第九章　数字推理

一、基础数列类型

1．常数数列

一个数列的每一项都为一个相等的常数，即＝(n为整数)。例如5、5、5、5、5、5、5……

【例1】102，314，526，（　  ）。

A．624

B．738　

C．809

D．849

【答案】B

【解析】314－102＝212，526－314＝212。后一项－前一项＝212，即所填数字为536＋212＝738。

2．质数数列

质数即只能被1和本身整除的数，质数数列即由质数组成的数列。例如2、3、5、7、11、13、17。

【例2】1，2，6，30，210，（　  ）

A．1890

B．2310

C．2520　 

D．2730

【答案】B

【解析】2÷1＝2，6÷2＝3，30÷6＝5，210÷30＝7，相邻两项后一项除以前一项的商构成连续的质数列，即所填数字为210×11＝2310。

3．合数数列

除去质数列剩下的不含1的自然数为合数列。例如4、6、8、9、10、12、14。

【例3】8，16，25，35，47，（　  ）

A．58　

B．61　

C．65 

D．81

【答案】B

【解析】依次将相邻两个数中后一个数减去前一个数得8，9，10，12，为连续的合数组成的数列，即所填数字为47＋14＝61。

4．等差数列

相邻两项之差为定值的数列。例如1、5、9、13、17、21。

【例4】12.9，10.5，8.2，（　  ），3.9

A．6.1 

B．6　 

C．5.8

D．5.5

【答案】B

【解析】依次将相邻两个数中后一个数减去前一个数得－2.4，－2.3，（－2.2），（－2.1）为公差为0.1的等差数列，即所填数字为3.9＋2.1＝6。

5．等比数列

相邻两项之比为定值的数列。例如2、6、18、54、162。

【例5】164，100，68，（　  ），44

A．50　

B．55　

C．52

D．49

【答案】C

【解析】164－64＝100，100－64×＝68，相邻项之差构成首项为64，公比为的等比数列，即所填数字为68－64×＝52。

6．对称型数列

如果一个数列第一项和最后一项是同一个数，且关于对称数列中项对称，把这样的数列叫对称数列。例如4、1、6、8、6、1、4。

【例6】－81，－36，－9，0，9，36，（　  ）

A．49　

B．64　

C．81　 　

D．100

【答案】C

【解析】数列以第四个数0为中间值，两边的数成正负对称，即所填数字为81。

7．周期型数列

对于数列{An}，如果存在一个常数T，对于任意整数n＞N，使得对任意的正整数恒有（Ai＝A(i＋T)）成立，则称数列{An}是从第n项起的周期为T的周期数列。例如4、1、6、4、1、6。

【例7】6，7，5，8，4，9，（　  ）

A．5　 

B．10　

C．3 

D．4

【答案】C

【解析】依次将相邻两项做和得13，12，13，12，13。相邻两项之和为13和12的交替数列，即所填数字为12－9＝3。

二、六大重点题型

1．多级数列

多级数列是指需要对数列相邻两项进行加、减、乘、除四则运算得到次生数列后，才能呈现某种规律的数列。

进行一次运算，得到有规律的基本数列的数列称为二级数列；进行两次运算，得到有规律的基本数列的数列称为三级数列。经过四则运算后的次生数列可能是等差数列、等比数列、质数相关数列，还可能是幂次数列、周期数列、简单递推数列等。

在求解数列类题目时，考生首先应先观察数列的趋势。若呈平稳递增或递减，则可以尝试两项相加或相减；若变化比较大，则要考虑乘除运算。当然这并不是一定的，有时数列需要做差与做商法交替使用，有时做差两次或做商两次，而得出的结果可能是等比数列或等差数列，也可能是质数数列等其他数列。总之，解多级数列题时，考生要打开思路，在尊重规律的前提下，尽量发散自己的思维。

【例8】3，5，5，6，6.5，（　  ）

A．6.25 

B．6.5 

C．7.25

D．7.5

【答案】C

【解析】依次将相邻两项做差得2，0，1，0.5，再次做差得－2，1，－0.5，构成一个公比为－0.5的等比数列，即所填数字为6.5＋0.5＋（－0.5）×（－0.5）＝7.25。

【例9】2，14，84，420，1680，（　  ）

A．2400

B．3360 

C．4210

D．5040

【答案】D

【解析】依次将相邻两项做商得7，6，5，4。构成一个公差为－1的等差数列，即所填数字为

1680×[4＋（－1）]＝5040。

2．递推数列

递推数列，是指数列中从某一项开始，后面的每项都是通过它前面的项经过一定的运算得到的数列。递推数列具有加、减、乘、除、倍、方六种基本形态并包括其变式。

解题步骤主要包括：

（1）看趋势。根据数列当中数字的变化趋势初步判断此递推数列的具体形式。

从大的数字开始看，并且结合选项来看。如果变化的速度非常缓慢，首先从和递推开始考虑。如果变化的速度非常急速，首先从方递推开始考虑。如果介于两者之间，考虑倍数和乘积。

（2）做试探。如果看不出规律，可以圈定其中三个数。用其中两个比较小的数字去表示比较大的数。据此找出数字之间的运算规律。根据初步判断的趋势作合理的试探，得出相关修正项。

（3）修正项。快速求出相应的修正项后，并分析其规律。递推数列中的修正项主要有两种情况，一个是某个有规律的基本数列，另一个就是与数列前项相关的项，例如用前项修正、前项的2倍修正等。

【例10】8，16，22，24，（　  ）

A．18　

B．22　 

C．26　

D．28

【答案】A

【解析】8×2－0＝16，16×2－10＝22，22×2－20＝24，前一项×2－修正项＝后一项。即所填数字为

24×2－30＝18。

【例12】323，107，35，11，3，（　  ）。

A．-5　

B．1／3 

C．1 　 

D．2

【答案】B

【解析】323=107×3＋2，107=35×3＋2，35=11×3＋2，则3=（）×3＋2，故选B。

3．分数数列

分数数列是指以分数为主体，但规律却以分数的分子、分母为主体的数列形式。数列中出现分数并不意味着一定是分数数列。反之，分数数列中也可能会出现一些整数。具体是否为分数数列要根据题目所给数列的具体形式而定。

解题技巧：

（1）分组看待：各分数的分子与分母分别呈现规律

（2）反约分(包括整化分)：同时扩大分数的分子与分母

（3）约分：当分数的分子与分母含有相同因子时，将其化成最简式

（4）广义通分：当分数的分子(分母)很容易化成一致时，将其化为相同数

（5）有理化：当分数中含有根式时，对其进行分母(或分子)有理化

①分母有理化：利用平方差公式将分母当中的根号转移到分子当中来。例：

＝

②分子有理化：利用平方差公式将分子当中的根号转移到分母当中来。

（6）前后相关联：后一项的分子或分母跟前一项的分子、分母存在某种直观的联系

【例11】，1，，，，（　  ）

A．　  　 

B． 

C． 

D．

【答案】B

【解析】将原数列反约分，得到数列，，，，。其分子依次为21，48，75，102，129，是公差为27的等差数列；分母依次为32，48，72，108，162，是公比为的等比数列。即所填数字为＝

。

【例12】1，4，3，1，，，（　  ）

A． 

B． 

C．

D．

【答案】D

【解析】1＝1³，4＝2²，3＝3¹，1＝4⁰，＝5^－1，＝6^－2，底数是连续的自然数列，指数3，2，1，0，－1，－2，构成公差为－1的等差数列，即所填数字为7^－3＝。

4．幂次数列

幂次数列是数列中的每个数都可以转化成幂次数或可以用幂次数表示。包括普通幂次数列和幂次修正数列两大类。

（1）普通幂次数列

数列中的每个数都可以转化成幂次数的形式。转化成幂次数的形式后，分别观察指数和底数的规律。指数和底数的规律通常分别是一个简单的基本数列。

【例13】－64，4，0，1，，（　  ）

A．8　

B．64　

C．　

D．

【答案】D

【解析】－64＝（－4）³，4＝（－2）²，0＝0¹，1＝2⁰，＝4^－1，底数构成公差为2的等差数列，指数构成公差为－1的等差数列，即所填数字为6^－2＝。

（2）幂次修正数列

幂次修正数列中的每个数不能直接转化成幂次数的形式，但是在这些数附近都存在幂次数，用幂次数加、减一个修正项来表示这个数。修正项一般是比较简单的数列，而且数字都不大。比如经常见的修正项为＋1，－1，＋1，－1，＋1，－1；＋1，＋2，＋3，＋4，＋5。

【例14】0，7，26，63，（　  ）

A．124

B．153 

C．188 

D．196

【答案】A

【解析】0＝1³－1，7＝2³－1，26＝3³－1，63＝4³－1，一部分是连续自然数的立方，另一部分是－1，即所填数字为5³－1＝124。

5．分组数列

分组数列普遍比较长（通常情况下为8项或8项以上），有时数列中会出现两个括号。通常分组数列有两种：

（1）奇偶分组数列，也称跳跃数列或隔项数列。通常是指奇数项和偶数项分别呈一定规律的数列。但是并不是两组数列都呈现比较强的规律性，有些时候其中一组规律明显，而另一组的规律不太明显，规律不明显的一组的规律依赖于规律较明显的一组；有些时候（尤其是当数列较短，而无法确定某一组数字规律的时候）往往要根据其中一组数列的规律，来类推另一组的规律。

【例15】3，3，4，5，7，7，11，9，（　  ），（　　）

A．13，11　

B．16，12　

C．18，11 

D．17，13

【答案】C

【解析】奇数项依次为3，4，7，11，为递推和数列；偶数项依次为3，5，7，9，是公差为2的等差数列。即所填数次依次为11＋7＝18，9＋2＝11。

（2）相邻分组数列，是指将相邻的两个或三个数分为一组，然后在组内进行四则运算，比较组间运算结果，并呈现一定规律的数列。大多数考查的是两两分组的情况，三三分组则比较少见。

【例16】5，8，9，12，10，13，12，（　  ）

A．15　

B．14　 

C．13

D．25

【答案】A

【解析】将原数列两两分为一组，得新数列（5，8），（9，12），（10，13）；8－5＝3，12－9＝3，13－10＝3，即所填数字为12＋3＝15。

6．特殊数列

（1）因式分解类

因式分解的方法是指将数列中的每个数都分解成两个因子相乘的形式。比如原数列分解成a×b。

【例17】2，12，36，80，( 　 )

A．100 

B．125　

C．150

D．175

【答案】C

【解析】2＝2×1，12＝4×3，36＝9×4，80＝16×5，乘号左边的因子列是平方数列，乘号右边的因子列是等差数列，即所求数字为25×6＝150。

（2）数图推理题

a．圆圈型数阵：有心圆圈题、无心圆圈题。这类题型要注意圆心与各圆圈数据之间的关系。

b．九宫格数阵：3×3矩阵形式，主要注意横向、纵向或斜方向的数字规律。

c．变形型数阵：三角形数阵、环形数阵、正方形数阵、长方形数阵等。

解决这类题型，除了考查数字本身的特征，数字的位置关系也包含了比较重要的信息。譬如圆圈型数阵，中心数字与其他数字的关系；九宫格数阵，横向数字之和等。

【例18】（　　）

A．6　 

B．7

C．8　 

D．9

【答案】A

【解析】（2＋3）×5＝25，（8＋4）×6＝72，（3＋7）×9＝90，（左下角的数字＋顶角的数字）×右下角的数字＝中间的数字，即所填数字为102÷（9＋8）＝6。

【例19】（　　）

A．4

B．8　 

C．16　 

D．24

【答案】D

【解析】6÷1＝2÷1×3，18÷2＝6÷2×3，右下角的数字÷左下角的数字＝右上角的数字÷左上角的数字。即所填数字为4÷4×3×8＝24。

【例20】（　　）

A．11

B．16

C．18

D．19

【答案】D

【解析】1³＋1＝2，3²＋2＝11，2⁶＋4＝68，左下角的数字，以顶角的数字为指数，加上右下角的数字等于中间的数字，即所填数字为4²＋3＝19。