2.2 课后习题详解
2-1 在图2-2-1所示的液位自动控制系统中，设容器横截面积为
，希望液位为
。若液体高度变化率与液位流量差
成正比，试列写以液位为输出量的微分方程式。
图2-2-1 液位自动控制系统原理图
解：由题意知液位高度变化率与液体流量差
成正比，即
则以液位为输出量的微分方程式为
2-2 设机械系统如图2-2-2所示，其中
是输入位移，
是输出位移。试分别写出各系统的微分方程。
图2-2-2 机械系统
解：（1）系统（a）
根据力平衡方程，可得
则系统的微分方程式为
（2）系统（b）
弹簧
与阻尼器之间取辅助点
，并设点位移为
，方向向下。根据力平衡方程，可得
消去中间变量，化简得
则系统的微分方程式为
（3）系统（c）
根据力平衡方程，可得
则系统的微分方程式为
2-3 试证明图2-2-3（a）的电网络与图2-2-3（b）的机械系统有相同的数学模型。
图2-2-3 电网络（a）与机械系统（b）
证明：（1）系统（a）
由复数阻抗的方法可得，可得电网络的传递函数为
（2）系统（b）
在弹簧
和阻尼器
之间引入辅助点，设其位移为，方向向下。根据力平衡方程，可得
对两式作零初始条件下拉氏变换得
消去中间变量
，则有
则机械系统的传递函数为
比较
、
可知：两传递函数的类型相同，即图中两机械系统有相同的数学模型。
2-4 试分别列写图2-2-4中各无源网络的微分方程式。
图2-2-4 无源网络
解：（1）图（a）
根据电压平衡可得
解得
整理可得图（a）所示的微分方程为
（2）图（b）
根据电压平衡可得
解得
整理可得图（b）所示的微分方程为
2-5 设初始条件为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制
曲线，指出各方程式的模态。
（1）
；
（2）
；
（3）
。
解：（1）由拉氏变换可得
由拉氏反变换可得
由的表达式可得系统的特征根为：λ＝－0.5，故该方程的运动模态为：
。
的曲线如图2-2-5所示。
图2-2-5 单位斜坡响应曲线
（2）由拉氏变换可得
由拉氏反变换可得
由x（t）的表达式可得系统的特征根为：
故该方程的运动模态为：
曲线如图2-2-6所示。
图2-2-6 单位脉冲响应曲线
（3）由拉氏变换可得
由拉氏反变换可得
由x（t）的表达式可得系统的特征根为：
，故该方程的运动模态为：
，
。
x（t）曲线如图2-2-7所示。
图2-2-7 单位阶跃响应曲线
2-6 在液压系统管道中，设通过阀门的流量
满足流量方程
式中，
为比例系数；
为阀门前后的压差。若流量与压差在其平衡点
附近作微小变化，试导出线性化流量方程。
解：在平衡点处对流量泰勒展开，并取一次项近似可得
由此可得，线性化流量方程为
。
2-7 设弹簧特性由下式描述
其中，
是弹簧力；
是变形位移。若弹簧在变形位移
附近作微小变化，试推导
的线性化方程。
解：在
处对进行泰勒展开，并取一次项近似可得
由此可得，的线性化方程为
2-8 设晶闸管三相桥式全控整流电路的输入量为控制角
，输出量为空载整流电压
，它们之间的关系为
式中，
是整流电压的理想空载值，试推导其线性化方程式。
解：在
处对
进行泰勒展开，然后取其一次项近似可得
由上式可得：
2-9 若系统在阶跃输入
时，零初始条件下的输出响应
。试求系统的传递函数和脉冲响应。
解：系统的输入的拉氏变换为：
系统的输出响应为：
即
则系统的传递函数为
系统脉冲响应为
2-10 设系统的传递函数为
初始条件
，
，试求单位阶跃输入时，系统的输出响应
。
解：系统的传递函数对应的微分方程为
对上式两边同时作拉氏变换得
代入已知条件，，
，可得
对上式作拉氏反变换得
2-11 在图2-2-8中，已知
和
两方框对应的微分方程分别是
且初始条件均为零，试求传递函数
及
。
图2-2-8 系统结构图
解：对题中微分方程两边作零初始条件下拉氏变换有
由上式可得
又由图2-2-8可得传递函数为
即
且
则
因此，传递函数分别为
2-12 求图2-2-9所示有源网络的传递函数
。
图2-2-9 有源网络
解：（1）图（a）所示有源网络的传递函数为
（2）图（b）所示有源网络的传递函数为
（3）图（c）所示有源网络的传递函数为
2-13 由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-2-10所示，试求闭环传递函数
。
图2-2-10 控制系统模拟电路
解：设第一和第二个运算放大器的输出电压分别为
和
，由题图可知
且
则有
故
整理得闭环传递函数为
2-14 试参照教材中例2-2给出的电枢控制直流电动机的三组微分方程式，画出直流电动机的结构图，并由结构图等效变换求出电动机的传递函数
，
。
解：电枢控制直流电动机的三组微分方程式分别为
对上述三式分别进行零初始条件下拉氏变换得
则可以画出直流电动机如图2-2-11所示。
图2-2-11 直流伺服电机结构图
电动机的传递函数为
2-15 某位置随动系统原理方块图如图2-2-12所示。已知电位器最大工作角度
,功率放大级放大系数为
，要求：
（1）分别求出电位器传递系数
，第一级和第二级放大器的比例系数、 
；
（2）画出系统结构图；
（3）简化结构图，求系统传递函数
。
图2-2-12 位置随动系统原理图
解：（1）由题可知
（2）设电动机的时间常数为
，则直流电动机的传递函数为（忽略电枢电感的影响）
设测速发电机的斜率为
，则其传递函数为
系统的结构如图2-2-13所示。
图2-2-13 位置随动系统结构图
（3）简化后的系统结构图如图2-2-14所示。
图2-2-14 系统结构图的简化
则系统的传递函数为
2-16 设直流电动机双闭环调速系统的原理线路如图2-2-15所示。
（1）分别求速度调节器和电流调节器的传递函数；
（2）画出系统结构图（设可控硅电路传递函数为
；电流互感器和测速发电机的传递系数分别为
和
；直流电动机的结构图用题2-14的结果）
（3）简化结构图，求系统传递函数
。
图2-2-15 直流电动机调速系统原理图
解：（1）速度调节器和电流调节器的传递函数分别为
（2）由直流电动机调速系统的结构图如图2-2-16所示。
图2-2-16 直流电动机调速系统结构图
（3）对结构图依次化简，如图2-2-17所示。
图2-2-17 电机调速系统结构图简化
由简化的结构图可得系统的传递函数
其中
2-17 已知控制系统结构图如图2-2-18所示，试通过结构图的等效变换求系统传递函数。
图2-2-18 系统结构图
解：（1）图（a）所示系统的简化结构图如图2-2-19所示，则系统传递函数为
（2）图（b）所示系统的简化结构图如图2-2-20所示，则系统传递函数为
图2-2-19 简化结构图
图2-2-20 简化结构图
（3）图（c）所示系统的简化结构图如图2-2-21所示，则系统传递函数为
图2-2-21 简化结构图
（4）图（d）所示系统的简化结构图如图2-2-22所示。
则系统传递函数为
图2-2-22 简化结构图
（5）图（e）所示系统的简化结构图如图2-2-23所示，则系统传递函数为
图2-2-23 简化结构图
（6）图（f）所示系统的简化结构图如图2-2-24所示，则系统传递函数为
图2-2-24 简化结构图
2-18 试简化图2-2-25中的系统结构图，并求传递函数和
。
图2-2-25 系统结构图
解：（1）图（a）系统
令
，简化结构图如图2-2-26所示，则系统传递函数为
图2-2-26 简化结构图
令
，简化结构图如图2-2-27所示，则系统传递函数为
图2-2-27 简化结构图
（2）图（b）系统
令，简化结构图如图2-2-28所示，则系统传递函数为
图2-2-28 简化结构图
令，简化结构图如图2-2-29所示，则系统传递函数为
图2-2-29 简化结构图
2-19 试绘制图2-2-30所示各系统结构图对应的信号流图，并用梅森公式求各系统的传递函数。
图2-2-30 系统结构图
解：（1）图（a）所示系统的信号流图如图2-2-31（a）所示，系统有两条前向通道，一个单独回路，即
由梅森公式得系统传递函数为
（2）图（b）所示系统的信号流图如图2-2-31（b）所示，系统有一条前向通道，两个单独回路，即
由梅森公式得系统传递函数为
（3）图（c）所示系统的信号流图如图2-2-31（c）所示，系统有两条前向通道，两个单独回路，即
由梅森公式得系统传递函数为
（4）图（d）所示系统的信号流图如图2-2-31（d）所示，系统有一条前向通道，三个单独回路，其中一对回路互不接触，即
，
，
，
与
不接触
由梅森公式得系统传递函数为
（5）图（e）所示系统的信号流图如图2-2-31（e）所示，系统有两条前向通道，三个回路，无不接触回路，即
由梅森公式得系统传递函数为
（6）图（f）系统的信号流图如图2-2-31（f）所示，系统有两条前向通道，一个单独回路，即
由梅森公式得系统传递函数为
图2-2-31 系统信号流图
2-20 画出图2-2-32各系统结构图对应的信号流图，并用梅森增益公式求各系统的传递函数和。
图2-2-32 系统结构图
解：（1）图（a）系统信号流图如图2-2-33（a）所示。
①求
系统有一条前向通道，两个单独回路，即
由梅森公式得系统传递函数为
②求
系统有两条前向通道，两个单独回路，即
由梅森公式得系统传递函数为
（2）图（b）所示系统的信号流图如图2-2-33（b）所示。
①求
系统有三条前向通道，两个单独回路，即
由梅森公式得系统传递函数为
②求
系统有一条前向通道，两个单独回路，即
由梅森公式得系统传递函数为
图2-2-33 系统信号流图
2-21 试绘制图2-2-34中系统结构图对应的信号流图，并用梅森增益公式求传递函数和。
图2-2-34 系统结构图
解：（1）系统（a）信号流图如图2-2-35（a）所示。
①求
系统有两条前向通道，三个单独回路，其中一对回路互不接触，即
与
不接触，
由梅森公式得传递函数为
②求
系统有两条前向通道，三个单独回路，其中一对回路互不接触，即
由梅森公式得传递函数为
（2）系统（b）的信号流图如图2-2-35（b）所示。
①求
系统有四条前向通道，五个单独回路，无不接触回路，即
由梅森公式得传递函数为
②求
系统有一条前向通道，五个单独回路，即
由梅森公式得传递函数为
图2-2-35 系统信号流图
2-22 试用梅森增益公式求图2-2-36中各系统信号流图的传递函数。
图2-2-36 系统信号流图
解：（1）系统（a）
有两条前向通道，三个单独回路，无不接触回路，即
由梅森公式得系统传递函数为
（2）系统（b）
有四条前向通道，九个单独回路，其中六对回路互不接触，一组三回路互不接触，即
九个单独回路
六对互不接触的回路
一组互不接触的三回路
由梅森公式得系统传递函数为
（3）系统（c）
有两条前向通道，三个单独回路，二对互不接触回路，即
，与
不接触，
由梅森公式得系统传递函数为
（4）系统（d）
有两条前向通道，四个单独回路，一对互不接触回路，即
与不接触，
；
由梅森公式得系统传递函数为
（5）系统（e）
当
作用时有四条前向通道，四个单独回路，一对互不接触回路，即
与
不接触，
；
由梅森公式得系统传递函数为
当
作用时有三条前向通道，四个单独回路，一对互不接触回路，即
与不接触，；
由梅森公式得系统传递函数为
（6）系统（f）
当作用时有九条前向通道，一个单独回路，即
由梅森公式得系统传递函数为
当作用时有三条前向通道，一个单独回路，即
由梅森公式得系统传递函数为
当
作用时有三条前向通道，一个单独回路，即
由梅森公式得系统传递函数为
2-23 图2-2-37所示为双摆系统，双摆悬挂在无摩擦的旋轴上，并且用弹簧把它们的中点连在一起。假定：摆的质量为
；摆杆长度为
，摆杆质量不计；弹簧置于摆杆的
处，其弹性系数为
；摆的角位移很小，
， 
均可进行线性近似处理；当
时，位于杆中间的弹簧无变形，且外力输入
只作用于左侧的杆。若令
，要求：
（1）列写双摆系统的运动方程；
（2）确定传递函数
；
（3）画出双摆系统的结构图和信号流图。
图2-2-37 双摆系统
解：（1）弹簧所受到的压力为
左边摆杆的受力方程为
即
右边摆杆的受力方程为
即
且有如下近似关系
将
代入左右摆杆的受力方程，可得
将
代入上述两个方程，并令
，
，得到双摆系统的运动方程为
（2）对运动方程作零初始条件下的拉氏变换得
化简得
（3）系统结构图和信号流图如图2-2-38及图2-2-39所示。
图2-2-38 双摆系统结构图
图2-2-39 双摆系统信号流图
为便于观察，将图2-2-39改为如图2-2-40所示。
图2-2-40 双摆系统信号流图
由图2-2-40可知
应用梅森公式得
2-24 城市生态系统的多回路模型可能包括下列变量：城市人口数量（变量节点）、现代化程度（变量节点）、流入城市人数（变量节点
）、卫生设施（变量节点
）、疾病数量（变量节点
）、单位面积的细菌数（变量节点
）、单位面积的垃圾数（变量节点
）等。假定各变量节点间遵循下列因果关系：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
。
各变量节点间支路增益的符号待确定。例如，改变卫生设施后，将减少单位面积的细菌数，因此到传输的支路增益应该为负。试确定各支路增益的正负，用恰当的符号，如
等表示支路增益，画出这些因果关系的信号流图，并回答在所给出的四个回路中，哪个是正反馈回路，哪个是负反馈回路?
解：信号流图如图2-2-41所示，则在给出的四个回路中，第一个回路为负反馈回路，其余为正反馈回路。
图2-2-41 生态系统的信号流图