4.2　课后习题详解

一、概念题

1货币的时间价值（time value of money）

答：货币时间价值（TVM）指的是今天所持货币（1美元、1欧元或是1日元）比未来预期所获得的相同数量的同种货币更有价值。货币时间价值的意义有：①促使公司加速资金周转，提高资金的利用率；②作为评价投资方案是否可行的基本标准；③作为评价公司收益的尺度。随着时间的延续，货币总量在循环和周转中按几何级数增长，使得货币具有时间价值。货币时间价值可以通过单利、复利和年金的计算来衡量。

货币之所以具有时间价值，至少有三个方面的原因：①货币可用于投资，获得利息，从而在将来拥有更多的货币量；②货币的购买力会因通货膨胀的影响而随时间改变；③一般来说，未来的预期收入具有不确定性。

2折现现金流（discounted cash flow）

答：折现现金流是指将项目或资产在生命期内将要产生的现金流折现，计算出当前价值的一种评估方法，通常适用于项目投资、商业地产估值等。或者说是人们为了预期的未来现金流，所愿付出的当前代价，即将未来现金流转换成现值。未来现金流的现值必须通过重新计算（折算）来确定，这样，一个公司的计划项目才能够被准确估值。

收益法中最常用的就是折现现金流量法。用折现现金流量法求企业投资资本价值时，折现率须采用加权平均资本成本进行计算。对一个投资项目来说，折现现金流由以下估算得到：估算必须付出的现金以及预计收回的现金。同时，要考虑到付款周期（估算）。每一笔现金交易还必须减去收款付款这段时间的机会成本。

3复利计息（compounding）

答：复利计息是在复利法下由现值（PV）转变为终值（FV）的过程。终值（FV）是指一笔投资按一定的复利利率计息，从而在未来某一时间获得的货币总额。当期限非常长时，非常小的利率差别将导致终值很大变化。一般地，若现值为PV，年利率为i，计算利息的年数为n，n年末的终值为FV，则n年末的终值公式为：FV＝PV·（1＋i）ⁿ，（1＋i）ⁿ称为终值系数。

4现值（present value）

答：现值是指以某种适当的复利率或贴现率所折算的一笔未来款项，或未来资金流的现时价值。现值法也称折现现金流法，在公司财务中被广泛用于计算基本建设项目的收益率。在证券投资中，该方法被用来确定本期应投资多少资金以便在未来获得一个确定的金额。现值也称为资金的时间价值。

现值与终值共同形成一种对立统一的货币时间价值概念，其实质内容为将来特定时间的本利和（即终值）所需的本金（即现值）。计息的标准决定了实际的货币资金现值。如按复利标准计息的现值称为复利现值，按单利标准计息的现值称为单利现值，按年金利润计息的现值称为年金现值等。

5终值（future value）

答：终值是指将货币资金（现值）在投入周转使用后，按特定计息标准计算的在未来一定时间后的将来的价值。它是现值的对称概念，其实质内容为当前所持有的本金（即现值）在将来特定时间的本利之和（即终值）。计息标准不同决定了有不同的实际本利和。

6单利（simple interest）

答：单利是指本金在贷款期限内获得利息，不管时间多长，所派生的利息均不加入本金重复计算利息时，本金所获得的利息。用公式可以表示为：I＝P·r·n，式中，I表示利息额，P表示本金，r表示利息率，n表示借贷期限。

7复利（compound interest）

答：复利是指除本金计算利息，本金所产生的利息也加入本金，逐期滚动计算利息时所获得的利息。其计算公式：复利本利和＝本金×（1＋利率）ⁿ。式中，n为期限数，利率即为复利利率。

8终值因子（future value factor）

答：终值因子是指由特定的货币时间价值规律确定的计算终值的比例常数。该常数由计息方式、计息年限和利率的大小确定取值。它有两种表达方式：一是按时间价值的定义确立下来的计算终值公式；二是按计算公式编列的现成的函数表。终值因子可用专门的符号表示，如一次支付终值因子表示为（F/P，i，n），等额系列终值因子表示为（A/P，i，n）等。

972法则（Rule of 72）

答：72法则是一种简便地估算终值的法则。该法则认为，现值翻一倍所需的年限（翻倍的时间）大致等于72除以年利率：翻倍的时间＝72/利息率，这里的年利率或利息率是指百分率中的整数部分。

10再投资利率（reinvestment rate）

答：再投资利率是指在计划投资的期限内能再次进行投资的资金所获得的利息率。比如，投资者用出售证券所得的收入，或者用投资所得的利息、股利等进行再投资时，所获得的投资收益率。

11以年百分比表示的利率（annual percentage rate）

答：以年百分比表示的利率又称“名义年利率”，是指不考虑年内复利计息的一年期利率，它一般指债券上标明的利率，或者是银行存款的利率。如果一年内多次计息，名义年利率与有效年利率相比较小。如果一年计息一次，则两者相同。

12有效年利率（effective annual rate）

答：有效年利率又称“实际年收益率”，是指考虑年内复利计息的利率。由于复利计息的缘故，有效年利率高于名义年利率，其计算公式为：（1＋r/m）^m，其中，r为名义年利率，m为一年内重复计息次数。有效年利率能够更准确地衡量投融资的成本。

13资本的机会成本（opportunity cost of capital）

答：资本的机会成本是指资本用于某种用途而没有用于其他有利可图的用途所导致的潜在利益损失，一般以利率的形式来衡量。

一旦一项资产用于某个新项目，就丧失了其他使用方式所能带来的潜在利益。这种潜在利益就是被放弃机会的可计量的价值，但它并不构成该项目的实际支出。决策分析过程中，只要决策目标的实现存在多个互斥方案可供选择，则机会成本必然存在，决策者必须要把已放弃方案可能获得的潜在收益，作为被选用方案的成本，才能对该方案的经济效益做出全面、合理的评价，并判断选用的方案是否真正最优。机会成本是进行项目决策考虑增量现金流量时的重要因素。只要是有选择的行为，就存在机会成本。

14到期收益率（yield to maturity）

答：到期收益率是指使债券的价格等于本金与利息现值之和的贴现率，多指折价发行或溢价发行到期债券的收益率。当债券折价发行时，到期收益率高于当前收益率；当债券溢价发行时，到期收益率就低于当前收益率。对于息票债券来说，到期收益率是使未来各年息票利息支付额的现值与最后偿还的债券面值的现值之和，等于债券当前价值（即债券价格）的利率。到期收益率是事前评价债券收益的重要指标。计算到期收益率要考虑的因素有：购买价格、赎回价值、离到期日的时间、息票收益率以及利息支付的间隔期。

15内部收益率（internal rate of return）

答：内部收益率是指使投资项目未来的净现金流入量（未来收益）的现值等于该项目的初始现金流出量的贴现率，亦称“内涵报酬率”。用内部收益率指标进行投资决策的基本原则是：如果投资项目的内部收益率高于企业所要求的最低收益率标准，则接受该项目；如果投资项目的内部收益率低于企业所要求的最低收益率标准，则放弃该项目；如果有多个互斥的投资项目并存，则选择内部收益率最大的项目。内部收益率代表了初始投资为投资者带来的真实报酬的大小，是投资者的实际收益水平。内部收益率指标考虑了资金的时间价值，且易于理解，在企业的投资决策中得到广泛运用。但这一指标存在计算复杂、在一些特殊情况下不能给出正确结论等问题。

16时间线（time line）

答：时间线是分析现金流时间问题的有效工具。时间线上的每一点表示各个时间点的现金流的终值，现金流前面的符号如果是负，则表示投入资金（资金流出）；如果现金流前面没有负号，则说明回收现金（资金流入）。

17年金（annuity）

答：年金是指在一定时期内每期相等金额的收付款项。储蓄计划、投资项目或贷款偿还安排中的未来现金流每年经常是相同的。将这种相同现金流或相同支付流称为年金（annuity）。

普通年金，又称后付年金，是指每期期末有等额的收付款项的年金。

先付年金是指一定时期内每期期初有等额收付的系列款项，亦称“预付年金”或“即付年金”。先付年金与普通年金的区别仅在于付款时间不同。

延期年金是指在最初若干期没有收付款项的情况下，后面若干期等额的系列收付款项。

永续年金是指无限期支付的年金。西方有些债券为无期限债券，这些债券的利息可视为永续年金。优先股因为有固定的股利而又无到期日，因而有时可以看作是永续年金。

18即期年金（immediate annuity）

答：如果现金流动立即开始，就像在储蓄计划或租赁中那样，则被称为即期年金。如果现金流开始于本期末而不是期初，则被称为普通年金。

19普通年金（ordinary annuity）

答：普通年金，又称后付年金，是指每期期末有等额的收付款项的年金。

普通年金终值的计算公式为：

其中，为1元的年金终值系数，记为：（F/A，i，n）。

普通年金现值的计算公式为：

其中，为1元的年金现值系数，记为：（P/A，i，n）。

20永续年金（perpetuity）

答：永续年金是指无限期支付的年金。西方有些债券为无期限债券，这些债券的利息可视为永续年金。

相同支付永续年金现值的公式为：PV＝C/i。其中，C为定期支付的金额；i为用小数表示的利率。这就是普通年金在期限n为无穷时的现值。

21增长型永续年金（growth perpetuity）

答：增长型永续年金是指在无限期内，时间间隔相同、不间断、金额不相等但每期增长率相等的一系列现金流。增长型永续年金的现值计算公式为：

其中，C₁为第一年的现金流，i为贴现率，g为增长率。

22分期偿还（amortization）

答：分期偿还是指在债务到期之前逐步偿还的做法。一般在借款人不能一次性还清债务的情况下，多采用分期偿还的方法履行偿债义务。许多贷款如房屋抵押贷款和汽车贷款，都可以以等额的分期付款方式偿还。每一次偿付中有一部分是支付未还贷款的利息，还有一部分是偿还本金。每一次偿付后，一部分本金将从未偿还的贷款中扣除。因此，以后每期支付利息占总付款额的比例将比前期支付利息所占比例低，而用于偿还本金的部分高于前期。

23分期偿还时间表（amortization schedule）

答：分期偿还时间表是分析分期偿还情况的一种工具，该表格一般包括各期的期初余额、总偿付额、支付的利息、支付的本金和剩余款项等项目。从该表中，可以清楚地看到债务人每期偿付本金和利息的具体情况。

24实际终值（real future value）

答：实际终值是相对于名义终值而言的，是指依据实际利率计算出来的终值，用以衡量某一资产在某一时点的实际价值水平。其中的实际利率是剔除通货膨胀因素以后的利率。

有两种等同的方法可以计算出实际终值：

（1）利用实际利率计算终值：实际终值＝现值×（1＋实际利率）^t

（2）利用名义利率计算名义终值，再扣除通货膨胀因素得到实际终值：实际终值＝名义终值/未来的物价水平

25名义终值（nominal future value）

答：名义终值指依据名义利率计算出来的终值，用以衡量某一资产在某一时点的名义价值。其中的名义利率是指以名义货币形式表示的利率，包含了通货膨胀的因素。用公式可以表示为：名义终值＝现值×（1＋名义利率）t。

26税前利率（before-tax interest rate）

答：税前利率是指缴纳收入所得税之前的利率，它一般等于同期银行的存款利率或相应期限的国债利率。考虑放贷者所获得的真实回报时，需要剔除税收的影响。

27税后利率（after-tax interest rate）

答：税后利率是指缴纳收入所得税之后的利率。在实际生活中，存款收益等通常要缴纳一定比例的所得税，也就是说投资者收益的一部分要上缴到税务部门，其实际收益水平要小于税前利率。用公式表示为： 税后利率＝税前利率×（1－税率）。

281美元的现值（present value of $1）

答：1美元现值的一般计算公式是：PV＝1/（1＋i）ⁿ，其中，i是以小数形式表示的利率，n是时期的数量。

29复利因子（compound amount factor）

答：复利因子被定义为：FV_PV（PV，i，n）＝PV（1＋i）ⁿ，其中，PV为现值规模，i为当期利率，n为复利时期的数量，复利因子可以用来计算一项现值数量的终值。

30现值因子（present value factor）

答：现值因子被定义为：PV_FV（FV，i，n）＝FV/（1＋i）ⁿ，其中，FV为终值规模，i为时期性利率（i），n为复利时期的数量，现值因子可以用来计算一项终值数量的现值。

31净现值（net present value）

答：净现值是所有未来现金流入的现值与现在和未来全部现金流出的现值之间的差额。如果项目的净现值为正，那么就接受该项目；如果项目的净现值为负，则拒绝该项目。

二、复习题

1如果你现在按照每年10%的利率投资1000美元，假设在20年间没有取款，20年后你将拥有多少？

解：20年后你将拥有的财富为：

（1）按单利计算为：FV＝PV×（1＋ni）＝1000×（1＋20×10%）＝3000（美元）；

（2）按复利计算为：FV＝PV×（1＋i）ⁿ＝1000×（1＋10%）²⁰＝6727.50（美元）。

2a．如果你在从1年后开始的20年内每年投资100美元，而且每年赚取10%的利息，在第20年年末你将拥有多少？

b．如果你希望在第20年年末拥有5万美元，你必须每年投资多少？

解：利用公式

则可得下表中的结果：

 

3按照每年10%的利率，下述现金流的现值是多少？

a．5年后获得的100美元。

b．60年后获得的100美元。

c．在1年后开始10年后结束的期间内，每年获得的100美元。

d．10年内每年获得的100美元。

e．在1年后开始并永远持续的期间内，每年获得的100美元（提示：你不需要使用金融计算器，仅依据所学知识）。

解：根据公式，FV＝PV×（1＋i）ⁿ，

可得下表中的结果：

4你希望成立一个“维斯汀”（wasting）基金，这项基金将在4年里每年向你提供1000美元，在第4年年末该基金将被清算。如果你可以赚取每年10%的利率，那么现在必须向该基金投入多少？

解：利用现值公式计算得：PV＝PV（10%，4，1000）＝3169.87（美元）。也可由下表得：

5你按照每年12%的利率（每月1%）获得一笔1000美元1年期分期偿还贷款，这笔贷款使用12次等额月供偿还。

a．月供是多少？

b．在贷款的12个月偿还期内所偿还的利息总额是多少？

解：利用公式PMT＝PMT（1%，12，1000），解得：

a．PMT＝88.85（美元），即每月的支付额为88.85美元；

b．12×88.85－1000＝66.20（美元），即总共支付了66.20美元的利息。

6你得到了一笔金额为10万美元，同时在25年内以300次月供的方式偿还的按揭贷款。

a．如果利率为每年16%，月供的金额是多少？

b．如果你每月仅可以支付1000美元，你可以获得的贷款规模有多大？

c．如果你每月可以支付1500美元，同时需要借入10万美元，还清这笔贷款需要花费多少个月？

d．如果你每月可以支付1500美元，并且需要借入10万美元，同时希望得到一笔为期25年的按揭贷款，你可以支付的最高利率是多少？

解：利用公式可得下表：

PMT＝PMT（i，n，PV）＝PMT（16%/12，300，100000）＝－1358.89（美元）；

PV＝PV（i，n，PMT）＝PV（16%/12，300，1000）＝73590（美元）；

NPER＝NPER（i，－PMT，PV）＝NPER（16%/12，－1500，100000）＝166（月）；

RATE＝RATE（n，－PMT，PV）＝RATE（300，－1500，100000）＝1.482%。

即每月支付额为1358.89美元；若每月支付1000美元只能借到73590美元；若每月支付1500美元，并且借到100000美元，需要还166个月；若每月支付1500美元，并且借到100000美元，还25年，则月利率为1.482%。

71626年，彼得·米努伊特以大约价值24美元的廉价首饰从美洲土著人那里购买了曼哈顿岛。如果该部落得到的是现金并以年复利6%进行投资。那些印第安人本该在380年后的2006年得到多少？

解：利用年金终值公式：FV＝FV（i，n，PV）＝FV（6%，380，24）＝99183639918（美元）。

即380年后将拥有99183639918美元。

8你赢得了100万美元的彩票，这张彩票在20年里每年向你支付50000美元。假定利率为每年8%，你的奖金实际上价值多少？

解：利用年金现值公式：PV＝PV（i，n，PMT）＝PV（8%，20，50000）＝490907（美元）。

即奖金实际上价值490907美元。

9你的祖母在去世时留给你2万美元。你可以将这笔钱进行投资从而赚取每年12%的利率。如果你从这笔遗产中每年花费3540美元，这笔钱可以持续多长时间？

解：利用公式得：NPER＝NPER（i，PMT，PV）＝NPER（12%，－3540，20000）＝10（年）。

即可以领取10年。

10你按照10.5%的APR从银行借入偿还期为30年的10万美元。每月的支付是多少？如果你必须支付两个百分点的预付，意味着你仅从银行得到98000美元，这笔按揭贷款的实际APR是多少？

解：（1）利用年金现值公式：PMT＝（10.5%/12，360，100000）＝－914.74（美元）。

即每月要付914.74美元。

（2）利用年金现值变化后的公式得，RATE＝RATE（360，－914.74，98000）＝0.89575%。

每月的利息率为i＝0.89575%，则APR＝12×0.89575%＝10.75%。

11假设问题10中描述的按揭贷款是一笔1年期利率可调的按揭贷款（adjustable rate mortgage，ARM），这意味着10.5%的利率只适用于第1年。如果利率在贷款期的第2年上升到12%，新的每月支付是多少？

解：根据10题计算结果，在年利率为10.5%的情况下，月支付额为914.74美元，则在1年后（12个月后）尚须支付：PV＝PV（i，n，PMT）＝PV（0.875%，348，914.74）＝99499.57（美元）。

1年后每个月的支付额PMT＝PMT（i，n，PV）＝PMT（12%/12，348，99499.57）＝1027.19（美元）。

即每月应支付1027.19美元。

12你刚从祖母那里收到作为礼物的500美元，同时正在考虑将这笔钱储蓄起来以备4年后毕业之需。你面临在银行A和银行B之间的选择，银行A为1年期储蓄支付7%的利率，银行B为1年期储蓄支付6%的利率。每家银行都按年对利息进行复利。

a．如果你将这笔钱存入银行A，1年后你的储蓄的终值是多少？将这笔钱存入银行B呢？哪一项是更好的决策？

b．大部分人做出的储蓄决策是什么？银行B的可能反应是什么？

解：a．存在A银行1年后的终值为500×（1＋0.07）＝535（美元），而存在B银行1年后的终值为500×（1＋0.06）＝530（美元）。可见存在A银行更好一些，因为可以多得5美元。

b．大多数投资者会选择存款在A银行，因为在1年后，可以多得5美元。B银行可能最终会提高利率以吸引客户。当然，如果A银行也可能在现行的利率体系下不能获利，可能会降低利率。

13雇主刚刚给咨询师休一笔2500美元的奖金，她正考虑用这笔钱开始为未来进行储蓄。她可以将这笔钱进行投资从而赚取每年10%的利率。

a．按照“72法则”，休将其财富增加到5000美元大约需要多长时间？

b．她将其财富增加到5000美元实际需要的精确时间是多少？

解：a．根据72法则：n＝72/10＝7.2（年）。

也就是说大约7.2年，她的2500美元的存款在10%的利率水平下会变为5000美元。

b．2500×1.10ⁿ＝5000，即1.10ⁿ＝2.0，解得：n＝0.693174/0.095310＝7.27（年）。

14拉里的银行账户拥有针对特定储蓄的“浮动”利率。每年利率进行调整。拉里3年前储蓄了2万美元，利率在当时为7%（按年复利）。利率在去年仅为6%，而且今年利率再次下跌至5%，本年末他的账户中有多少资金？

解：计算出现在银行账户上的金额：20000×1.07×1.06×1.05＝23818.20（美元），即拉里的账户上现在的金额为23818.20美元。

15你拥有不同银行储蓄账户之间的选择，一项是支付8%的利率同时按年复利，另一项是支付7.5%的利率同时按日复利。

a．基于有效年利率，你更愿意选择哪家银行？

b．假设按年复利的储蓄账户仅提供1年期的存单，而且如果你提前取钱将损失全部利息。在进行决策的时候，你怎样评价这条额外信息？

解：a．A银行的有效年利率＝8%；

D银行的有效年利率＝（1＋0.075/365）³⁶⁵－1＝0.07788＝7.788%；

根据有效年利率的比较，会选择A银行（8%大于7.788%）。

b．在A银行存款，必须确定自己在1年的时期内不会取款，否则为安全起见还是将钱存在D银行。这样的话，可能造成2.12美元的潜在利息损失：

FV（A银行）＝1000×1.08＝1080（美元）；

FV（D银行）＝1000×1.07788＝1077.88（美元）；

差额＝2.12（美元）。

16下面各种情况的有效年利率是多少？

a．年利率（APR）为12%，按月计复利？

b．年利率（APR）为10%，按年计复利？

c．年利率（APR）为6%，按日计复利？

解：有效年利率（EFF）＝（1＋APR/m）^m－1。

a．年利率（APR）为12%，按月计算复利：（1＋0.12/12）¹²－1＝0.1268＝12.68%；

b．年利率（APR）为10%，按年计算复利：（1＋0.10/1）－1＝0.10＝10%；

c．年利率（APR）为6%，按日计算复利：（1＋0.06/365）³⁶⁵－1＝0.0618＝6.18%。

17哈里承诺在他企业中的一项投资将在6年内翻番。利息被假定按季支付，而且进行再投资。该事实所表明的有效年收益率是多少？

解：根据年金现值公式推导得：

RATE＝RATE（n，PV，FV）＝RATE（72，－1，2）＝0.00967

则有效年利率为（1＋0.00967）¹²－1＝0.12242，即实际的年利率为12.242%。

18假设你知道为了为一辆汽车支付首付，2年后将需要2500美元。

a．银行1正在为2年期账户提供4%的利率（按年复利），同时银行2正在为2年期账户提供4.5%的利率（按年复利）。如果你知道2年后需要2500美元，为了实现目标，你将需要在银行1中投资多少？另外你将需要在银行2中投资多少？你更愿意选择哪一种银行账户？

b．现在假设你在3年内不需要这笔资金。此时，你需要在银行1中投资多少？在银行2中呢？

解：a．需要存在甲银行的款数为：

需存在乙银行的款数为：

会选择乙银行，因为可以少存一部分款，而获得相同的目标数量。

b．3年后需要2500美元的话，甲银行

需存在乙银行的款数为：

同理，你也会选择乙银行，因为你可以少存一部分钱，而获得相同的目标值。

19幸运的琳恩拥有1年后从她祖父那里得到1000美元，或者现在从她祖母那里得到900美元之间的选择。她相信可以按照12%的年收益率投资这笔900美元。

a．一旦得到来自她祖父的礼物，其终值是多少？来自她祖母的礼物呢？

b．她应当选择哪一种礼物？

c．如果你认为她仅能按照10%的利率投资来自她祖母的900美元，你的答案怎样变化？按照何种利率水平，她在两种选择之间是无差异的？

解：a．她从祖父那里得到的礼物的终值为1000美元，而从祖母那里得到的礼物的终值1008美元[＝900×（1＋0.12）]。

b．在前面假设的条件下，她会选择祖母给的礼物，因为1008美元要大于1000美元。她得到的价值要大一些。

c．如果投资收益仅为10%的话，她从祖母那里得到的终值为990美元[＝900×（1＋0.1）]美元，这样的话，她会改变主意的，因为她在祖母那得到的要小于从祖父那里得到的。在投资收益率为11.11%时，两种选择对她来说是一样的。因为900×（1＋i）＝1000，得i为11.11%。

20作为一位短期项目的管理者，你正试图决定是否投资一项1年后支付1000美元现金流的短期项目。该项目的总成本是950美元。你的另外一项替代选择是将这笔钱储蓄于1年期银行大额定期存单，该存单将支付4%的年复利。

a．假设1000美元的现金流是得到保证的（不存在得不到这笔钱的风险），那么用于决定该项目现金流现值的合理折现率是多少？

b．如果你按照每年4%的利率对现金流进行折现，那么该项目的现值是多少？这项投资的净现值是多少？你是否应当投资该项目？

c．如果银行将1年期大额存单的票面利率增至5.5%，你将做什么？

d．按照何种1年期大额存单的利率水平，你在两项选择中是无差异的？

解：a．因为可替换投资方案的收益率为4%，也就是说这个方案的机会成本为4%，所以说可以参考4%的收益率来成为理论的贴现率。

b．按4%来进行贴现，则现值为PV＝FV/（1＋i）＝1000/1.04＝961.54（美元），即该项目的现值为961.54美元。

该项目投资的净现值＝961.54－950＝11.54（美元），该项目投资的净现值为正的，应该投资这个项目。

c．如果银行将其1年期的存款利率升高到5.5%，则现值为：PV＝FV/（1＋i）＝1000/1.055＝947.87（美元）

即现值为947.87美元，进而净现值为947.87－950＝－2.13（美元），净现值为负数，不应投资这个项目。

d．当1年期的存单利率为5.26%时，两个投资方案是一样的，即PV＝FV/（1＋i）＝950，解得利率应为5.26%。

21计算下述现金流的净现值：你现在投资2000美元并在1年后收到200美元，在2年后得到800美元，并且在4年后开始的10年内每年得到1000美元。

解：将这一系列不同的现金流进行折现：

得到的现金流的净现值为4197.73美元。

22你的表亲向你征求建议，是应当以995美元的价格购买5年后一次性支付1200美元的债券，还是投资于一家本地银行的账户。

a．债券现金流的内部收益率是多少？为了做出决策你需要何种额外信息？

b．如果你了解到该银行在5年内支付每年3.5%（按年复利）的利率，你将给她什么建议？

c．如果银行在5年内每年支付5%的利率，你的建议将发生什么变化？如果债券价格是900美元，同时该银行每年支付5%的利率，你的建议将发生什么变化？

解：a．计算债券的内部收益率：995×（1＋i）⁵＝1200

解得：i＝3.82%。

在决策时应当参考债券的机会成本，一般是指相应时期银行的存款利率。

b．当五年期的利率为3.5%时，应当建议他购买债券，因为会获得更多的利润（3.82%大于3.5%）。

c．当银行的存款利率为5%时，应当建议他存款到银行，因为会获得更多的收益（5%大于3.82%），当债券的价格为900美元时，此时的内部收益率为5.92%：900×（1＋i）⁵＝1200

解得：i＝5.92%。

因此应当建议他购买债券。

23你和你的妹妹刚从你曾祖父那里继承了300美元和一张储蓄债券，他将它们放在一个保险箱里。因为你年长，你有权选择领取现金还是债券。该债券距到期期限只有4年，到期时它将支付给持有者500美元。

a．如果你现在拿走300美元现金，并且按照每年6%的利率进行投资，你的300美元增至500美元需要多长时间（以年为单位）？（提示：你希望求解n，即期间数量。）给定这些条件，你将选择现金还是债券？

b．如果你可以按照10%的年利率投资300美元，你的答案是否会变化？为了分析这项决策，可以使用的其他决策规则是什么？

解：a．需要花费大约8.77年的时间使300美元增加到500美元：300×1.06ⁿ＝500

解得：n＝0.510845/0.0582689＝8.77（年）。

根据上面的计算，你可以选择债券，因为债券在4年后会得到500美元，而300美元在8.77年后才得到500美元。

b．如果每年能获利10%时，根据上面的公式，需要经过5.36年，300美元才会成为500美元。

所以在收益率为10%时，仍会选择债券。

当收益率为15%时，要想从300美元到500美元，需要3.65年。

在15%的收益率的情形下会选择300美元，因为此时，得到500美元，比拥有债券得到500美元要快。

也可以比较在不同收益率的情形下债券的现值与300美元的现值来进行决策，如下：

PV＝FV/（1＋i）⁴

分别代入，得：

根据计算可以得到，在前两种收益率水平下，净现值为正，所以应当选择债券，而在15%的利率水平下净现值为负，应当选择300美元。

24假设你欠朋友伊丽莎白三笔未清偿的个人贷款。1000美元的偿付今天到期，500美元的偿付1年后到期，250美元的偿付2年后到期。你希望将这三笔贷款合并成36次等额月付的一笔贷款，这笔贷款从一个月后开始偿还。假设商定的利率（有效年利率）为每年8%。

a．你将支付的APR是多少？

b．新的月付额度是多少？

解：a．计算支付的年度百分率i：1.08＝（1＋i）¹²

解得：i＝0.006434或者0.6434%。即每月的支付率为0.6434%，年利率为12×0.6434%＝7.72%。

b．首先求出这三笔贷款的现值，然后再计算，在一定现值下的每月支付额。

PV＝1000＋500/1.08＋250/1.08²＝1677.30（美元）

然后再用求出的每月支付率和现值求解：

PMT＝PMT（0.6434%，36，1677.30）＝52.34（美元）

即每月的支付额为52.34美元。

25作为ToysRFun公司的首席执行官，你被给予在无初始费用的条件下参与一个项目的机会，该项目在第一期期末产生5000美元的现金流，在接下来的期末产生4000美元的现金流，同时在第三期也就是最后一期产生11000美元的亏损。

a．如果相关的折现率（该公司的资本成本）是10%，那么净现值是多少？

b．你是否接受这项出价？

c．内部收益率是多少？你能解释为什么要拒绝内部收益率大于资本成本的项目吗？

解：a．在10%的折现率下的该项目的净现值：NPV＝0＋5000/1.10＋4000/1.10²－11000/1.10³＝－413.22（美元）。

b．应该拒绝该项目，因为该项目的净现值为负数。

c．计算项目的内部收益率i：5000/（1＋i）＋4000/（1＋i）²－11000/（1＋i）³＝0，解得：i＝13.6%。

由于该项目的现金流开始时为正，最后一期为负，因而这个项目相当于一项贷款，在第一期期末借入资金5000美元，又在第二期期末借入资金4000美元，然后在第三期期末支付11000美元偿还所有的贷款，因此这里的内部收益率13.62%相当于贷款利率，而公司可以按照10%的成本借款，显然这个项目就不合算了。

26从现在起1年后，你必须向债权人支付6000美元，2年后向债权人支付5000美元，3年后向债权人支付4000美元，4年后向债权人支付2000美元，同时5年后向债权人支付最后的1000美元。你希望将这笔贷款重新构造成在每年期末到期的五次等额年度支付。如果商定的利率是按年复利的6%，那么年度支付是多少？

解：先计算出这些贷款的现值：

然后再计算出每月的支付利息率i：1.06＝（1＋i）¹²

解得：i＝0.004868。

则每年的支付率为0.004868×12＝0.05842；每月的支付额PMT＝（0.004868，60，－15800.28）＝304.30（美元），即每月要支付304.30美元。

27计算下述普通年金（支付从现在起1年后开始，同时所有利率按年复利）的终值：

a．按照9%的利率，10年内每年100美元。

b．按照15%的利率，8年内每年500美元。

c．按照7%的利率，20年内每年800美元。

d．按照0的利率，5年内每年1000美元。

e．现在得出a～d中年金的现值。

f．现值与终值的关系是什么？

解：运用公式得FV＝（i，n，PMT）得下表（单位为美元）：

a．

b．

c．

d．

e．运用公式PV＝（i，n，PMT）得下表：

f．现值与终值之间的关系为FV＝PV（1＋i）ⁿ。

28假设你在10年后需要5万美元。你计划3年后开始在一个按年复利同时收益率为11%的账户中进行7次每年一次的等额储蓄，每年一次的储蓄数量应当是多大？

解：利用年金终值公式：PMT＝PMT（i，n，FV）＝PMT（11%，7，50000）＝4604.29（美元），即每年应当存入4604.29美元。

29假设一项投资1年后开始，而且在5年内每年按照5%的利率提供100美元。

a．现值是多少？如果现在加入一次额外的支付，现值的计算过程将怎样变化？

b．这项普通年金的终值是多少？如果现在加入一次额外的支付，终值将怎样变化？

解：a．现值PV＝（i，n，PMT）＝（5%，5，100）＝432.95（美元）。

如果立刻增加得到一笔100美元，则现值为432.95＋100＝532.95（美元）。

b．运用终值计算公式FV＝（i，n，PMT）＝552.56（美元）。

如果立刻增加一笔100美元的收入则5年后终值为100×（1.05）⁵＝127.63（美元），总终值＝552.56＋127.63＝680.19（美元）。即若立刻增加一笔100美元的收入，则终值变为680.19美元。

30你正试图决定是在3年内按照针对2万美元总购买价格的4%APR购买一辆汽车，还是接受一项1500美元现金返还购买该汽车，同时按照9.5%的银行利率对购买价格的剩余部分进行融资。两项贷款在3年内都实行月付，你选择哪一项？

解：运用现值公式：PMT＝（i，n，PV）

PMT＝（4%/12，36，20000）＝590.48（美元）；

PMT＝（9.5%/12，36，18500）＝592.61（美元）。

所以选择第一种方案（590.48美元小于592.61美元），按4%的APR分三年付款。

31你正留意购买一辆运动型汽车，该汽车花费23000美元。第一位销售商为新车销售提供了一笔月付条件下的3年期贷款，特定的优惠融资利率为2.9%APR。第二位销售商提供现金折扣。当然，任何获得现金折扣的客户都将没有资格享受特殊的贷款利率，而且不得不按照9%的年利率向本地银行借入购买价格的余额。为了将消费者从提供特定2.9%优惠融资利率的销售商那里吸引过来，针对这辆花费23000美元的汽车，现金折扣必须是多大？

解：根据年金现值公式：

PMT＝（i，n，PV）

PMT＝（2.9%/12，36，23000）＝667.85（美元）；

PV＝（9%/12，36，667.85）＝21001.75（美元）。

则在下表中若按2.9%的APR特别融资，按月偿付额（单位：美元）：

当在银行利率为9%时，月偿付额为667.85美元时的现值。

所以现金折扣应为23000－21001.75＝1998.25（美元），当现金折扣为不小于1998.25美元时，顾客才会乐意放弃特别贷款，而享受现金折扣。

32证明按照10%的利率现在投资475.48美元，可以使你在接下来的4年里每年末取出150美元，同时最后没有任何余额。

证明：（1）根据年金现值公式：PV＝（i，n，PMT）＝（10%，4，－150）＝475.48（美元），即475.48美元的投资在每年获利10%，每年提取150美元的时候第四年刚好取完。

（2）也可证明如下：

33作为一位退休金管理者，你正考虑投资于从1年后开始永远每年支付500万美元的优先股。如果你的替代选择是每年产生10%收益率的投资，那么优先股投资的现值是多少？你愿意为优先股投资支付的最高价格是多少？优先股投资的红利收益率是多少？

解：（1）投资的现值PV＝5000000/0.10＝50000000（美元）。

（2）愿意接受的最高价为50000000美元。

（3）则股利收益率＝5000000/50000000＝10%，即股票收益率为10%。

34一种新的彩票游戏为大奖获得者提供了一项选择权利。要么你可以立即获得100万美元的巨额资金，要么你可以每年得到一项10万美元的支付直至永远，同时现在是第一次支付的年金（如果你去世，你的遗产将继续得到支付）。如果相关的利率是按年复利的9.5%，两项奖金之间在价值上的差异是多少？

解：根据年金现值公式得：

（1）永续年金的现值＝100000/0.095＝1052631.58（美元）；

如果从现在开始支付的话，现值变为100000＋1052632＝1152632（美元）。

（2）所以，1152632－1000000＝152632（美元），即永续年金的现值比现款的价值大152632美元。

35在下述复利期间内找出1000美元一次性投资的终值（提示：算出有效年利率，或者随着复利期间缩短而变动的期间数量和利率）：

a．10年间按年复利的7%利率；

b．10年间按半年复利的7%利率；

c．10年间按月复利的7%利率；

d．10年间按日复利的7%利率；

e．10年间连续复利的7%利率。

解：根据复利计算公式：

a．1000×1.07¹⁰＝1967.15（美元）；

b．1000×1.035²⁰＝1989.79（美元）；

c．1000×1.0058¹²⁰＝2009.66（美元）；

d．1000×1.0019178³⁶⁵⁰＝2013.62（美元）；

e．1000×e^0.07×10＝2013.75（美元）。

36萨米·乔一年前使用万事达卡为价值1000美元的商品付费，该卡拥有按月复利同时APR为18%的确定利率。她已经在每月末进行了12次定期月付，每次50美元，然而在去年被禁止使用该卡，她仍然欠多少钱？

解：可以根据公式FV＝FV（18%/12，12，－50，1000）＝543.36（美元）。

37假设你正在考虑借入12万美元来为你梦想的别墅融资。APR为9%，同时还款按月进行。

a．如果这笔按揭贷款拥有30年期的分期偿还时间表，月供是多少？

b．你将支付的有效年利率是多少？

c．如果这笔贷款是在15年内而不是30年内分期偿还，你的a部分答案和b部分答案会怎样变化？

解：a．由公式PMT＝PMT（9%/12，360，120000）＝965.55（美元），即每月要付965.55美元。

b．根据实际利率公式：实际利率＝（1＋0.09/12）¹²－1＝0.0938＝9.38%，即实际利率为9.38%。

c．将变化后的数据代入得：

即现在每月要付1217.12美元，而真实利率则没有发生变化。

38假设在去年你获得了问题37a描述的贷款。利率现在倾向于是每年8%。假设此处不存在再融资费用。

a．12次还款以后，你现有的按揭贷款的余额是多少？（提示：找出终值）

b．如果你在29年内按照更低的利率对按揭贷款进行重新融资，你的支付将会是多少？

解：利用年金终值公式：

a．FV＝（9%/12，12，－965.55，120000）＝119180.13（美元）。

b．在8%的年利率下为PMT＝PMT（8%/12，348，119180.13）＝881.87（美元）。

此时，每月的支付额为881.87美元。

39英镑与美元之间的汇率现在是1英镑兑1.50美元，美元的利率是每年7%，而英镑的利率是每年9%。你在1年期账户中拥有10万美元，这个1年期账户允许你在两种货币中做出选择，而且按照相应的利率支付。

a．如果你预期1年后美元兑英镑的汇率为1英镑兑1.40美元，而且对风险而言是无差异的，那么你应当选择哪种货币？

b．1年后美元兑英镑汇率的盈亏相抵值是多少？

解：a．如果投资1美元进行美元投资，则一年后为1.07美元[＝1×（1＋0.07）]。也可以将美元兑换成英镑进行投资，而此时1美元为1/1.5英镑，则一年后为（1/1.5）×（1＋0.09）英镑。然后再将其兑换成美元为（1/1.5）×（1＋0.09）×1.40＝1.017（美元）。因为1.017小于1.07，所以还是应选择美元进行投资。

b．盈亏平衡的汇率水平为：1.07/（1/1.5）×（1＋0.09）＝1.4725（美元），即若1.4725美元可以兑换一英镑，则刚好平衡。

40传统的10年期国债的利率是每年7%，同时10年期财政部通货膨胀保值债券（treasury inflation protected securities）的利率是每年3.5%。你拥有1万美元，可以投资于两者之一。

a．如果你预期平均通货膨胀率为每年4%，哪一种债券提供更高的预期收益率？

b．你更愿意投资于哪一种债券？

解：a．根据公式，当预期通货膨胀率为4%时，真实的收益率为（7%－4%）/1.04＝2.885%，而不受通货膨胀影响的国债的收益率为3.5%，显然不受通货膨胀影响的国债回报率更高。不受通货膨胀影响的国债给投资者更高的名义收益率0.035＋0.04＋0.035×0.04＝0.0764 ，即7.64%，高于7%。

b．根据上面的分析会投资于不受通货膨胀影响的国债。

41你距离退休还有20年时间，同时可望在退休后再生存20年。如果你现在开始储蓄，针对每年储蓄的每一单位美元，你每年可以取出多少？假设有效年利率为：

a．0、1%、2%、3%、3.5%、4%、6%、8%、10%？

b．如果你预期通货膨胀率为每年4%，答案将怎样变化？

解：a．首先利用年金终值公式，得下表，FV＝（i，n，PMT）：

然后，利用年金现值公式，PV（i，n，PMT），结合在不同利率情况下产生的20年时F₀的FV，可以得退休后每年可以提取的存款金额：

b．在预期通货膨胀率每年为4%的情形下，不会改变策略，因为不管存取都是名义数量，通货膨胀率不会影响名义量，但是，真实价值已经发生了变化。