第二节　点 的 投 影

一切几何形体都是由是点、线、面构成的，而点是最基本的几何元素，所以首先研究点的投影规律。

一、点的三面投影及投影规律

点的一个投影无法唯一确定点的空间位置。为了确定空间点的位置，必须增加投影面，下面研究点在三面投影体系中的投影规律。

如图2-4（a）所示，将空间点A置于三面投影体系中，然后由点A分别向H、V、W面作垂线，垂足（即交点）a、a' 、a″即为A点的三面投影。其中H 面投影a称为水平投影，V面投影a'称为正面投影，W 面投影a″称为侧面投影。规定用大写字母表示空间点，用同名小写字母表示投影，其中V面投影小写字母加一撇、W面投影小写字母加两撇。

将空间点移去，三投影面展开，再去掉投影面边界，得A点的三面投影图，如图2-4（b）、（c）所示。

由图2-4（a）可以证明，由投射线Aa、Aa'构成的平面Aaa_Xa'必垂直于OX轴，H面展开与V面共面后，a、a_X、a'三点必共线，且aa'⊥OX轴。同理，a'a″⊥OZ轴。由图2-4（a）中长方体框架还可以看出

Aa'=aa_X=a″a_Z=Oa_Y

Aa″=a'a_Z=aa_Y=Oa_X

Aa=a'a_X=a″a_Y=Oa_Z

综合以上分析，得点的三面投影规律为：

①点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴，即“长对正”；

②点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即“高平齐”；

③点的水平投影到OX轴的距离与侧面投影到OZ轴的距离相等，即“宽相等”。

二、点的投影与直角坐标的关系

如果把三面投影体系看作直角坐标系，投影轴为坐标轴，那么点A的位置可用直角坐标（x_A、y_A、z_A）来表示。由图2-4可以看出，A点的坐标分别是A点到W、V、H面的距离，点的每一个投影都由两个坐标值确定。V面投影a'由（x_A、z_A）确定，H面投影a由（x_A、y_A）确定，W面投影a″由（y_A、z_A）确定。它们之间的度量关系是：

x_A=Aa″=a'a_Z=aa_Y=Oa_X

y_A=Aa'=aa_X=a″a_Z=Oa_Y

z_A=Aa=a'a_X=a″a_Y=Oa_Z

【例 2-1】　已知A（10、15、20），求点A的三面投影。

【解】　 作图如下。

①画出投影轴OX、OY_H、OY_W、OZ，量取Oa_X=10，如图2-5（a）所示。

②过a_X 作投影轴的垂线，在该线上自a_X沿OY_H轴向下量取15mm，得水平投影a，再自a_X沿OZ轴向上量取20mm，得正面投影a'，如图2-5（b）所示。

③过原点作∠Y_HOY_W 的平分线（45°线）。由a点作OY_H 的垂线并延长，与45°线相交，再由该交点作OY_W轴的垂线并延长，同时由V面投影a'作OZ轴的垂线并延长，两垂线之交点即是侧面投影a″，如图2-5（c）所示。

【例 2-2】　已知点M的两面投影m和m'，求点的另一投影m″［如图2-6（a）］。

【解】　作图如下。

①过m'点向OZ轴作垂线并延长。

②过原点作一条45°的斜线，如图2-6（b）所示。

③过m点向OY_H轴作垂线并延长与45°线相交，由交点向OY_W轴作垂线，与过m'点的垂线相交，交点即为m″点。

还可以不用45°线，用作圆弧的方法求出m″点，如图2-7所示。

三、投影面和投影轴上的点

1.在投影面上的点

当空间点的三个坐标中有一个为零，则该点位于某投影面上。如图2-8（a）中，点A的Y坐标为零，位于正投影面上；点B的Z坐标为零，位于水平投影面上。

投影面上的点的投影特性：该点所在投影面上的投影与该点重合，在另外两投影面上的投影分别落在相应的投影轴上。投影图如图2-8（b）所示。

2.在投影轴上的点

当空间点的两个坐标为零，则该点位于某投影轴上。如图2-8（a）中，C点的Y和Z坐标均为零，位于OX轴上。投影轴上的点的投影特性：该点的两个投影位于投影轴上与点自身重合，另一投影与原点O重合。投影图如图2-8（b）所示。

当空间点的三个坐标均为零，则该点与原点O重合，其三个投影都与原点O重合。

四、两点的相对位置

两点的相对位置是指空间两点之间上下、前后、左右的关系。在三面投影体系中，根据两点的坐标值，即可判断其相对位置。设空间两点A（x_A、y_A、z_A）和B （x_B、y_B、z_B），若x_A>x_B、y_A<y_B、z_A>z_B，则判断A点在B点的左方、后方和上方，其投影及空间关系如图2-9所示。

由图2-9可见，已知两点的三面投影或两面投影也可判断其空间相对位置，正面投影反映上下、左右关系，水平投影反映左右、前后关系，侧面投影反映上下、前后关系。

五、重影点及其可见性

当空间两点处于同一投射线上（有两个坐标相等）时，它们在与该投射线垂直的投影面上的投影重合，该投影称为两点的重影点。

如图2-10（a）所示，点A与B同时位于垂直于V面的投射线上，它们的V面投影b'（a'） 是重影点；点C与D同时位于垂直于H面的投射线上，它们的H面投影c（d）是重影点；点E与F同时位于垂直于W面的投射线上，它们的W面投影e″（f″）是重影点。

空间两点成为重影点后，必有一点的投影被“遮盖”，便产生了重影点的可见性问题。由投射线的方向可明显判断，在成为重影点的两点中，距投影面较远的点的投影是可见的，后者是不可见的。因此，对V面、H面和W面的重影点，可见性的判断规律是：前遮后、上遮下和左遮右。如图2-10（a）中，A、B两点为V面重影点， B点在A点之前，B点投影可见、A点投影不可见，表示为b'（a'），即不可见投影加括号表示。同理，C与D两点，为H面重影点，投影c可见，（d）为不可见；点E与F两点，为W面重影点，投影e″可见，（f″）为不可见，其投影图如图2-10（b）所示。