以二阶微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。从物理意义上讲，二阶系统起码包含两个储能元件，能量有可能在两个元件之间交换，引起系统具有往复振荡的趋势，当阻尼不够充分大时，系统呈现出振荡的特性。所以，典型的二阶系统也称为二阶振荡环节。

在控制工程中，不仅二阶系统的典型应用极为普遍，而且不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶系统的特性来表征。因此，着重研究二阶系统的分析和计算方法具有较大的实际意义。

典型二阶系统的动态结构如图3-10所示，其开环传递函数为

　　（3-14）

式中，ζ为阻尼比；ω_n为无阻尼自然振荡频率。

在实际工程中，对于不同的物理系统，系统参数ζ、ω_n所代表的物理意义是不同的。但只要将实际系统的传递函数变换成与式（3-14）相同的标准形式，则很容易获得参数ζ、ω_n的具体数值。因此，只要分析出二阶系统标准形式的动态性能指标与其参数ζ、ω_n间的关系，便可据此求得任何二阶系统的动态性能指标。

令式（3-14）的分母多项式为零，得二阶系统的特征方程为

　　（3-15）

其两个根（闭环极点）为

　　（3-16）

下面将根据式（3-15），研究二阶系统的单位阶跃响应情况：

① 当0<ζ<1时，称为欠阻尼状态。此时，特征根为一对具有负实部的共轭复数根，即s_1，2=-ζω_n±jω_n。令ω_d=ω_n，称ω_d为二阶系统的阻尼振荡频率。则s_1，2=-ζω_n±jω_d为一对复数根。

当输入信号为单位阶跃函数r（t）=1（t）时，其拉普拉斯变换R（s）=，则

　　（3-17）

对上式取拉普拉斯反变换，求得单位阶跃响应为

　　（3-18）

式中，β=tan^-1（/ζ），或β=cos^-1ζ，称为阻尼角。由式（3-18）可知，当0<ζ<1时，二阶系统的单位阶跃响应是以ω_d为角频率的衰减振荡，其特征根分布和响应曲线如图3-11所示；且阶跃响应随着ζ的减小，其振荡幅度加大，即超调量加大。

② 当ζ=1，称为临界阻尼状态。此时，系统特征根为两个相等的负实根，即s_1，2=-ω_n，在单位阶跃输入下系统输出的拉普拉斯变换为

则系统的响应为

　　（3-19）

由式（3-19）可知，响应曲线无振荡和超调，其特征根分布和响应曲线如图3-12所示。

③ 当ζ>1，称为过阻尼状态。此时，系统特征根为两个不相等的负实根，即s_1，2=-ζω_n±ω_n，在单位阶跃输入下系统输出的拉普拉斯变换为

式中，k₁，k₂，k₃为待定系数。求得系统的响应为

　　（3-20）

由于s₁，s₂为两个不相等的负实数根，则系统的响应随时间t单调上升，无振荡和超调，且阻尼比越大，过渡过程时间越长。在所有无超调的二阶系统中，临界阻尼时，响应速度最快。过阻尼情况的特征根分布和响应曲线如图3-13所示。由于响应中含有负指数项，因而随着时间的推移，对应的分量逐渐趋于零，输出响应最终趋于稳态值。

④ 当ζ=0，称为无阻尼状态。此时，系统特征根为一对纯虚根，即s_1，2=±jω_n。在单位阶跃输入下系统输出的拉普拉斯变换为

对上式进行拉普拉斯反变换可得控制系统的时域响应为

　　（3-21）

由式（3-21）可知，系统的单位阶跃响应为等幅振荡波形。系统的等幅振荡是不能正常工作状态，属不稳定状态。

⑤ 当ζ<0时，称为负阻尼状态。此时系统的两个特征根均具有正实部，阶跃响应发散，也就是说阶跃响应的幅值随时间增加趋于无穷大。这样的系统不稳定，不能正常工作。