五、计算题
1．如果投资项目A的预期回报率为8%，标准差为5%；而投资项目B的预期回报率为12%，标准差为7%，如何帮助投资者作出选择？[对外经济贸易大学2015研]
解：由题可得：E（XA）＝8%，σA＝5%；E（XB）＝12%，σB＝7%。
计算标准差系数得：
因为，
，即项目B的投资风险小于项目A，且项目B的预期回报率高于项目A，所以，投资者应该选择投资项目B。
2．下表的样本数据代表30个稀土公司一个月的产量（单位：kg）。
（1）计算这组数据的均值、中位数和标准差。
（2）产量落在均值附近2个标准差范围内的占多大比例？
（3）表中第一个公司的产量极大，为1467.8kg。将这个数据删除后重新计算产量的均值、中位数和标准差。
（4）解释被删除的数据1467.8是如何影响三个描述性统计量的。[北京交通大学2015研]
解：（1）均值
将此30个数据按从大到小依次排列为1467.8，318，296.9，…，30.3，30；
则可得第15位和第16位数分别为78.8和76，所以
标准差
（2）根据（1）计算结果，可知均值附近2个标准差范围为（－365.58，684.34）；
由表中数据可知除1467.8外，其他样本都在该范围内，所以产量落在均值附近2个标准差范围内的比例为29÷30×100%＝96.7%。
（3）由题可计算出均值、中位数和标准差分别如下：
（4）删除的1467.8为极大值，对样本均值和标准差存在影响，删除后，样本均值和标准差均减小；而对位置平均数中位数几乎没有影响。
3．一项调查获得如表4-2所示容量为20的样本数据。
要求：
（1）确定该数据的中位数。
（2）以0～4、5～9、10～14等为组限，绘制等距式频数分布表及累积频数分布表。
（3）绘制频数分布直方图和累积频数分布图。
（4）指出该数据所属的频数分布类型。[东北财经大学2011研]
解：（1）将数据按照升序重新排序，结果如下：
2，3，4，4，5，5，6，7，8，8，8，9，10，11，12，12，13，17，18，21
所以中位数为：
，即Me＝8。
（2）绘制等距式频数分布表及累积频数分布表如表4-3所示。
（3）绘制频数分布直方图如图4-4所示。
图4-4 频数分布直方图
累计频数分布图如图4-5及图4-6所示。
图4-5 向上累积频数分布图
图4-6 向下累积频数分布图
（4）
SK＝0.796说明该频数分布中等右偏分布，K＝0.081说明该频数分布为尖峰分布，即与正态分布相比，该数据分布更集中。
4．甲乙两个班级统计学考试成绩资料如下：
甲班的平均分数为75分，标准差为7分；乙班的考试成绩频数分布表如表4-4所示。
表4-4 乙班考试成绩频数分布表
要求：
（1）计算乙班的平均考试分数。
（2）计算乙班考试分数的方差及标准差。
（3）计算乙班考试分数的离散系数。
（4）比较甲乙两个班级考试分数的离散程度的大小。[东北财经大学2011研]
解：（1）乙班平均考试分数计算过程如表4-5所示。
表4-5
由表4-5中数据可得
（2）方差计算过程如表4-6所示。
表4-6
由表4-6数据可得
（3）
（4）
，说明两个班的统计学考试成绩相比较，甲班的成绩较集中，乙班的成绩较分散。
5．随机抽取25个网络用户，得到他们的年龄数据如表4-7所示。
表4-7
要求：（1）计算众数、中位数。（2）计算平均数和标准差。（3）计算偏态系数和峰态系数。（4）对网民年龄的分布特征进行综合分析。[南京大学2009研]
解：（1）对表中数据按从小到大顺序排列：
15，16，17，18，19，19，19，20，20，21，22，22
23，23，23，24，24，25，27，29，30，31，34，38，41
由排序数据可知，年龄出现频数最多的是19和23，都出现3次，所以有两个众数，即Mo＝19和Mo＝23。
由于
所以
。
（2）平均数
由平均数
可得：
（3）偏态系数：
峰态系数：
（4）对网民年龄的分布特征进行综合分析的结果如下：从众数、中位数和平均数来看，网民年龄在23～24岁的人数占多数。由于标准差较大，说明网民年龄之间有较大差异。从偏态系数来看，年龄分布为右偏。并且偏态系数大于1，所以偏斜程度很大，说明年龄较大的网民人数相对于年轻网民人数来说很少。峰态系数为正值，所以为尖峰分布，说明网民的年龄分布相对集中。
6．下面是CAILY大学田径队纪录的1/4英里和1英里赛跑每次所用时间的数据（以分钟计）。
1/4英里的时间：0.92，0.98，1.04，0.90，0.99
1英里的时间：4.52，4.35，4.60，4.70，4.50
根据这些数据，一个教练评论说，1/4英里所用的时间已经趋于一致了，1英里所用时间差别较大。请用适当的指标来概括数据的特性并说明该教练的说法是否合理？[中央财大2006研]
解：根据已知数据，可以分别计算出1/4英里和1英里所用时间的样本均值和标准差。
1/4英里所用时间的样本均值为：
样本标准差为：
1英里所用时间的样本均值为：
样本标准差为：
由上面的计算结果可知，两个样本的均值不相同，因此不能简单地用标准差来比较这两个样本的离散程度。这两个样本的离散系数分别为：
1/4英里所用时间的离散系数为
1英里所用时间的离散系数为
因为v1＞v2，所以可知1/4英里所用时间的离散程度大于1英里所用时间的离散程度。由此可以判断该教练的说法不合理。
7．下面是A、B两个班学生的数学考试成绩数据如表4-8，4-9所示。
A班：
表4-8
B班：
表4-9
（1）将两个班的考试成绩用一个公共的茎制成茎叶图，比较两个班考试成绩分布的特点。
（2）两个班考试成绩的描述统计量如表4-10所示。试进行比较分析。
表4-10
（3）要判断考试成绩是否有离群点，可使用哪些方法？
（4）要判断考试成绩是否服从正态分布，可使用哪些描述性方法？[人大2004研]
解：（1）构建两个班考试成绩的茎叶图，如图4-7所示。
图4-7 两组数据的茎叶图
从茎叶图可以看出，A班考试成绩的分布比较集中；B班考试成绩的分布比A班分散。
（2）从平均数、众数与中位数可以看出A班成绩明显好于B班；A班成绩的方差小于B班，说明A班成绩相对于B班比较集中；两个班成绩的偏斜度较低，成绩分布比较对称；从极差可以看出B班的成绩差异大于A班。
（3）可使用“3σ”准则：A班学生的数学成绩全部在±3个标准差之内，即75±3×10.44＝（43.68，106.32），所以A班学生的成绩中没有离群点。B班学生的数学成绩全部在±3个标准差之内，即68±3×17.64＝（15.08，120.92），所以B班学生的成绩中没有离群点。
还可以使用四分位数的方法：当观测值落在区间（QU＋3IQR，＋∞）或（－∞，QL－3IQR）上时，认为该观测值为离群值。其中，IQR﹦QU－QL为四分位距，QU和QL分别为上、下四分位数。
（4）可使用偏度系数和峰度系数：由于A班的偏度系数SK＝0.11＞0，峰度系数K＝－0.35＜0，说明A班学生成绩的分布为右偏分布，且与正态分布相比略有一些扁平。B班的偏度系数SK＝0.11，峰度系数K＝－0.76＜0，说明B班学生成绩的分布也为右偏分布，且与正态分布相比较为扁平。
还可以使用箱线图的方法：当数据服从正态分布时箱线图应该是对称的；当Me（中位数）在箱子内部靠左时，数据呈右偏分布；当Me（中位数）在箱子内部靠右时，数据呈左偏分布。
8．某银行为缩短顾客到银行办理业务等待的时间，准备采用两种排队方式进行试验：一种是所有顾客都进入一个等待队列；另一种是顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时间更短，两种排队方式各随机抽取的9名顾客，得到第一种排队方式的平均等待时间为7.2分钟，标准差为1.97分钟，第二种排队方式的等待时间（单位：分钟）如下：
5．5，6.6，6.7，6.8，7.1，7.3，7.4，7.8，7.8
（1）画出第二种排队方式等待时间的茎叶图。
（2）比较两种排队方式等待时间的离散程度。
（3）如果让你选择一种排队方式，你会选择哪一种？试说明理由。[人大2006研]
解：（1）第二种排队方式等待时间的茎叶图如图4-8所示。
叶单位＝0.1
图4-8 第二种排队方式等待时间的茎叶图
（2）第二种排队方式等待时间的均值为：
标准差为：
第一种排队方式的均值
，标准差
，则离散系数
第二种排队方式的离散系数
由于v1＞v2，因此第二种排队方式的离散程度较小。
（3）由于第二种排队方式的平均等待时间小于第一种排队方式，并且离散程度较小，所以会选择第二种排队方式。
9．一家网吧想了解上网人员的年龄分布状况，随机抽取25人，得到他们的年龄数据如表4-11所示。
表4-11
（1）画出该组数据的茎叶图。
（2）画出该组数据的箱线图。
（3）根据茎叶图和箱线图说明上网者年龄分布的特征。[人大2005研]
解：（1）该组数据的茎叶图如图4-9所示。
图4-9 上网人员的年龄分布的茎叶图
（2）由表中数据可得：最大值＝41，最小值＝15
所以中位数＝23。
即QL在第6个数值（19）和第7个数值（19）之间0.5的位置上，因此QL＝19×0.5＋19×0.5＝19。
即QU在第19个数值（27）和第20个数值（29）之间0.5的位置上，因此QU＝27×0.5＋29×0.5＝28。
由以上数据可得箱线图，如图4-10所示。
图4-10 上网人员的年龄分布的箱线图
（3）由茎叶图和箱线图可以看出，上网者年龄为右偏分布。