并从中找出相应的最小成本。

（2）在约束条件即等产量曲线给定的条件下，先看等成本曲线，该线处于等产量曲线以下，与等产量曲线既无交点又无切点，所以，等成本线所代表的成本过小，它不可能生产出既定产量。再看等成本线，它与既定的等产量曲线交于、两点。在这种情况下，厂商只要从点出发，沿着等产量线往下向点靠拢，或者，从点出发，沿着等产量曲线往上向点靠拢，即都可以在既定的产量条件下，通过对生产要素投入量的调整，不断地降低成本，最后在等产量线与等成本线的相切处点，实现最小的成本。由此可得，厂商实现既定产量条件下成本最小化的均衡条件是，整理得。

4.3　名校考研真题详解

一、名词解释

1边际报酬递减规律（law of diminishing marginal returns）[武汉大学2001、2004研；北理工2003研；中山大学2005研；中国政法大学2005研；南京大学2005研；厦门大学2006、2010研；中国青年政治学院2009研]

答：在技术水平不变的条件下，在连续等量地把某一种可变生产要素增加到其他一种或几种数量不变的生产要素上去的过程中，当这种可变生产要素的投入量小于某一特定值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递增的；当这种可变要素的投入量连续增加并超过这个特定值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递减的。这就是边际报酬递减规律。

从理论上讲，边际报酬递减规律成立的原因在于：对于任何产品的短期生产来说，可变要素投入和固定要素投入之间都存在着一个最佳的数量组合比例。一旦生产要素的投入量达到最佳的组合比例时，可变要素的边际产量达到最大值。在这一点之后，随着可变要素投入量的继续增加，生产要素的投入量越来越偏离最佳的组合比例，相应的可变要素的边际产量便呈现出递减的趋势了。

边际报酬递减规律强调的是：在任何一种产品的短期生产中，随着一种可变要素投入量的增加，可变要素的边际产量最终必然会呈现出递减的特征。

2边际技术替代率（Marginal Rate of Technical Substitution）[北师大2006研；西安交大2006研；华中科大2007研；深圳大学2007研；财政部财科所2008研；中山大学2009研；浙江大学2009研；湖南大学2012研]

答：在维持产量水平不变的条件下，增加一单位某种生产要素投入量时所减少的另一种要素的投入数量，被称为边际技术替代率，其英文缩写为。用和分别表示资本投入量的变化量和劳动投入量的变化量，则劳动对资本的边际技术替代率的公式为：

，或

生产要素相互替代的过程中存在边际技术替代率递减规律，即在维持产量不变的前提下，当一种生产要素的投入量不断增加时，每一单位的这种生产要素所能替代的另一种生产要素的数量是递减的。边际技术替代率递减的主要原因在于：任何一种产品的生产技术都要求各要素投入之间有适当的比例，这意味着要素之间的替代是有限制的。

3扩展线[中南大学2003研；江西财经大学2005、2007研]

答：在生产要素的价格、生产技术和其他条件不变时，如果企业改变成本，等成本线就会发生平移；如果企业改变产量，等产量曲线就会发生平移。这些不同的等产量曲线将与不同的等成本线相切，形成一系列不同的生产均衡点。这些生产均衡点的轨迹就是扩展线。如图4-9所示。

图4-9  扩展线

图4-9中的曲线是一条扩展线。由于生产要素的价格保持不变，两要素的价格比例是固定的，又由于生产均衡的条件为两要素的边际技术替代率等于两要素的价格比例，所以，在扩展线上的所有的生产均衡点上边际技术替代率都是相等的。这意味着，扩展线一定是一条等斜线。

扩展线表示：在生产要素价格、生产技术和其他条件不变的情况下，当生产的成本或产量发生变化时，厂商必然会沿着扩展线来选择最优的生产要素组合，从而实现既定成本条件下的最大产量，或实现既定产量条件下的最小成本。扩展线是厂商在长期的扩张或收缩生产时所必须遵循的路线。

4规模报酬[中南财大2000研；北师大2001研；中央财大2005研；湖南大学2006研]

答：规模报酬是指在其他条件不变的情况下，企业内部各种生产要素按相同比例变化时所带来的产量变化。规模报酬分析的是企业的生产规模变化与所引起的产量变化之间的关系。企业只有在长期内才可能变动全部生产要素，进而变动生产规模，因此，企业的规模报酬分析属于长期生产理论问题。

企业的规模报酬变化可以分规模报酬递增、规模报酬不变和规模报酬递减三种情况。其中，产量增加的比例大于各种生产要素增加的比例，称之为规模报酬递增；产量增加的比例等于各种生产要素增加的比例，称之为规模报酬不变；产量增加的比例小于各种生产要素增加的比例，称之为规模报酬递减。

一般说来，在长期生产过程中，企业的规模报酬的变化呈现出如下的规律：当企业从最初的很小的生产规模开始逐步扩大的时候，企业面临的是规模报酬递增的阶段。在企业得到了由生产规模扩大所带来的产量递增的全部好处以后，一般会继续扩大生产规模，将生产保持在规模报酬不变的阶段。这个阶段有可能比较长。在这以后，企业若继续扩大生产规模，就会进入一个规模报酬递减的阶段。

5等产量曲线[浙江大学2004研；上海交大2006研]

答：等产量曲线是在技术水平不变的条件下生产同一产量的两种生产要素投入量的各种不同组合的轨迹。以常数表示既定的产量水平，表示投入的劳动数量，表示投入的资本数量，则与等产量曲线相对应的生产函数为：

如图4-10所示，等产量曲线与坐标原点的距离的大小表示产量水平的高低：离原点越近的等产量曲线代表的产量水平越低；离原点越远的等产量曲线代表的产量水平越高。同一平面坐标上的任意两条等产量曲线不会相交。等产量曲线是凸向原点的。

图4-10  等产量曲线

二、简答题

1生产的三个阶段是如何划分的？为什么生产者通常会选择在第二阶段生产？[东北财经大学2006研；厦门大学2006研；云南大学2008研；东华大学2010研；南京财经大学2010研]

答：（1）生产的三个阶段是在假定生产技术水平和其他要素投入量不变，只有劳动投入可变的条件下，以劳动投入多少来划分的生产不同阶段。

具体而言，生产的三个阶段是根据总产量曲线、平均产量曲线和边际产量曲线的形状及其相互之间的关系来划分的。如图4-11所示：第一阶段，平均产量递增阶段，即平均产量从0增加到平均产量最高的阶段，这一阶段是从原点到、曲线的交点，即劳动投入量由0到的区间。第二阶段，平均产量的递减阶段，边际产量仍然大于0，所以总产量仍然是递增的，直到总的产量达到最高点。这一阶段是从、两曲线的交点到曲线与横轴的交点，即劳动投入量由到的区间。第三阶段，边际产量为负，总的产量也是递减的，这一阶段是曲线和横轴的交点以后的阶段，即劳动投入量以后的区间。

图4-11  一种可变要素的生产函数的产量曲线

（2）首先，厂商肯定不会在第三阶段进行生产，因为这个阶段的边际产量为负值，生产不会带来任何的好处。其次，厂商也不会在第一阶段进行生产，因为平均产量在增加，投入的这种生产要素还没有发挥最大的作用，厂商没有获得预期的好处，继续扩大可变投入的使用量从而使产量扩大是有利可图的，至少使平均产量达到最高点时为止。因此厂商可以在第二阶段进行生产，因为平均产量和边际产量都下降，但是总产量还在不断增加，收入也增加，只是增加的速度逐渐减慢，直到停止增加时为止。

2生产要素的最优组合就是利润最大化的要素组合吗？[人大2004研；北交大2004研]

答：生产要素的最优组合就是利润最大化的要素组合。分析如下：

（1）生产要素的最优组合是指以最小的成本生产最大产量的要素组合。在现实的生产经营决策中，生产要素的最优组合，又具体表现为这样两种情况：一是在成本既定条件下，产量最大的要素组合；二是在产量既定条件下，成本最小的要素组合。但无论哪种情况，生产要素的最优组合条件都是。

（2）在完全竞争条件下，对厂商来说，商品的价格和生产要素的价格都是既定的，厂商可以通过对生产要素投入量的不断调整实现最大的利润，这可以用数学方法证明如下。

假定在完全竞争条件下，企业的生产函数为。既定的商品价格为，既定的劳动价格和资本价格分别为和，表示利润。厂商的利润等于收益减去成本，即厂商的利润函数为：

利润最大化的一阶条件为：

根据上述两式，可得：。

这和生产要素最优组合的条件是相同的。因此，在完全竞争条件下，追求利润最大化的厂商可以得到最优的生产要素组合。

3单个生产要素的报酬递减与规模报酬不变并不矛盾，为什么？[西安交大2007研；厦门大学2008研；浙江大学2008研]

答：（1）边际报酬递减规律是指，在技术水平不变的条件下，在连续等量地把某一种可变生产要素增加到其他一种或几种数量不变的生产要素上去的过程中，当这种可变要素的投入量连续增加并超过这个特定值时，增加该要素投入所带来的边际产量是递减的。规模报酬不变是指在所有要素同时等量变动时，产量的变动幅度等于要素变动幅度。

（2）单个生产要素的报酬递减与规模报酬不变并不矛盾。边际报酬递减是一个短期的概念，而规模报酬分析属于长期生产理论问题，即研究的是长期。规模报酬问题讨论的是一座工厂本身规模发生变化时产量的变化，而单个要素报酬问题涉及的则是厂房规模已经固定下来，增加可变要素时相应的产量变化。事实上，当厂商经营规模较大，在给定技术状况下投入要素的效率固定不变，即规模报酬不变的同时，随着可变要素投入增加到足以使固定要素得到最有效的利用后，继续增加可变要素，总产量的增加同样将会出现递减现象。所以，规模报酬不变的厂商也可能面临单个生产要素的报酬递减现象。

举例如下：对于生产函数（其中，，）而言，当时，该生产函数具有规模报酬不变的特征。但是，当时，劳动和资本都呈现规模报酬递减，即有，。因此，在生产过程中是有可能同时存在单个生产要素的边际报酬递减和规模报酬不变的情况的。

三、计算题

1给定CES生产函数，为产出，、分别为资本和劳动的投入量。

（1）证明该企业规模收益不变；

（2）资本和劳动的边际产量为多少？

（3）劳动对资本的边际技术替代率是多少？

（4）证明资本和劳动的产出弹性之和等于1。

（5）把这个企业分为两个相同的企业，分立之后的产出之和与原企业的产出有什么变化？详细写出演算过程。[北京大学光华管理学院2002研]

解：（1）企业的生产函数为，可令，因为

，所以，该企业规模收益不变。

（2）资本的边际产量，劳动的边际产量。

（3）劳动对资本的边际技术替代率为：

（4）劳动的产出弹性为：，资本的产出弹性为：

。所以，。

（5）若把该企业分为两个相同的企业则设两个企业的产出为，则：

即：。

所以，当CES生产函数表现为规模报酬不变时，分立后的两企业产出之和等于原企业的产出。

2假设一厂商的生产函数为，问：

（1）此生产函数是否规模收益不变？

（2）劳动的产出弹性是多少？

（3）资本的产出弹性是多少？

（4）如果劳动增加3％，资本减少10％，产量将如何变化？[中山大学2003研]

解：（1）对于生产函数及任意的常数，有：

因此，此生产函数不是规模收益不变，而是规模收益递增。

（2）由生产函数得。

将代入劳动的产出弹性公式，可得：

即劳动的产出弹性为0.7。

（3）同理，资本的产出弹性为：

即资本的产出弹性为0.35。

（4）如果劳动增加3%，资本减少10%，则现在的劳动，现在的资本，于是现在的产量为：

因此，产量会减少。

3某厂商的生产函数为：，、、分别表示产量、资本和劳动，假定资本投入是固定的，即。

（1）请写出劳动的平均产量（）函数和边际产量（）函数。

（2）分别计算当总产量、平均产量达到极大值时厂商雇用的劳动。

（3）以本题为例说明当达到极大时，为什么？[西安交大2008研]

解：（1）当资本投入是固定的，即时，厂商的生产函数为：。由生产函数可得劳动的平均产量（）和边际产量（）分别为：

，

（2）当总产量达到极大值时，即时，厂商雇用劳动；当平均产量达到极大值时，应满足

，所以平均产量一直递减，其最大值在处取得，即此时厂商雇佣劳动量为零。

（3）由（2）问可知，当平均产量达到极大值时，厂商雇用劳动为。当时，，

。可知，当达到极大值时，满足。

四、论述题

试述消费者理论中的边际替代率和生产者理论中的边际技术替代率的异同。[上海财大2002研]

答：边际替代率是指在维持效用水平或满足程度不变的前提下，消费者增加1单位的某种商品的消费时所需放弃的另一种商品的消费数量。而边际技术替代率是指在维持产量水平不变的条件下，增加一个单位的某种要素投入量时减少的另一种要素的投入数量。消费者理论中的边际替代率和生产者理论中的边际技术替代率之间既有联系，也有区别。

（1）相同点

①形式上相似，在一定的前提条件下，增加一单位某一变量所要减少的另一单位变量的数量。

②都是一种比率，边际替代率等于两种商品的消费变化量之比；边际技术替代率是资本投入的变化量和劳动投入的变化量的比率。

③都遵循递减规律，边际替代率遵循商品的边际替代率递减规律，即在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品消费量的连续增加，消费者为得到一单位的这种商品所需放弃的另一种商品的消费量是递减的。边际替代率为负值并且是递减的，所以，无差异曲线是凸向原点的。边际技术替代率遵循边际技术替代率递减规律，边际技术替代率为负值且是递减的，所以等产量曲线是一条向原点凸出的曲线。

（2）不同点

①所属理论不同，边际替代率属于消费者理论中的概念，而边际技术替代率属于生产者理论中的概念。

②前提条件不同，边际替代率的前提是维持效用水平或满足程度不变，而边际技术替代率的前提是维持产量水平不变。

③计算公式不同，以代表商品的边际替代率，和分别是商品1和商品2的变化量，则商品1对商品2的边际替代率为：；以表示边际技术替代率，和分别表示资本投入的变化量和劳动投入的变化量，劳动对资本的边际技术替代率为：。

④二者的含义不同，无差异曲线上任意一点的商品的边际替代率等于无差异曲线上该点的斜率的绝对值；等产量曲线上任意一点的边际技术替代率是产量曲线上该点斜率的绝对值。