第四节　平面的投影

一、平面的表示法

平面的投影可以用下列几何元素的投影来表示：不在同一直线上的三点；一直线和直线外的一点；相交两直线；平行两直线；任意平面图形，如图2-22所示。

上述几种情况是可以互相转换的，其中以平面图形表示法最为常见。

二、平面的分类及投影特性

根据平面相对于投影面的位置不同，可将平面分为三大类。

①一般位置平面：与三个投影面都倾斜的平面。

②投影面垂直面：仅垂直于一个投影面，而与其余两个投影面都处于倾斜位置的平面。

③投影面平行面：平行于一个投影面，垂直于其余两个投影面的平面。

后两种平面又称为特殊位置平面。平面对V、H、W面的倾角分别用α、β、γ表示。

下面分别叙述各类平面的投影特性。

1.投影面平行面

与直线相似，投影面平行面也分为三种：正平面——与V面平行；水平面——与H面平行；侧平面——与W面平行。

如图2-23所示，以△ABC表示的水平面为例分析其投影特性。由于△ABC平行于H面，所以在H面上的投影反映实形，即△abc≌△ABC。

又因△ABC同时和V面、W面垂直，所以V面投影和W面投影都具有积聚性，投影为直线，且正面投影a'b'c'∥OX轴，侧面投影a″b″c″∥OY_W轴。

同理，正平面和侧平面也有类似的性质，投影图及特性见表2-5。

归纳起来，投影面平行面的投影特性为：

①平面在所平行的投影面上的投影反映平面的实形；

②平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。

2.投影面垂直面

投影面垂直面按其垂直的投影面不同，也分为三种：正垂面——垂直于V面，与H、W面倾斜；铅垂面——垂直于H面，与V、W面倾斜；侧垂面——垂直于W面，与H、V面倾斜。

如图2-24所示，以△ABC表示的铅垂面为例分析其投影特性。由于△ABC垂直于H面，倾斜于V、W面，因此其水平投影abc必积聚成一条直线。该直线与OX轴的夹角反映ABC平面与V面的夹角β，与OY_H轴的夹角反映ABC平面对W面的倾角γ。ABC平面的V面投影a'b'c'和W面投影a″b″c″均为面积缩小了的三角形，为空间平面的类似形。

同理，正垂面和侧垂面也有类似的性质，投影图及特性见表2-6。

归纳起来，投影面垂直面的投影特性为：

①平面在所垂直的投影面上的投影具有积聚性，投影为直线，该直线与投影轴的夹角分别反映空间平面与另外两投影面的倾角；

②平面在与之倾斜的两投影面上的投影为平面的类似形，且面积缩小。

3.一般位置平面

如图2-25所示，平面△ABC对V、H、W面都倾斜，为一般位置平面，由图可见它的三个投影都是三角形，为原平面图形的类似形，面积均比△ABC的小。

由此得出一般位置平面的投影特性为：平面在各投影面上的投影既不具有实形性也不具有积聚性，均为面积缩小的原平面图形的类似形。

三、平面内直线和点的投影

点和直线从属于平面的几何条件如下。

①若点从属于平面内的任一直线，则点属于该平面。如图2-26所示，D点属于直线AB，所以点D属于平面ABC。

②若直线通过属于平面的任意两点，或通过平面内的一个点，且平行于该平面内的任一直线，则直线属于该平面。如图2-27（a）所示，点E、F分别在直线AB、AC上（E、F属于平面ABC），直线MN通过点E、F，所以直线MN属于平面ABC。

如图2-27（b）所示，直线KL通过平面内的点E，且平行于平面内的直线AB，所以直线KL属于平面ABC。

【例2-7】　如图2-28（a）所示，已知平面ABC及点K的两面投影，试判断点K是否属于平面ABC。

【解】　如图2-28（b）所示，过正面投影点k'作直线b'm'交直线a'b'于m'点，由m'点在直线ab上求出点m，连接bm，因K点投影k不在直线bm上，所以判断K点不在直线BM上，即K点不属于平面ABC。

【例2-8】　如图2-29（a）所示，已知四边形ABCD的V面投影及AB、BC的H面投影，试完成四边形的H面投影。

【解】　方法一：如图2-29（b）所示，连接a'c'、b'd'，得交点e'（E点在直线AC、BD上），连接ac，由e'点在直线ac上得点e，连接be并延长，然后由D点的正面投影d'作投影连线与be延长线相交即得d点，连接ad、cd即得四边形ABCD的H面投影。

方法二：如图2-29（c）所示，过d'作b'c'的平行线，与a'b'相交于m'点，由m'在ab上得M点的水平投影m，再过m点作bc的平行线，在此线上由d'得D点的水平投影d，连接ad、cd即得四边形ABCD的H面投影。