第三节 直线的投影
一般情况下，直线的投影仍为直线。直线的投影由属于该直线的两点的投影连接来确定。一般用直线段两端点的投影连线表示直线的投影。
一、直线的分类及投影特性
直线在三面投影体系中，按其相对投影面的位置可分为三大类。
①一般位置直线：与三个投影面都倾斜的直线。
②投影面平行线：平行于一个投影面，且倾斜于另外两个投影面的直线。
③投影面垂直线：垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线。
后两种直线又称为特殊位置直线。“技术制图标准”规定，空间直线对H面、V面和W面的倾角分别用α、β和γ表示。
下面分别叙述各类直线的投影特性。
1.投影面垂直线
根据所垂直的投影面不同，投影面垂直线又分为三种：铅垂线——与H面垂直；正垂线——与V面垂直；侧垂线——与W面垂直。
图2-11为正垂线AB的立体图和投影图。
图2-11 正垂线的投影
由于AB垂直于V面，所以其在V面上的投影积聚成一点。由于AB平行于H面和W面，所以H面投影ab和W面投影a″b″都反映直线段实长，且分别垂直于投影轴OX和OZ，即ab= a″b″=AB ， ab⊥OX、a″b″⊥OZ。
同理，铅垂线和侧垂线也有类似的特性，投影图及特性见表2-3。
表2-3 投影面垂直线的投影特性
归纳起来，投影面垂直线的投影特性为：
①在直线所垂直的投影面上的投影积聚为一点；
②在另外两个投影面上的投影垂直于相应的投影轴，且投影反映实长。
2.投影面平行线
根据所平行的投影面不同，投影面平行线又分为三种：水平线——与H面平行；正平线——与V面平行；侧平线——与W面平行。
图2-12为正平线AB的立体图和投影图。
图2-12 正平线的投影
由于AB平行于V面，所以其在V面上的投影反映实长，即a'b'=AB，并且投影a'b' 与OX轴的夹角等于AB与H面的倾角α；a'b'与OZ轴的夹角等于AB对W面的倾角γ。AB的另外两个投影ab和 a″b″分别平行于OX和OZ轴，且较AB缩短。
同理，水平和侧面投影也有类似的投影特性，投影图及特性见表2-4。
表2-4 投影面平行线的投影特性
归纳起来，投影面平行线的投影特性为：
①在直线所平行的投影面上的投影反映实长，且投影与两坐标轴的夹角反映空间直线与另外两投影面的倾角；
②在其他两投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且长度缩短。
3.一般位置直线
图2-13表示一般位置直线AB的三个投影。一般位置直线的投影特性为：
①直线的三面投影都不反映实长，且长度缩短；
②直线的三面投影均倾斜于投影轴，投影与坐标轴的夹角也不反映空间直线对投影面的倾角。
图2-13 一般位置直线的投影特性
二、点与直线的相对位置
点与直线的相对位置关系有两种，点在直线上和点不在直线上。
1.点在直线上
（1）从属性
点在直线上，点的各面投影必定在该直线的同面投影上；反之，若点的各面投影均在直线的同面投影上，则点必在此直线上。
如图2-14所示，点C在直线AB上，则C点的水平投影c在直线AB的水平投影ab上，正面投影c'在a'b'上，侧面投影c″在a″b″上。
（2）定比性
直线上的点分割直线段之比在投影后保持不变。
如图2-14所示，点C将线段AB分为AC、CB两段，由定比性得
ac∶cb=a'c'∶c'b'=a″c″∶c″b″=AC∶CB。
图2-14 直线上点的投影
2.点不在直线上
若点不在直线上，点的投影则不具备上述性质。
【例2-3】 在图2-15（a）所示投影图中，判断点M是否是线段AB上的点。
【解】 方法一：作出点M及线段AB的第三面投影，如图2-15（b）所示。因m″点不在a″b″上，根据从属性判断，点M不在线段AB上。
方法二：用定比原理来判断。由图2-15（a）明显看出，a'm'∶m'b'≠am∶mb，不符合上述定比性，所以判断，点M不在线段AB上。
图2-15 判断点是否在直线上
【例2-4】 如图2-16（a）所示，已知AB的两面投影，试求AB上一点C，使AC∶CB=3∶2。
【解】 如图2-16（b）所示：
①在H投影面上，过a任作一辅助直线，并在其上截取5个单位长度。
②先连接5、b，再过3分点作5b的平行线交ab于c点。
③过c点作直线垂直于OX轴，与a'b'相交，交点即为c'。
图2-16 直线AB上求一点C
三、两直线的相对位置及投影特性
空间两直线的相对位置有三种情况，即平行、相交和交叉。其中平行、相交的两直线称为共面直线，交叉的两直线称为异面直线。
1.平行两直线
空间两直线平行，其同面投影必定相互平行。如图2-17所示，空间直线AB∥CD，其三面投影的关系是：ab∥cd，a'b'∥c'd'，a″b″∥c″d″。反之，若两直线的同面投影均相互平行，则可判断空间两直线相互平行。
图2-17 平行两直线的投影特性
2.相交两直线
若空间两直线相交，则它们的各同面投影都相交，且交点符合一个点的投影规律。反之，若两直线的各同面投影均相交，且各交点符合一个点的投影规律，则判断该两直线在空间相交。如图2-18所示，两直线AB和CD相交，水平投影ab与cd相交于k，正面投影a'b'与c'd'相交于k'，且kk'⊥OX，两交点符合一个点的投影规律。其投影图见图2-18。
图2-18 相交两直线的投影特性
3.交叉两直线
交叉两直线在空间既不平行也不相交，其投影既不符合平行两直线的投影规律，也不符合相交两直线的投影规律。即同面投影可能平行，但不会都平行；同面投影可能都相交，但交点不符合一点的投影规律，交点应是两直线对某投影面重影点的投影。
两直线上重影点的可见性，可根据重影点在该投射方向上坐标值大小来判断，坐标值大者为可见点，小者为不可见点。
如图2-19所示，正面投影的交点k'（l'），是直线AB上点K和CD上点L在V面上的重影点；水平面投影的交点m（n），是直线AB上点M和CD上点N在H面上的重影点。
图2-19 交叉两直线的投影特性
【例2-5】 如图2-20（a）所示，判断两直线AB、CD是否平行。
【解】 由AB、CD的两面投影可知，AB、CD都是侧平线，要判断其是否平行有两种方法。
方法一：补画出两直线的侧面投影，如图2-20（b）所示。由于a″b″ 与c″d″ 不平行，所以判断AB与CD不平行。
方法二：只根据H、V两投影来判断。如果两直线同向，且满足定比性，两直线就平行。如图2-20（a）所示，AB与CD虽然同向，但显然ab∶cd≠a'b'∶c'd'，因此也可以判断AB与CD不平行。
图2-20 判断两直线是否平行
【例2-6】 如图2-21（a）所示，判断两直线AB、CD是否相交。
【解】 方法一：补画出两直线的侧面投影，如图2-21（b）所示。因交点k与k' 的连线与OZ轴不垂直，所以判断两直线不相交。
方法二：根据点分割线段的定比性来判断，请读者自行分析。
图2-21 判断两直线是否相交