第八章 其他问题
一、年龄问题
年龄问题主要是和差问题和倍数问题的变形，题目多为已知某些人年龄之间的数量关系，求他们的年龄或者已知两人或若干人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系。
年龄问题核心知识点：随着时间的推移，两个人的年龄增加，且增加的数量相等，亦即年龄差始终不变；随着年龄的增加，两个人的年龄倍数关系也会发生变化，且会变小。
核心公式：
①小年龄数×倍数＝大年龄数；
②年龄之和数÷（倍数＋1）＝小年龄数；
③年龄之差数÷（倍数－1）＝小年龄数；
④（年龄之和数＋年龄之差数）÷2＝大年龄数；
⑤（年龄之和数－年龄之差数）÷2＝小年龄数。
1．年龄差问题
题型简述：两个人的年龄比较情况，往往涉及年龄倍数。
思路提示：将题目的条件全部转化为年龄差的性质，始终抓住年龄差作为研究对象，快速得解。
【例1】今年，小明的父母年龄之和是小明的6倍，4年后小明的父母年龄之和是小明的5倍。已知小明的父亲比母亲大两岁，那么今年小明的父亲多少岁？（ ）
A．37
B．40
C．57
D．72
【答案】A
【解析】这是一道关于年龄的问题，核心是年龄差不变。设现在小明x岁，则小明的父母年龄之和为6x岁，四年后小明为x＋4岁，小明父母年龄之和为6x＋8岁，由题意列方程：6x＋8=5（x＋4），解之得：x=12，6x=12×6=72，因为小明的父亲比母亲大2岁，则小明的父亲今年
＋1=37（岁）。
【例2】妈妈、姐姐、妹妹三人现在的年龄和是65岁。当妈妈的年龄是姐姐的年龄的3倍时，妹妹是6岁；当姐姐的年龄是妹妹的年龄的2倍时，妈妈的年龄是32岁。问：妹妹现在的年龄是多少岁？（ ）
A．10
B．11
C．14
D．16
【答案】B
【解析】设妹妹6岁时，姐姐为x岁，则此时妈妈的年龄为3x岁；设妈妈年龄为32岁时，妹妹为y岁，则此时姐姐年龄为2y岁。由题意可知32－3x＝2y－x，2y－x＝y－6，联立两式得x＝11，y＝5。因此当妹妹6岁时，姐姐是11岁，妈妈是33岁，此时她们的年龄和为6＋11＋33＝50（岁）。她们现在的年龄和为65岁，现在据妹妹6岁时已过了（65－50）÷3＝5（年），则妹妹现在的年龄为6＋5＝11（岁）。
2．置换年龄问题
题型简述：给出两个人分别处于对方年龄时，对方的实际年龄，待求两人当前年龄。
思路提示：通过将总的时间长度进行分段来实现快速求解，也可以按照普通年龄问题的方法两步走、列方程求解。
【例3】甲、乙两人年龄不等，已知当甲像乙这么大时，乙8岁；当乙像甲这么大时，甲29岁。则今年甲的年龄为（ ）岁？
A．22
B．34
C．36
D．43
【答案】A
【解析】设甲、乙两个人现在的年龄分别是x、y岁，每个人每个时期的年龄如下表所示。由年龄差保持不变可知，x－y＝y－8＝29－x，则8、y、x、29成等差数列，即x、y将8岁到29岁的时间段平均分成三段，每段长度为7，因此y＝8＋7＝15，x＝29－7＝22。
二、日期问题
日期问题是由历法产生的一类计数问题，其主要知识点如下表所示：
日期问题核心知识表
【例4】2003年8月1日是星期五，那么2005年8月1日是（ ）。
A．星期一
B．星期二
C．星期三
D．星期四
【答案】A
【解析】从2003年8月1日至2005年8月1日一共有：365＋366=731（天），731／7的余数为3，因而答案为星期一。（注意：2004年有366天）
【例5】某一天小张发现办公桌上的台历已经有7天没有翻了，就一次翻了7张，这7天的日期加起来，得数恰好是77。问这一天是几号？（ ）
A．14
B．15
C．16
D．17
【答案】A
【解析】7天加起来数字之和为77，则平均数11这天正好位于中间，因为7天没有翻，那么应该翻过去的最后一天应该为14号，今天应该为15号。
三、费用、利润问题
费用、利润问题多涉及成本、售价、利润等之间的关系及其变化情况，方程法和赋值法是解决费用、利润问题的主要方法。
主要公式：售价＝成本＋利润
利润＝售价－成本
利润率＝利润÷成本＝（售价－成本）÷成本＝售价÷成本一1
成本＝售价÷（1＋利润率）
1．普通费用问题
给出售价、成本、利润之间的某种等量关系，利用方程法列出等量关系求解。
【例6】某公司向银行贷款，商定贷款期限是2年，利率10%，该公司立即用这笔贷款买一批货物，以高于买入价的35%的价格出售，两年内售完。用所得收入还清货款后，还赚了6万元，则这笔贷款是（ ）元。
A．30万
B．40万
C．45万
D．50万
【答案】B
【解析】货款利率=年利率×年数，贷物出售总额=货款本息＋剩余金额。依题意，设这笔货款x万元，则x（1＋35%）=x（1＋2×10%）＋6，解得x=40。
2．比例型费用问题
仅与比例相关的费用问题，若题目仅涉及两个或几个量之间的比例，给其中一个赋值，于是其他的量均可以得到合适的值，从而快速得解。
【例7】某年甲企业的利润比乙企业少200万元，甲、乙、丙三企业的利润之比为5：6：7，问该年丙企业的利润为多少万元？（ ）
A．14000
B．7000
C．700
D．1400
【答案】D
【解析】将甲企业的利润看作5份，乙企业的利润看作6份，丙企业的利润看作7份。显然，乙比甲多1份。已知甲企业的利润比乙企业少200万元，则可知道1份利润为200万元。所以丙企业的利润为200×7=1400（万元）。
3．前后变化型费用问题
题型简述：原定某种销售计划，中途出现变更，导致前后数值有变化。
思路提示：差额分析法。分别找出变化前后的情形及其差异，分析其中出现差异的原因，从而快速得解。
【例8】一个旅游团租车出游，平均每人应付车费40元。后来又增加了7人，这样每人应付的车费是35元，租车费是（ ）。
A．2000元
B．1960元
C．1900元
D．1850元
【答案】B
【解析】增加的7人分担的租车费用为35×7=245（元），其与原来人员减少的费用相等，即可知原来人数为245/（40－35）=49（人），因此，租车费为49×40=1960（元）。
4．价钱最优型费用问题
题型简述：对某个购买目标，有多家供应商可选，求最节省的购买方案。
思路提示：找到每一项的平均价钱最低者。在有优惠措施时，若总数能恰好被组内个数整除时，则该平均价钱最低者即为所求方案；若不能恰好被整除，则多余部分需选择单价最低者。特别需要注意，题目通常并不要求一类物品只能在一家购买。
【例9】某班有100个同学去公园划船。船有大、小两种，大船每船可乘12人，小船每船可乘8人。费用方面大船每船40元，小船每船30元。问费用最省需要（ ）元钱。
A．60
B．350
C．340
D．330
【答案】C
【解析】大船坐满人均为40/12，小船坐满人均30/8，前者小一些，所以在坐满的情况下优先安排大船。大船9只可以容纳整班人，费用为360元；大船8只，需加小船1只，此时费用为350元；大船7只，需加小船2只，此时费用为340元；大船6只，则需加小船4只，此时费用为360元，所以最省为340元。
5．利润问题
（1）售价＝成本＋利润，利润＝售价－成本
【例10】商场销售某种商品的加价幅度为其进货价的40%，现商场决定将加价幅度降低一半来促销，商品售价比以前降低了54元。问该商品原来的售价是多少元？（ ）
A．324
B．270
C．135
D．378
【答案】D
【解析】设该商品进价为x元，则原来售价为1.4x，现在售价为1.2x，则有1.4x－1.2x＝54，解得x＝270，则原来售价是1.4x＝270×1.4＝378（元）。
（2）利润率＝利润÷成本＝（售价－成本）÷成本＝售价÷成本－1，成本＝售价÷（1＋利润率）
有些题型比价复杂时，可能会通过利润率的变化来反向考查售价的变化。面对这类题型，一定要注意的是物品的成本一般是不会变化的。
【例11】某服装如果降价200元之后再打8折出售，则每件亏50元。如果直接按6折出售，则不赚不亏。如果销售该服装想要获得100%的利润，需要在原价的基础上加价多少元？（ ）
A．90
B．110
C．130
D．150
【答案】B
【解析】设该服装原价为x元，则有（x－200）×0.8＋50＝0.6x，得x＝550，0.6x＝330，由“如果直接按6折出售，则不赚不亏”可知，330元是成本价，想要获得100%利润，需要在原价的基础上加价2×330－550＝110（元）
四、牛吃草问题
牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场问题，该题型特点是某量以一定速度均匀增长，同时又以另一速度被均匀消耗。牛吃草问题模型实质上是增减平衡的问题，即有一方在消耗，一方又在生产，注意分清消耗和生产的两方分别对结果会产生什么样的影响。这类问题也可以套用到超市收银台结账、漏船排水、窗口售票等各种情况。
典型牛吃草问题通常给出不同头数的牛吃同一片草，这片草地既有原有的草，又有每天新长出的草，假设草的变化速度及原有存量不变，求若干头牛吃这片地的草可以吃多少天。
草原原有草量＝（牛每天吃草量－每天长草量）×天数
【例12】牧场上长满牧草，每天牧草都均匀生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，则可供25头牛吃几天？（ ）
A．5
B．7
C．6
D．8
【答案】A
【解析】假设每头牛每天吃的草为1，每天的长草量为x，最初的牧场总草量为y。则：
（10－x）×20=y ①
（15－x）×10=y ②
解方程①②得：x=5，y=100。
现在25头牛可以吃100/（25－5）=5（天）。
【例13】某招聘会在入场前若干分钟就开始排队，每分钟来的求职人数一样多，从开始入场到等候入场的队伍消失，同时开4个入口需30分钟，同时开5个入口需20分钟。如果同时打开6个入口，需多少分钟？（ ）
A．8
B．10
C．12
D．15
【答案】D
【解析】假定原有人数为n、每分钟新增人数为x，则有n＝（4－x）×30，n＝（5－x）×20，解得x＝2，n＝60，则6个入口所需时间为60÷（6－2）＝15（分钟）。
五、钟表问题
钟表问题是指与钟表运动、或显示的时间相关的问题。主要涉及钟面基本知识、时针与分针的运动问题、坏表问题等问题。
1．钟表基本知识
求解这类问题要注重本身钟表所具有的性质、特征。其解题关键在于综合运用钟表上的常识，这些常识是试题的隐含条件。
（1）钟表上的常识主要包括：
①时针一昼夜转2圈，分针一昼夜转24圈，分针与时针的转速之比为12:1，时针与分针的速度差为6-0.5=5.5°/分钟。
②时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°也是22次。
③时针与分针成某个角度往往需要考虑到对称的两种情况。
④无论是标准表还是坏表，转速都是匀速的，只是速度不同而已。
（2）由于钟表本身的特殊性，求解这类问题时也有相关的解题技巧，分别为：
①若考查的是钟表运动的问题，则要注意钟表中的时针与分针本身是在不停运动的，因此可以将钟表问题看成行程问题，运用行程问题的相关技巧来解题。
②若考查的是分针与时针的角度问题，则要注意分析钟表位置关系对应的分针与时针所成的角度关系；这类题目也有可能考查特殊的角度关系，通过这些特殊的角度关系，要提取出题目所给的隐含条件。
③坏表问题，找准坏表的“标准比”，然后按比例进行计算。
【例14】3点半时，分针和时针组成的锐角是多少度？（ ）
A．90
B．75
C．85
D．80
【答案】B
【解析】钟表一圈均分为12份，每份30º。三点半时时针在3.5处，分针在6处，所以二者的夹角为
（6－3.5）×30=75º。
【例15】有一只怪钟，每昼夜设计成10小时，每小时100分钟，当这只怪钟显示5点时，实际上是中午12点，当这只怪钟显示8点50分钟，实际上是什么时间？（ ）
A．17点50分
B．18点10分
C．20点04分
D．20点24分
【答案】D
【解析】怪钟每昼夜的钟面时间长度为100×10＝1000（分钟），而标准钟每昼夜的钟面时间长度为60×24＝1440分钟，怪钟从5点走到8点50经过了3×100＋50＝350（分钟），设标准钟经过了x分钟，则有350:1000＝x:1440，解得x＝504，即标准时间经过8小时24分钟，则此时标准时间为20点24分钟。
2．追及时长问题
（1）题型简述
一般只涉及单个时钟，给出一个起始时刻或状态，待求多长时间后到达另一时刻或状态。
（2）思路提示
应用比例。将钟面的转圈过程理解为行程模型，易知分针与时针的速度始终为12:1，这说明在相同的时间内若时针走过的距离为1份，则分针走过的距离为12份，两者的距离之差为11份，两者的距离之和为13份，这是恒定的比例。利用此比例可得答案。
（3）比例技巧的特例
钟面上很多问题本质上是追及问题，根据上面分针、时针、两者之差之间的比例关系，我们可以给出如下公式：T＝T0＋
T0
其中T为题目待求的实际时间，即分针与时针达到目标状态所需的时间。而T0称为静止时间，也即假定时针不动，分针与时针达到目标状态所需的时间。
【例16】一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，将钟与标准时间对准。现在是标准时间下午5点30分，问再经过多长时间，该挂钟才能走到5点30分？（ ）
A．20分
B．30分
C．40分
D．50分
【答案】B
【解析】①这只挂钟每小时慢5分钟，也就是当标准钟走60分时，这挂钟只能走60－5=55（分），即速度是标准钟速度的
=
。②因为每小时慢5分钟，标准钟从中午12点走到下午5点30分时，此挂钟共慢了5×（17
-12）=27（分），也就是此挂钟要差27分才到5点30分。③此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27分，因为它的速度是标准时钟的，实际走完这27分所需要的时间应该是27÷=30（分）。
【例17】钟表的时针与分针在4点（ ）分第一次重合。
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解法一：4点过后两针重合，则重合时刻一定超过了20分，因此只可能是A项或者B项。又因为当时间是4点12分时，时针恰好落在21分的标线上，而此时时针与分针还未重合。因此当时间超过4点12分之后，时针的位置一定超过了21分的标线。
解法二：因为分针每小时走一圈即60小格，时针才走5小格，所以可设分针速度为60格/每小时，则时针速度为5格/每小时。于是原题变为一道追赶题，要求的就是分针要花多长时间赶上20格（4点时分针与时针的距离）。所需时间=
=
（小时）=（
）分钟=（分钟）。
【例18】现在是12点32
分，问再过多长时间时针和分针正好在一条直线上（不重合）？（ ）
A．54
分钟
B．49
分钟
C．32分钟
D．65
分钟
【答案】D
【解析】时针每分钟走0.5°，分针每分钟走6°。12点时，时针与分针重合；12点32分时，分针比时针多走了32×（6°－0.5°）＝180°，即时针和分针在一条直线上且不重合。此后当分针比时针多走360°时，即经过32×2＝65（分钟）后，二者再次在一条直线上且不重合。
六、周期问题
题型简述：给出一个或多个周期长度，待求某位置上的值。
思路提示：分类解决，若为单个周期，则每过一个周期，相应值不变，先将完整周期部分舍去；若为多个周期，先确定周期的最小公倍数。
【例19】已知昨天是星期一，那么过200天以后是星期几？（ ）
A．星期一
B．星期二
C．星期六
D．星期四
【答案】C
【解析】在解答这种类型的题目时，首先应该知道其基本原理是一个星期以7天为周期，不断循环。已知昨天是星期一，今天是星期二。先求200天里有多少个7天，200÷7=28…4，故有28个7天，还剩4天，所以200天后是从星期二开始过4天之后的日期，即星期六。
【例20】某部84集的电视连续剧在某星期日开播，从星期一到星期五以及星期日每天都要播出1集，星期六停播。则最后一集在星期几播出？（ ）
A．星期日
B．星期六
C．星期五
D．星期二
【答案】C
【解析】把从星期日到星期五这样的六天当作一个播放周期，主要考虑84集的连续剧可播出多少个周期零几天。由于84/6=14，可见这部连续剧恰可播14个周期，由于开播的那天恰是星期日，所以最后一集在星期五播出。
七、盈亏问题
把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果按某种标准分，则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会有不足（亏）。求物品的数量和分配对象的数量，即盈亏问题。
解题技巧见下表：
【例21】学生春游到公园划船。如果在5条船上每船坐3人，其余的4人坐一船，则有5人无船可乘：如果在4条船上每船坐6人，其余的3人坐一船，则最后空着一条船无人乘。问共有船多少条？（ ）
A．36
B．9
C．7
D．18
【答案】B
【解析】此题需要进行条件转换。5条船上每船坐3人，剩下的船每船坐4人，还余5人，相当于每条船上正好坐4人；4条船上每船坐6人，其余的3人坐一条船，还余一条船，相当于每船坐3人，还剩9人无船可乘。这就转化成了常规的盈亏问题，有9÷（4－3）=9（条）船。
【例22】某单位招待所有若干间房间，现在安排一支考察队的队员住宿。若每间住3人，则有2人无房可住，若每间住4人，则有一间房间不空也不满。则该招待所的房间最多有（ ）。
A．4间
B．5间
C．6间
D．7间
【答案】B
【解析】将队员平均分到若干个房间，“若每间住3人，则有2人无房可住”说明分配后多了2人，“若每间住4人，则有一间房间不空也不满”说明不够分的，查了1～3人。本题属于“一盈一亏”问题。根据“一盈一亏”型问题公式，可得：房间数=（2＋亏数）÷（4-3）=2＋亏数。由上述分析，可知亏数最大为3，最小为1，因此房间最多有5间，最少有3间。
八、统筹规划问题
1．时间统筹问题
【例23】小明一家过一座桥，过桥时是黑夜，所以必须拿着唯一的灯过桥，现在小明过桥要1秒，小明的弟弟要3秒，小明的爸爸要6秒，小明的妈妈要8秒，小明的爷爷要12秒，每次过桥最多可过两人，而过桥的速度依过桥最慢者而定，而且灯在点燃后30秒就会熄灭。问小明一家过桥至少需要多长时间？（ ）
A．30秒
B．29秒
C．19秒
D．18秒
【答案】B
【解析】由题意可知，分为以下步骤：①小明与弟弟过桥，3秒；②小明拿灯回来，1秒；③妈妈与爷爷过桥，12秒；④弟弟拿灯回来，3秒；⑤小明与爸爸过桥，6秒；⑥小明拿灯回来，1秒；⑦小明与弟弟过桥，3秒。则小明一家过桥至少需要3＋1＋12＋3＋6＋1＋3＝29（秒）。
解决此类问题的核心思想是：优先安排最快的两个一起，然后安排最慢的两个一起。
2．统筹工效问题
【例24】一个产品生产线分为a、b、c三段，每个人每小时分别完成10，5，6件，现在总人数为71人，要使得完成的件数最大，71人的安排分别是（ ）。
A．14:28:29
B．15:31:25
C．16:32:23
D．17:33:21
【答案】B
【解析】方法一：A项错误，效率越低，人应越多，故14:28:29不符合。71人的安排为15:31:25时，三条生产线的量分别为150，155，150，可生产件数150；71人的安排为16:32:23时，三条生产线的量分别为160，160，138，可生产件数138；71人的安排为17:33:21时，三条生产线的量分别为170，165，126，可生产件数126。即生产件数最多为150，因此B项正确。
方法二：一个产品生产线分为a、b、c三段，a、b、c三段加一起才算一件，要使得完成的件数最大，就需要abc每段在每小时内完成的件数相等，设最后生产了x件产品，生产a、b、c部件需要的人数比为
:
:
＝3:6:5，则71人按照这个比例分配，71÷（3＋5＋6）＝5…1，因此隔断人数为3×5＝15，5×5＝25，6×5＝30，剩下一人任意分配，其工作不影响最终的产品数量。
3．巧妙称量问题
用天平将一份物品分成若干份，问至少需要称几次。
解决这类问题，需灵活利用所给的砝码，巧妙称出各种重量。
【例25】有一架天平，只有5克和30克的砝码各一个。现在要用这架天平把300克味精分成三等份，那么至少需要称多少次？（ ）
A．3次
B．4次
C．5次
D．6次
【答案】A
【解析】第一次，用5克和30克的砝码称出35克味精；第二次，用35克味精和30克砝码，称出65克味精。则前两次得到35＋65=100（克）味精。第三次用100克味精称出100克味精。
九、投影问题
投影问题研究物体高度与其在地面和墙上的投影长度之间的关系。
投影相关知识：①某一时刻，物体在地面上投影满足一定比例，即“物体高度：地面影长”是一个定值；②物体在垂直墙面上的投影影长等于其自身的高度。
【例26】阳光下，电线杆的影子投射在墙面及地面上，其中墙面部分的高度为1米，地面部分的长度为7米。甲某身高1.8米，同一时刻在地面形成的影子长0.9米。则该电线杆的高度为（ ）。
A．12米
B．14米
C．15米
D．16米
【答案】C
【解析】由题意可知，真实长度与影子长度之比为2:1，墙面部分的影子长度投影到地面上才是该部分真实的影子长度，即电线杆的影子总长为7＋0.5＝7.5（米），则电线杆的高度为7.5×2＝15（米）。