第5章　概率与概率分布

一、单项选择题

1．一射手进行了三次射击，A_i表示第i次射击击中目标这一事件，下面正确表述了事件A₁A₂＋A₁A₃＋A₂A₃的是（　　）。[武汉大学2015研]

A．恰有两次击中目标

B．至少两次击中目标

C．最多两次击中目标

D．三次都击中目标

【答案】B

【解析】并集表示集合中的事件至少有一个发生，则事件A₁A₂＋A₁A₃＋A₂A₃中A₁A₂、A₁A₃和A₂A₃中至少有一个发生，即至少两次击中目标。

2．某班学生的平均成绩是80分，标准差是10分。如果已知该班学生的考试分数为对称分布，可以判断成绩在70～90分之间的学生大约占（　　）。[中央财经大学2015研]

A．95%

B．89%

C．68%

D．99%

【答案】C

【解析】根据3σ准则，成绩落在（80－10，80＋10）内的概率为68%，即成绩在70～90分之间的学生大约占68%。

3．假设随机变量X的概率密度函数为f（x），即X～f（x），数学期望μ和方差σ2都存在。样本X₁，…，X_n取自X，是样本均值，则有（　　）。[山东大学2015研]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】A项，样本均值的数学期望为μ，方差为σ2/n，故的概率密度函数不是f（x）。B项，的分布函数为，故的概率密度函数为n［1－F（x）］n－1·f（x）。C项，的分布函数为Fn（x），故的概率密度函数为nFn－1（x）·f（x）。D项，由于样本X₁，…，X_n取自X，则X₁，…，X_n相互独立，其联合概率密度函数为。

4．已知P（A）＝a，P（B）＝b，P（A∪B）＝c，则为（　　）。[对外经济贸易大学2015研]

A．a（1－b）

B．a－b

C．c－b

D．a（1－c）

【答案】C

【解析】

5．设A、B是概率不为0的不相容事件，下列结论中正确的是（　　）。[华中农业大学2015研]

A．与相容

B．与不相容

C．P（AB）＝P（A）P（B）

D．P（B－A）＝P（B）

【答案】D

【解析】A与B互不相容，则B－A＝B，即P（B－A）＝P（B）。A项，当A与B不对立时才成立；B项，当A与B对立时才成立；C项，由于A、B不相容，所以P（AB）＝0，又因为A、B概率不为0，所以P（A）P（B）不为0。

6．设某人打靶每次击中靶心的概率为，四次独立重复射击中，至少有一次击中的概率是（　　）。[浙江工商大学2011研]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

7．设离散型随机变量的分布律为，则常数A应为（　　）。[浙江工商大学2011研]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由随机变量分布的性质可知，

即

由于

所以。

8．设A，B，C都是事件，通过事件运算得到A，B，C，，，中某些事件的交及并的表达式，表示（　　）。[中山大学2012研]

A．事件A，B，C中至少有一个发生

B．事件A，B，C中至少有两个发生

C．事件A，B，C中至少有一个不发生

D．事件A，B，C中至少有两个不发生

【答案】C

【解析】事件A，B，C中至少有一个发生的表达式为：A＋B＋C；事件A，B，C中至少有两个发生的表达式为：AB＋BC＋AC；事件A，B，C中至少有两个不发生的表达式为：；事件A，B，C中至少有一个不发生的表达式为：。

9．设随机变量ξ₁～N（1，2），随机变量ξ₂～N（0，3），ξ₁，ξ₂相互独立，则D（3ξ₁－2ξ₂）＝（　　）。[浙江工商大学2011研]

A．30

B．12

C．6

D．0

【答案】A

【解析】当ξ₁，ξ₂相互独立时，3ξ₁，－2ξ₂也相互独立，故D（3ξ₁－2ξ₂）＝D（3ξ₁）＋D（－2ξ₂）＝9D（ξ₁）＋4D（ξ₂）＝9×2＋4×3＝30。

10．设随机变量ξ的概率密度为，则η＝（　　）～N（0，1）。[浙江工商大学2011研]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】设X～N（μ，σ2），则

正态分布的概率密度函数为：

由的概率密度函数可知：

故

11．离散型随机变量ξ的分布列为，其中a，b是未知数，如果已知ξ取1的概率和取2的概率相等，则a＝（　　）。[安徽财经大学2012样题]

A．0.2

B．0.3

C．0.4

D．0.5

【答案】C

【解析】由随机变量分布的性质可知，0.2＋a＋b＝1，又因为a＝b，所以a＝b＝0.4。

12．甲乙两人将进行一局象棋比赛，考虑事件A＝｛甲胜乙负｝，则为（　　）。[安徽财经大学2012样题]

A．甲负乙胜

B．甲乙平局

C．甲负

D．甲负或平局

【答案】D

【解析】对于事件A，由所有不包含在A中的样本点所组成的事件称为事件A的对立事件或逆事件，记为。“甲胜乙负”的对立事件为“甲负或平局”。

13．随机事件A，B，C中恰有两个事件发生的复合事件为（　　）。（这里，A∩B表示事件A与B都发生）[中山大学2011研]

A．（A∩B）∪（A∩C）∪（B∩C）

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】恰有两个事件发生是指有两个事件发生而第三个事件不发生，则可能的情况有：事件A，B发生而事件C不发生，事件A，C发生而事件B不发生，事件B，C而事件A不发生，对三种情况求并即为答案。

14．已知P（A）＝0.4，P（B）＝0.25，P（A－B）＝0.25，则P（A∪B）＝（　　）。[中山大学2011研]

A．0.4

B．0.5

C．0.6

D．0.65

【答案】B

【解析】由P（A－B）＝P（A）－P（AB）得，P（AB）＝P（A）－P（A－B）＝0.4－0.25＝0.15。所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝0.4＋0.25－0.15＝0.5。

15．某种动物活到25岁以上的概率为0.8，活到30岁的概率为0.4，则现年25岁的这种动物活到30岁以上的条件概率是（　　）。[中山大学2011研]

A．0.76

B．0.5

C．0.4

D．0.32

【答案】B

【解析】现年25岁的这种动物活到30岁以上的条件概率

16．将一颗质地均匀的硬币先后抛掷3次，至少出现2次正面的概率是（　　）。[中央财经大学2011研]

A．1/4

B．3/8

C．1/2

D．5/8

【答案】C

【解析】抛掷一次硬币，有正面和反面2种结果，则重复抛掷3次，有23种可能的结果。事件“至少出现2次正面”等价于事件“ 3次中有两次出现正面或3次都出现正面”。故根据古典概率计算公式

17．设函数f（x）在区间（a，b）上等于0.4，在此区间之外等于0，如果f（x）可以作为某连续型随机变量的密度函数，则区间（a，b）可以是（　　）。[中央财经大学2011研]

A．（0，0.5）

B．（0.5，2.5）

C．（1，2.5）

D．（0，2.5）

【答案】D

【解析】根据概率密度函数的性质可知，

解得，b－a＝2.5，只有D项满足条件。

18．甲、乙两人同时向某一目标射击一次，若甲命中目标的概率是0.4，乙命中目标的概率是0.6，那么目标被命中的概率是（　　）。[江苏大学2012研]

A．0.24

B．0.52

C．0.76

D．1.0

【答案】C

【解析】记事件A₁，A₂分别表示甲、乙两人独立对同一目标击中，事件B为目标被击中，则P（B）＝P（A₁∪A₂）＝P（A₁）＋P（A₂）－P（A₁ A₂）＝0.4＋0.6－0.4×0.6＝0.76。

19．设两事件A与B独立，其概率分别为0.5与0.6，则P（A＋B）＝（　　）。[中山大学2012研]

A．0.6

B．0.7

C．0.8

D．0.9

【答案】C

【解析】两事件A与B独立，故P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.6＝0.3，P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝0.5＋0.6－0.3＝0.8。

20．设事件C发生时事件D发生的条件概率P（D|C）＝0.4，若P（C）＝0.5，P（D）＝0.4，则P（C|D）＝（　　）。[中山大学2012研]

A．0.4

B．0.5

C．0.6

D．0.7

【答案】B

【解析】P（CD）＝P（C）P（D|C），则

21．同时投掷2个骰子，以A表示事件“掷出的2个面的点数之和是6”，以B表示事件“掷出的2个面的点数之和是7”，则（　　）。[中山大学2012研]

A．事件A，B独立

B．事件A，B概率相等

C．P（A）＞P（B）

D．P（A）＜P（B）

【答案】D

【解析】投掷2个骰子，总共会出现6×6＝36种结果。事件A的可能结果有：（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），故。事件B的可能结果有：（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），故，即P（A）＜P（B）。而P（AB）＝0≠P（A）P（B），故事件A，B不相互独立。

22．设随机变量X与Y的相关系数为0.5，期望分别为2与3，标准差分别为1与2，则随机变量XY的期望为（　　）。[中山大学2012研]

A．6

B．7

C．8

D．9

【答案】B

【解析】

代入数据得，

解得E（XY）＝7。

23．甲乙两人独立对同一个目标各射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被射中，则该目标是甲射中的概率为（　　）。[浙江工商大学2012研]

A．0.6

B．

C．

D．0.75

【答案】D

【解析】记事件A₁，A₂分别表示甲乙两人独立对同一目标击中，事件B为目标被击中。由于事件A₁与事件A₂是相互独立的，故有P（A₁A₂）＝P（A₁）P（A₂）＝0.5×0.6＝0.3。P（B）＝P（A₁∪A₂）＝P（A₁）＋P（A₂）－P（A₁A₂）＝0.6＋0.5-0.3＝0.8，故

24．两个口袋中各有外观一致的球3个，分别标记号码－1，0，1；从这两个口袋中随机地各摸出一个球，摸出的两个球的号码分别记作X与Y，则随机变量X与随机变量函数XY的（　　）。[中山大学2012研]

A．分布不同

B．期望不同

C．方差相同

D．中位数不同

【答案】A

【解析】随机变量X的分布如表5-1所示。

随机变量XY的分布如表5-2所示。

（其中事件XY＝－1的可能结果为：（－1，1），（1，－1），事件XY＝0的可能结果为：（－1，0），（1，0），（0，0），（0，－1），（0，1），事件XY＝1的可能结果为：（－1，－1），（1，1），事件的所有可能结果有3×3＝9个，由此即可得出随机变量XY的分布）

中位数均为0，由此可知，两个随机变量的分布、方差不相同，但期望和中位数相同。

25．设F₁（x）与F₂（x）分别为随机变量X₁与X₂的分布函数，为使F（x）＝aF₁（x）－bF₂（x）是某一随机变量的分布函数，应取（　　）。[华中科大2004研]

A．a＝3/5，b＝－2/5

B．a＝2/5，b＝2/3

C．a＝－1/2，b＝3/2

D．a＝1/2，b＝－3/2

【答案】A

【解析】由分布函数的性质知，F₁（＋∞）＝F₂（＋∞）＝F（＋∞）＝1，所以a－b＝1。故只有A项符合要求。

26．设当事件A，B同时发生时，事件C必然发生，则有（　　）。[东北财大2005研、江西财大2007研]

A．P（C）≤P（A）＋P（B）－1

B．P（C）≥P（A）＋P（B）－1

C．P（C）＝P（AB）

D．P（C）＝P（A∪B）

【答案】B

【解析】由于当事件A，B同时发生时，事件C必然发生，从而事件C包含事件A∩B。所以有P（C）≥P（A∩B），即P（C）≥P（A）＋P（B）－P（A∪B）≥P（A）＋P（B）－1。

27．设随机变量X和Y独立同分布，分布列为，则下列各式中成立的是（　　）。[东北财大2006研]

A．X＝Y

B．P{X＝Y}＝1

C．P{X＝Y}＝0

D．P{X＝Y}＝1/2

【答案】D

【解析】因为随机变量X和Y相互独立，且取值只能是1或者－1，所以

28．若A、B为任意两个事件，且，P（B）＞0，则下列选项必成立的是（　　）。[东北财大2004研]

A．P（A）＜P（A|B）

B．P（A）≤P（A|B）

C．P（A）＞P（A|B）

D．P（A）≥P（A|B）

【答案】B

【解析】因为，所以P（AB）＝P（A）。故

则

又0＜P（B）≤1，所以P（A）－P（A|B）≤0，即P（A）≤P（A|B）。

29．设A，B是两事件，0＜P（A）＜1，P（B）＞0， ，则必有（　　）。[江西财大2006研]

A．

B．

C．P（AB）＝P（A）P（B）

D．P（AB）≠P（A）P（B）

【答案】C

【解析】

已知，即

则有：

即P（AB）＝P（A）P（B）。

30．将一枚硬币独立地掷两次，设A₁＝｛掷第一次出现正面｝，A₂＝｛掷第二次出现正面｝，A₃＝｛正、反各出现一次｝，A₄＝｛正面出现两次｝，则（　　）。[中山大学2015、2013研，华中科大2005研]

A．A₁，A₂，A₃相互独立

B．A₂，A₃，A₄相互独立

C．A1₃，A₂，A₃两两独立

D．A₂，A₃，A₄两两独立

【答案】C

【解析】由题意可得：P（A₁）＝0.5，P（A₂）＝0.5，P（A₃）＝0.5，P（A₄）＝0.25

P（A₁A₂）＝0.25＝P（A₁）P（A₂）

P（A₂A₃）＝0.25＝P（A₂）P（A₃）

P（A₁A₃）＝0.25＝P（A₁）P（A₃）

P（A₁ A₂ A₃）＝0≠P（A₁）P（A₂）P（A₃）

所以A₁，A₂，A₃两两独立，但不相互独立。

31．设随机变量X的密度函数为，已知P{X＞1}＝，则θ＝（　　）。[中南财大2005研]

A．1

B．1/ln2

C．1/2

D．ln2

【答案】B

【解析】由于

又，则有：

所以，即θ＝1/ln2。

32．设X，Y是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为F_X（x），F_Y（y）。则Z＝max（X，Y）的分布函数是（　　）。[中南财大2004研]

A．F_Z（z）＝max［F_X（z），F_Y（z）］

B．F_Z（z）＝max｛|F_X（z）|，|F_Y（z）|｝

C．F_Z（z）＝F_X（z）F_Y（z）

D．F_Z（z）＝1－max［F_X（z），F_Y（z）］

【答案】C

【解析】因为X，Y是相互独立的随机变量，所以有：F_Z（z）＝P（Z≤z）＝P（max（X，Y）≤z）＝P（X≤z，Y≤z）＝P（X≤z）P（Y≤z）＝F_X（z）F_Y（z）

33．X～N（μ，σ2），m＞0，则X落在区间（μ－mσ，μ＋mσ）内的概率（　　）。[中南财大2003研]

A．只与m有关

B．只与m，μ有关

C．只与μ，σ有关

D．与μ，σ2，m有关

【答案】A

【解析】X落在区间（μ－mσ，μ＋mσ）内的概率为：

因为X～N（μ，σ2），所以

从而只与m有关，而与μ，σ2无关。

34．设（X，Y）服从参数为的二元正态分布，则X与Y相互独立是X与Y不相关的（　　）。[中南财大2004研]

A．无关条件

B．充分条件

C．必要条件

D．充要条件

【答案】D

【解析】若X与Y是相互独立随机变量，则X与Y不相关，反之不然。但是在二维正态分布场合，不相关与独立等价。

35．设二维随机变量（X，Y）服从二维正态分布，则随机变量ξ＝X＋Y与η＝X－Y不相关的充要条件是（　　）。[华中科大2004研]

A．E（X）＝E（Y）

B．E（X₂）＋［E（X）］2＝E（Y₂）＋［E（Y）］2

C．E（X₂）＝E（Y₂）

D．D（X）＝D（Y）

【答案】D

【解析】由于二维随机变量（X，Y）服从二维正态分布，ξ＝X＋Y，η＝X－Y，故由正态变量的线性变换不变性可知（ξ，η）也服从二维正态分布，因此随机变量ξ和η不相关等价于ξ和η相互独立。

当ξ和η相互独立时，有D（ξ＋η）＝D（ξ－η）＝D（ξ）＋D（η），而D（ξ＋η）＝D（2X）＝4D（X），D（ξ－η）＝D（2Y）＝4D（Y），故有：D（X）＝D（Y）。

反过来，当D（X）＝D（Y）时，Cov（X＋Y，X-Y）＝Cov（X，X）－Cov（Y，Y）＝D（X）－D（Y）＝0，即ξ和η不相关。

综上所述，ξ＝X＋Y与η＝X－Y不相关的充要条件是D（X）＝D（Y）。

36．D（X）＝4，D（Y）＝1，ρ_XY＝0.6，则D（3X－2Y）的值为（　　）。[华中科大2004研]

A．40

B．14

C．25.6

D．17.6

【答案】C

【解析】

所以D（3X－2Y）＝9D（X）＋4D（Y）－12Cov（X，Y）＝9×4＋4×1－12×1.2＝25.6

37．已知X服从二项分布，且EX＝2.4，DX＝1.44，则二项分布的参数为（　　）。[东北财大2005研]

A．n＝4，p＝0.6

B．n＝6，p＝0.4

C．n＝8，p＝0.3

D．n＝24，p＝0.1

【答案】B

【解析】已知二项分布的期望为EX＝np＝2.4，方差为DX＝npq＝1.44，所以q＝0.6，因此求得n＝6，p＝0.4。

38．设X是一随机变量，X₀为任意实数，EX为X的数学期望，则有（　　）。[东北财大2005研]

A．E（X－X₀）2＝E（X－EX）2

B．E（X－X₀）2＜E（X－EX）2

C．E（X－X₀）2≥E（X－EX）2

D．E（X－X₀）2＝1

【答案】C

【解析】计算E（X－X₀）2，E（X－EX）2两个式子的差，得：

39．处于正态分布概率密度函数与横轴之间并且大于均值部分的面积为（　　）。

A．大于0.5

B．－0.5

C．1

D．0.5

【答案】D

【解析】对于正态分布的概率分布函数，当x＜μ时，F（x）＜0.5；当x＝μ时，F（x）＝0.5；当x＞μ时，F（x）＞0.5。题中大于均值的面积S＝1－F（μ）＝1－0.5＝0.5。