第2章　矩阵及其运算[视频讲解]

2.1　本章要点详解

本章要点

■矩阵的定义

■矩阵与线性变换

■矩阵的运算

■矩阵的转置与逆矩阵

■方阵的行列式

■矩阵分块法

重难点导学

一、矩阵

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1定义

由m×n个数a_ij（i＝1，2，…，m；j＝1，2,…，n）排成的m行n列的数表

称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵．记为

2分类

（1）实矩阵  矩阵元素都为实数的矩阵．

（2）复矩阵  矩阵元素为复数的矩阵．

（3）行矩阵/列矩阵  又称行向量/列向量，只有一行（列）的矩阵．

（4）n阶方阵  行数与列数都等于n的矩阵称为n阶方阵．

（5）零矩阵  元素都是零的矩阵．

（6）对角矩阵  对角线以外的元素都是0的方阵．

（7）单位矩阵  对角线上元素都为1的对角矩阵．

3同型矩阵与矩阵相等

（1）两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵．

（2）两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元素相等，即

则称矩阵A与矩阵B相等，记作A＝B．

4矩阵与线性变换

n个变量与m个变量之间的关系式

表示一个从变量到变量线性变换，其中为常数．

提取得到一个矩阵

线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系．

二、矩阵的运算

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1矩阵的加法

（1）定义

设有两个m×n矩阵A＝（a_ij）和B＝（b_ij），则矩阵A与B的和记作A＋B，规定为

注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算．

（2）运算规律

设A，B，C都是m×n矩阵，则

①A＋B＝B＋A；

②（A＋B）＋C＝A＋（B＋C）；

③设矩阵A＝（a_ij），记：－A＝（－a_ij），－A称为矩阵A的负矩阵，显然有A＋（－A）＝0，由此规定矩阵的减法为：A－B＝A＋（－B）．

2数与矩阵相乘

（1）定义

数λ与矩阵A的乘积记作λA或Aλ，规定为

（2）运算规律

设A、B为m×n矩阵，λ、μ为数，则

①（λμ）A＝λ（μA）；

②（λ＋μ）A＝λA＋μA；

③λ（A＋B）＝λA＋λB．

3矩阵与矩阵相乘

（1）定义

设A＝（a_ij）是一个m×s矩阵，B＝（b_ij）是一个s×n矩阵，则规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C＝（c_ij），其中

并把此乘积记为C＝AB．

（2）运算规律

①（AB）C＝A（BC）；

②（AB）＝（A）B＝A（B）（其中λ为数）；

③A（B＋C）＝AB＋AC，（B＋C）A＝BA＋CA；

④EA＝AE＝A；

⑤A^kA^l＝A^k＋l，(A^k)^l=A^kl．

（3）注意

①只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘．

②矩阵的乘法一般不满足交换律，即在一般情形下，AB≠BA．

③对于两个n阶方阵A，B，若AB＝BA，则称方阵A与B是可交换的．

④若有两个矩阵A，B，满足AB＝0,不能得出A＝0或B＝0的结论；若A≠0，而A（X－Y）＝0也不能得出X＝Y的结论．

三、矩阵的转置

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1定义

把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，称为A的转置矩阵，记作A^T．

2转置运算

（1）（A^T）^T＝A；

（2）（A＋B）^T＝A^T＋B^T；

（3）（λA）^T＝λA^T；

（4）（AB）^T＝B^TA^T．

3对称矩阵

设A为n阶方阵，如果满足A^T＝A，即a_ij＝a_ji（i，j＝1,2…,n）,则称A为对称矩阵．

四、方阵的行列式

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1定义

由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵A的行列式，记作detA或|A|．

2由A确定|A|的运算规律

假设A、B为n阶方阵，λ为数：

（1）|A^T|＝|A|；

（2）|λA|＝λⁿ|A|；

（3）|AB|＝|A||B|．

3伴随矩阵

行列式|A|的各个元素的代数余子式A_ij所构成的如下的矩阵

称为矩阵A的伴随矩阵，简称伴随阵．一般地，

4共轭矩阵

（1）定义

当 为复矩阵时，用表示的共轭复数，记， 称为的共轭矩阵．

（2）性质

设A，B为复矩阵，为复数，且运算都是可行的．

①

②

③

五、逆矩阵

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1定义

对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使AB＝BA＝E，则称矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，A又称B的逆矩阵，简称逆阵．

2性质

（1）若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的．

（2）若矩阵A可逆，则|A|≠0．

（3）若|A|≠0，又称A为非奇异矩阵，则矩阵A可逆，且，其中A^*为矩阵A的伴随矩阵．若|A|＝0，称A为奇异矩阵，A不可逆．

（4）A为可逆矩阵的充要条件是|A|≠0．

3逆矩阵运算规律：

（1）若A可逆，则A^－1也可逆，且；

（2）若A可逆，数λ≠0，则λA可逆，且

（3）若A、B为同阶矩阵且均可逆，则AB也可逆，且；

（4）若AB＝E（或BA＝E），则B＝A^－1．

六、矩阵分块法

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1定义

将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．

2矩阵分块法

（1）设矩阵A与B的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，有

其中A_ij与B_ij的行数相同、列数相同，则

（2）设，λ为数，则．

（3）设A为m×l矩阵，B为l×n矩阵，分块成

其中A_i1，A_i2，…，A_it的列数分别等于B_1j，B_2j，…，B_tj的行数，则

其中

（4）设，则

（5）设A为n阶方阵，若A的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即

其中A_i（i＝1，2，…，s）都是方阵，则称A为分块对角矩阵．分块对角矩阵的行列式具有下述性质

由此性质可知，若，则，并有