第4章　低周疲劳强度设计方法

4.1　材料低周疲劳性能

低周疲劳指的是在较高的循环应力水平作用下，寿命在10²～10⁵次循环范围内的疲劳失效现象。低周疲劳过程中，应力水平较高，其峰值应力常高于材料的弹性极限，有明显的宏观塑性变形，故低周疲劳又称为应变疲劳。

低周疲劳中的S-N曲线，常以ε-N曲线形式给出。在ε-N曲线中，N可以是应力或应变循环数，也可以是应力或应变“变程”数，在恒幅载荷中，变程数为循环数的两倍，所以有些资料中的寿命坐标用“2N”作为计量单位。

图28-4-1～图28-4-17是机械和航空行业中几种常用材料的应变-寿命曲线。

4.2　循环应力-应变曲线

4.2.1　滞回线

试样经过一次拉伸试验得到的应力-应变曲线为图28-4-18（a）所示的曲线OA。若用相同的试样作压缩试验，则应力-应变曲线为OB。曲线BOA表示材料一次加载的应力-应变关系，称为单调应力-应变（σ-ε）曲线。一般仅考虑OA段曲线。

将试样先拉伸，应力-应变曲线由O点到A点；然后进行压缩，应力-应变曲线由A点到B点；再进行拉伸，应力-应变曲线由B点回到A点，完成一个循环，如图28-4-18（b）所示。这种应力-应变循环曲线称为滞回线。滞回线不仅表示了应力、应变的循环变化，还反映了每个循环中塑性应变的大小。

材料在低周疲劳过程中，其应力应变行为可用滞回线表征，如图28-4-19所示。每一应力产生的总应变为

Δε=Δε_e+Δε_p

式中　Δε_e——弹性应变幅；

Δε_p ——塑性应变幅。

从材料应力-应变行为看，高、低周疲劳的区别主要决定于Δε_e和Δε_p的相对比例。在低周疲劳时Δε_p起主导作用；而在高周疲劳范围内，Δε_e起主导作用。

4.2.2　循环硬化与循环软化

金属材料在低周疲劳初期，由于循环应力的作用，会出现循环硬化和软化现象。当控制应变恒定进行低周疲劳试验时，会发现其应力随循环次数而变化的现象。一种是应力随循环次数的增加而增加，然后达到稳定状态；另一种是应力随着循环次数的增加而减小，然后达到稳定状态。这种现象称为循环硬化和循环软化。控制应力恒定进行疲劳试验时，应变也会发生类似的变化。

对于循环硬化材料，其应变抗力随着循环数的增加而增大。因此，在恒应变幅度下，材料在每一循环中所需施加的应力将随循环数的增加而逐渐增大；或在恒应力幅度下，材料在每一循环中产生的应变量随循环数的增加而变小。

对于循环软化的材料，其应变抗力随着循环数的增加而变小。因此，在恒应变幅度下，材料在每一循环中所需的应力将随循环数的增加而逐渐变小；或在恒应力幅度下，材料在每一循环中的应变量随循环数的增加而变大。

材料在循环应力作用下将发生循环硬化还是循环软化，基本上由材料的屈强比R_eL/R_m而定。屈强比小于0.7时，材料多产生循环硬化；屈强比大于0.8时，材料多产生循环软化。所以，一般的退火材料产生循环硬化，冷加工的材料产生循环软化。

4.2.3　循环应力-应变曲线

无论是循环硬化材料或循环软化材料，虽然在试验开始阶段所得的应力-应变滞回线并不闭合，但经过一定次数的循环后，滞回线接近于封闭环，即可得到稳定的滞回线。把应变幅控制在不同的水平上，可以得到一系列大小不同的稳定的滞回线，将这些滞回线的顶点连接起来，便得到如图28-4-20所示的曲线OC，这曲线称为该金属材料的循环应力-应变（σ-ε）曲线。

根据图28-4-20循环应力-应变曲线的作图法可知，曲线上的任一点实际上是一个滞回线的顶点，其坐标为该滞回线的应力幅σ_a和应变幅ε_a。因此，循环应力-应变曲线可以用下式拟合，即

　　（28-4-1）

或写成幅度的形式（应力幅度Δσ=2σ_a，应变幅度Δε=2ε_a），即

　　（28-4-2）

式中　ε_e——应变幅的弹性分量；

ε_p——应变幅的塑性分量；

ε_a——总应变幅；

K'——循环强度系数；

n'——循环应变硬化指数。

图28-4-21～图28-4-37给出机械和航空行业中几种常用材料的循环稳定与单调拉伸的应力-应变曲线。

4.3　应变-寿命曲线

4.3.1　应变-寿命方程

准备一组材料和尺寸完全相同的试样在疲劳试验机上进行疲劳寿命试验，对每个试样施加不同的载荷，试样将产生不同的应变，疲劳循环次数由计数器自动记录，这样就得到一组应变和寿命循环数的记录数据。由于试验时控制总应变幅常常比较方便，所以得到的数据，一般是总应变幅与寿命循环数。图28-4-1～图28-4-17就是对不同材料得出的总应变幅ε_a（Δε /2）与寿命循环数N的曲线，即ε-N曲线。

每一个总应变幅可分为弹性应变分量和塑性应变分量（图28-4-38）。假设在总应变幅为0.6%时的疲劳寿命为10⁴次循环。根据实测可知，总应变幅中三分之一为塑性应变幅，其余三分之二，即0.4%为弹性应变幅。反之，对同一种材料，只要循环弹性应变幅等于0.4%，其寿命将是10⁴次循环。同样，只要知道塑性应变幅为0.2%，也可以推断它的寿命为10⁴次循环。

指定一个弹性应变幅或塑性应变幅，就可以得到寿命循环数N。因此，在同一张总应变幅-寿命曲线图上，可以画出弹性应变-寿命曲线和塑性应变-寿命曲线。在双对数坐标图上，弹性应变-寿命曲线和塑性应变-寿命曲线都是一条近似直线，如图28-4-39所示。这两直线的交点P，称为过渡寿命点；P点在横轴上的坐标N_T，称为过渡寿命，它是一试验常数。交点P表示低周疲劳与高周疲劳的分界点：在P点的右侧，弹性应变起主导作用，在P点的左侧，塑性应变起主导作用。或者说，P点的右侧为高周疲劳区，P点的左侧为低周疲劳区。当提高材料强度时，P点左移，提高材料韧性时，P点右移。

图28-4-39中塑性应变-寿命曲线1的方程，可以用幂指数函数形式表示为

Δε_p N^β=C₁　　（28-4-3）

弹性应变幅度Δε_e和塑性应变幅度Δε_p还可以写成一般常用的形式，即

式中　σ'_f——疲劳强度系数；

σ'_f/E——循环数处直线2的纵坐标截距；

b——疲劳强度指数，直线的斜率；

E——材料的弹性模量；

ε'_f——疲劳塑性系数，处直线1的纵坐标截距；

c——疲劳塑性指数。

总应变幅-寿命曲线3的数学表达式为

　　（28-4-4）

这里N为反向次数，“2N”在恒幅循环载荷中为循环次数。式（28-4-4）称为曼森-科芬方程。

式（28-4-2）和式（28-4-4）中的6个参数：K'、n'、b、c、ε'_f和σ'_f，是表征低周疲劳特性的主要参数。机械设计中几种常用钢材的参数见表28-4-1和表28-4-2。

4.3.2　四点法求应变-寿命曲线

曼森指出，确定Δε_e -N和Δε_p-N两条直线只要四个点。这四个点可以由单调拉伸试验数据获得，而不用去做疲劳试验。如图28-4-40所示，该四个点分别为：

P₁——对应于1/4次循环（即一次拉伸至破坏）的应变幅度的弹性分量

Δε_e=2.5（σ_f/E）　　（28-4-5）

P₂——对应于10⁵次循环的应变幅度的弹性分量

Δε_e=0.90（R_m/E）　　（28-4-6）

连接P₁和P₂点，得图28-4-40中的曲线2，即Δε_e-N曲线。这里Δε_e为弹性应变幅度；N为破断循环数；σ_f为单调拉断时的真实应力；R_m为强度极限。

P₃——对应于10次循环的应变幅度的塑性分量

　　（28-4-7）

P₄——对应于10⁴次循环的应变幅度的塑性分量

　　（28-4-8）

连接P₃和P₄点，得图28-4-40中的曲线1，即Δε_p-N曲线。这里为曲线2上N=10⁴所对应的弹性应变幅度； ε_f为单调拉断时的真实应变，用截面收缩率A（以%计）近似求得

　　（28-4-9）

用四点法求材料的应变-寿命曲线，适合于碳钢、合金钢、铝、钛等金属材料。

4.3.3　通用斜率法

曼森对29种材料的疲劳试验结果进行了整理归纳，在双对数坐标平面上得出（参见图28-4-40）塑性应变-寿命直线1的斜率为-0.6，弹性应变-寿命直线2的斜率为-0.12，从而得到下面的关系式，即

　　（28-4-10）

由于斜率是根据29种材料归纳出来的，即这个斜率对多种材料通用，故本法称为通用斜率法。

4.4　低周疲劳的寿命估算

估算低周疲劳寿命常用两种方法：①类似常规疲劳设计方法，即用ε-N曲线直接推算出寿命；②用局部应力-应变法估算裂纹形成寿命。

4.4.1　直接法

用应变-寿命（ε-N）曲线直接推算出寿命时，关键是获得材料的ε-N曲线。这可以通过疲劳试验获得，如图28-4-1～图28-4-17所示；或用四点法求得弹性应变幅度-寿命（Δε_e-N）曲线和塑性应变幅度-寿命（Δε_p-N）曲线（见图28-4-40），然后将弹性应变幅度与塑性应变幅度相加得总应变幅度，得出总应变幅度-寿命曲线。当应变比r=-1时，得ε_a-N曲线。

在实际计算中，一般可按弹性理论求应力幅σ_a，然后假设以σ_a为理论弹性应力幅，近似用公式计算ε_a，最后用ε_a-N曲线直接推算出疲劳寿命。

当给出材料低周疲劳的应力-寿命（σ_a-N）曲线时，也可以用弹性理论求得的σ_a，直接从σ_a-N曲线推算出疲劳寿命。

上述的寿命估算方法，是以用材料力学或弹性理论的方法来计算零件和构件危险点的名义应力为出发点的，故称这种方法为名义应力法。而低周疲劳的应力-寿命曲线中的σ_a，是真实应力幅，应变-寿命曲线中的ε_a是真实应变幅，所以名义应力法在低周疲劳寿命估算中，误差很大，只能用于粗略的寿命估算。对于较重要设备的寿命估算，建议用4.4.2节的局部应力-应变法估算疲劳寿命。

表28-4-3和表28-4-4是国产常用的机械材料和航空材料的单调与循环应变特性数据，供寿命估算中应用。

4.4.2　裂纹形成寿命估算方法

常规疲劳设计是以名义应力为基本设计参数，根据名义应力进行抗疲劳设计。而实际上决定零构件疲劳强度和寿命的是应变集中（或应力集中）处的最大局部应力和应变。因此，在低周疲劳研究和应变分析研究成果基础上，建立了不同于常规疲劳设计的新的疲劳寿命估算方法——局部应力应变法。

它的设计思路是，零构件的疲劳破坏都是从应变集中部位的最大应变处起始，并且在裂纹萌生以前都要产生一定的局部塑性变形，局部塑性变形是疲劳裂纹萌生和扩展的先决条件。因此，决定零构件疲劳强度和寿命的是应变集中处的最大局部应力应变，只要最大局部应力应变相同，疲劳寿命就相同。因而有应力集中的零构件的疲劳寿命，可以使用局部应力应变相同的光滑试样的应变-寿命曲线进行计算，也可使用局部应力应变相同的光滑试样进行疲劳试验来模拟。

该方法有以下优点：

①应变是可以测量的，而且已被证明是一个与低周疲劳相关的极好参数，根据应变分析的方法，可将高、低周疲劳寿命的估算方法统一起来。

②使用这种方法时，只需知道应变集中部位的局部应力应变和基本的材料疲劳性能数据，就可以估算零件的裂纹形成寿命，避免了大量的结构疲劳试验。

③这种方法可以考虑载荷顺序对应力应变的影响，特别适用于随机载荷下的寿命估算。

④这种方法易于与计数法结合起来，可以利用计算机进行复杂的计算。

尽管局部应力应变法有许多优点，但并不能取代名义应力法。因为：

①这种方法只能用于有限寿命下的寿命估算，而不能用于无限寿命，当然也无法代替常规的无限寿命设计法。

②这种方法目前还不够完善，未考虑尺寸因素和表面情况的影响，对高周疲劳有较大误差。

③这种方法目前主要限于对单个零件进行分析，对于复杂的连接件，难以进行精确的应力应变分析，难以使用。

还应指出，用名义应力有限寿命设计法估算出的是零件总寿命，而局部应力应变法估算出的是裂纹形成寿命。这种方法常与断裂力学方法联合使用，用这种方法估算出裂纹形成寿命以后，再用断裂力学方法估算出裂纹扩展寿命，两阶段寿命之和即为零件的总寿命。

4.4.2.1　局部应力-应变分析

（1）真实应力与真实应变

工程上常用材料的应力-应变曲线［图28-4-41（a）］是由拉伸试验确定的，其名义应力s等于载荷F除以原始截面面积 A₀，其名义应变e为伸长量ΔL除以原始长度L₀（标距长度）［图28-4-41（b）］。即

　　（28-4-11）

由于在拉伸过程中，试样的截面面积是变化的，直到拉断，则真实应力σ为

σ=F/A　　（28-4-12）

式中　A——颈缩处的横截面面积。

当试样拉伸至L长时，假设试样长度有一微小增量dL，则此时的应变增量为

上式由L₀～L积分，得真实应变为

　　（28-4-13）

真实应力、应变与名义应力、应变的关系为

σ=s（1+e）　　（28-4-14）

ε=ln（1+e）　　（28-4-15）

真实应变反映了物体变形的实际情况，也称为自然应变或对数应变；名义应变也称为工程应变。在大应变问题中，只有用真实应变才能得出合理的结果。

（2）玛辛特性

改变应力水平，可以得到不同应力水平下的滞回线（参见图28-4-20）。图28-4-42（a）为不同应力水平下的滞回线ADA、BEB、CFC，将坐标轴平移，使原点与各滞回线的最低点相重合，若滞回线的最高点的连线与其上行段迹线相吻合［见图28-4-42（b）］，则该材料具有玛辛特性，称为玛辛材料。

将材料的循环σ-ε曲线画于图28-4-42（b）上，可以看出，滞回线上行段迹线的纵坐标为循环σ-ε曲线的纵坐标的两倍。

（3）材料的记忆特性

图28-4-43（a）表示载荷-时间历程，图28-4-43（b）表示材料在该载荷-时间历程中的应力-应变响应。加载时由1到2，相应的应力-应变响应由A到B；由2到3加反向载荷时，应力-应变曲线由B到C；再由3到2'加载时，应力-应变曲线由C到B'，B'和B重合。此后继续加载，则应力-应变曲线并不沿CB'曲线的延长线（图中虚线所示），而且急剧转弯沿原先AB曲线的延长线，似乎材料“记忆”了原先的路径，这就是材料的记忆特性。

（4）载荷顺序效应

缺口零件在拉伸载荷作用下，缺口根部应力集中处材料发生屈服。卸载后因处于弹性状态的材料要恢复原来的状态，而已塑性变形的材料阻止这种恢复行为，故两者相互挤压，使缺口根部产生残余压应力。如大载荷环后面紧接着出现小载荷环，则该小载荷环引起的应力将叠加在这个残余应力之上，因此该小载荷环造成的损伤受到前面大载荷环的影响，而且这种影响往往是很大的。图28-4-44所示的两种载荷-时间历程，除第一载荷环以外，两者都相同，只是第一个大载荷环的过载方向不同。图28-4-44（a）所示的大载荷环以压缩载荷结束，应力集中处产生残余拉应力（+σ_m）。图28-4-44（b）所示的大载荷环以拉伸载荷结束，应力集中处产生残余压应力（-σ_m）。由于两种载荷-时间历程所产生的残余应力不同，所以滞回线的形状不同，即载荷顺序对局部应力-应变是有影响的。

（5）滞回线方程

局部应力-应变法认为，在疲劳强度问题中，材料的本构关系应由循环应力-应变曲线确定。材料的滞回线形状是通过循环应力-应变曲线来描述的。因此，循环σ-ε 曲线在局部应力-应变法中具有特殊重要的位置。由式（28-4-2）给出循环应力-应变曲线用幅度表达的方程式

对于具有玛辛特性的材料，若使坐标原点与各应力水平下的滞回线最低点相重合，则滞回线的最高点的连线，与其上行段迹线相吻合［图28-4-42（b）］。许多试验表明，多数金属材料的滞回线，可以用放大一倍后的循环σ-ε曲线来近似描述。这样，就可得出下面的滞回线方程式，即

加载时

　　（28-4-16）

卸载时

　　（28-4-17）

式中　ε_r、σ_r——滞回线顶点的坐标。

（6）诺伯法

确定局部应力-应变的方法有：电阻应变计测定法、光弹性法、脆性涂层法和云纹法等实验方法，以及用有限元法求数值解。弹塑性有限元法是计算局部应力-应变的较精确的方法，但由于计算工作量大，工程上倾向于采用简单的近似方法。例如诺伯法、线性应变法、修正的斯托威尔法和莫尔斯基等效能量法。其中，应用最多的是诺伯法。

诺伯提出的在弹塑性状态下的通用公式

　　（28-4-18）

式中　α_σ——理论应力集中系数；

——真实应力集中系数，

——真实应变集中系数，

s——缺口件的名义应力；

e——缺口件的名义应变；

σ——缺口件的真实应力；

ε——缺口件的真实应变。

通过式（28-4-18），就可以简单地把局部应力-应变与名义应力-应变联系起来。式（28-4-18）可写成下面形式，即

一般情况下，名义应力和名义应变均在弹性范围内，即有s =Ee。故有

　　（28-4-19）

当名义应力确定以后，σε=（α_σs）²/E是个常数，称为诺伯常数。于是式（28-4-19）可以写成σε=C。这是一个双曲线方程，也称为诺伯双曲线。

如果已知α_σ、s和E，再结合材料的σ-ε曲线，就可以算出相应的局部应力和应变，如图28-4-45所示。将式（28-4-19）改写成幅度形式

　　（28-4-20）

根据所给的载荷谱，名义应力幅度Δs是知道的，联立解式（28-4-2）和式（28-4-20），就可以求出Δσ和Δε，加上坐标原点的应力和应变值，就是该点的局部真实应力和真实应变值。

例如，图28-4-45（a）是用名义应力表示的加载历程，图28-4-45（b）表示用诺伯法得到的零件危险点的局部应力-应变的情况。具体确定方法如下。

1）B点的确定。以A点作为坐标原点，画出循环σ-ε曲线，并用AB间的名义应力幅度Δs₁画出Δσ·Δε=（α_σ Δs₁）²/E双曲线，这两条曲线的交点B的纵坐标和横坐标，就是加载到B点时的局部应力和局部应变值。

2）C点的确定。以B点作为坐标原点，向下画出滞回线（两倍于循环σ-ε曲线），并用BC间的名义应力幅度Δs₂画出Δσ·Δε=（α_σΔs₂）²/E双曲线，这两条曲线的交点C的纵坐标和横坐标，即为从B 点到C点的局部应力和应变幅度，在卸载时为负。加上B点的局部应力和应变值后，就得到加载到C点时的局部应力和应变值。

3）D点的确定。从C点加载超过B点时要考虑“记忆特性”，即从C点到D点可以看作从A点直接加载到D点，故要以A点为坐标原点画出循环σ-ε曲线，并画出Δσ·Δε=（α_σΔs₃）²/E双曲线，两条曲线的交点D的纵坐标和横坐标，即为加载到D点时的局部应力和应变值。

4）E点的确定。以D点作为坐标原点，向下画出滞回线，并画出Δσ·Δε=（α_σΔs₄）²/E双曲线，由这两条曲线的交点E的纵坐标和横坐标，得到从D点到E点的局部应力和应变幅度，在卸载时为负。加上D点的局部应力和应变值后，就得到加载到E点时的局部应力和应变值。

按这个步骤对名义应力谱编制程序，在计算机上进行计算。

诺伯公式高估了局部应力和应变。因此，把公式中的理论应力集中系数α_σ改为有效应力集中系数K_σ，得诺伯修正公式

　　（28-4-21）

4.4.2.2　裂纹形成寿命估算方法

局部应力-应变法计算损伤的出发点是应变-寿命关系式（28-4-4），即

或分开写成

　　（28-4-22）

　　（28-4-23）

ε-N曲线是在对称循环条件下得出的。对于复杂载荷-时间历程作用下的疲劳问题，平均应力的存在是不可避免的，需要对上式进行修正。

当材料处于弹性范围时，平均应力对疲劳寿命的影响很大。而当材料出现塑性变形后，由于平均应力的松弛效应，其影响就大大减弱了。所以通常只对ε-N曲线的弹性部分，即式（28-4-22）予以修正，一般应用的修正公式为

　　（28-4-24）

式中　σ_a——应力幅；

σ_m——平均应力；

σ_r——等效应力幅。

修正后的应变-寿命关系为

　　（28-4-25）

　　（28-4-26）

根据上述的寿命关系式，即式（28-4-21）、式（28-4-22）和式（28-4-25），采用不同的损伤参量，可以得到不同的损伤公式。局部应力-应变法中常用的损伤公式有以下几种：

1）兰德格拉夫损伤公式。R.W.兰德格拉夫认为，损伤由Δε_p与Δε_e的比值来控制。由式（28-4-21）和式（28-4-22）可推导出每个局部应变为Δε（=Δε_p+Δε_e）的应变循环造成的损伤为

　　（28-4-27）

计入平均应力的影响，修正后的损伤公式为

　　（28-4-28）

2）道林损伤公式。N.E.道林等认为，以过渡疲劳寿命N_T为界，当ε_p>ε_e时，应该以塑性应变分量为损伤参量，此时损伤公式为

　　（28-4-29）

当ε_p<ε_e时，应该以弹性应变分量为损伤参量，损伤公式为

　　（28-4-30）

若考虑平均应力的影响进行修正，则有

　　（28-4-31）

3）史密斯损伤公式。K.N.史密斯等为反映平均应力的影响，对试验结果进行分析，提出用σ_maxΔε来计算损伤，并推导出损伤公式

　　（28-4-32）

该方程要用数值方法求解。

根据不同的Δε_p/Δε_e比值，选用相应的损伤计算式。

用局部应力-应变法估算裂纹形成寿命的步骤如下：

①把载荷谱、材料性能常数和应力集中系数作为输入计算机的信息。

②对载荷-时间历程进行循环计数。

③根据载荷-时间历程确定名义应力和应变-时间历程。

④根据选定的损伤公式，按循环计数的结果计算每一个载荷循环造成的损伤。

⑤对损伤进行累积计算，即根据累积损伤公式算出裂纹形成寿命。

4.4.2.3　设计实例

在本例中，采用雨流法计数，用诺伯公式进行局部σ-ε分析，用道林公式计算损伤。具体步骤如下。

首先将载荷-时间历程转化为计算点上的名义应力-时间历程［见图28-4-46（a）］，并进行雨流计数，得到1-4-7、2-3-2'和5-6-5' 三个循环。然后根据材料的σ-ε曲线（滞回线）和零件的有效应力集中系数K_σ，用诺伯法确定局部应力-应变响应。

循环σ-ε曲线的方程为

　　（a）

根据倍增原理，上升段的滞回线方程为

　　（b）

下降段的滞回线方程为

　　（c）

式中　σ、ε——局部应力、应变的流动值；

σ_r、ε_r——前一峰值点的局部应力、应变值。

本例的材料是汽车用热轧低碳钢，其化学成分为：w（C）=0.23%；w（Mn）=1.57%；w（P）=0.016%；w（S）=0.022%；w（Si）=0.01%；w（Cu）=0.22%。其强度极限σ_b=540～565MPa，屈服强度σ_s=315～325MPa，截面缩减率ψ=64%～69%，弹性模量E=192GPa，n'=0.193，K'=1125.9MPa。

应用诺伯公式（28-4-21）：

　　（d）

根据所计算的危险点处的几何形状和材料，查应力集中系数图得K_σ =2.60。

根据图28-4-46（a）所示的名义应力-时间历程，即可逐个反复地进行局部应力-应变分析。

1） 从0-1加载时，由于是从零开始，循环σ-ε方程用式（28-4-1）

　　（e）

再与诺伯公式（d）联立求解。将E =192GPa、K'=1125.9MPa、n' =0.193、K_σ =2.60代入，有

此时，Δs₀₁=395.5MPa，于是Δσ·Δε=5.5。解联立方程得

Δσ=458.3MPa，Δε=0.012

即1点的局部应力和应变为

σ=458.3MPa，ε=0.012

2）从1-2卸载时，根据卸载滞回线计算。将有关数据代入式（a）和式（d），有

此时，Δs₁₂=699.0MPa，于是Δσ·Δε=17.2。解联立方程得

Δσ=870MPa，Δε=0 .0198

2点的局部应力和应变为

σ=458.3-870=-411.7MPa，

ε=0.012-0.0198=-0.0078

3）从2-3加载时，根据加载滞回线计算

此时，Δs₂₃=521.1MPa，于是Δσ·Δε=9.56。解联立方程得

Δσ=780MPa，Δε=0.0122

3点的局部应力和应变为

σ=-411.7+780=368.3MPa，

ε=-0.0078+0.0122=0.0044

4）在3-4的卸载过程中，由于从3卸载到2'时，形成了一个封闭的应力-应变滞回线，所以根据材料的记忆特性，计算4点的应力和应变时，应根据从1点出发的滞回线，并取应力幅度Δs₁₄进行计算

此时，Δs₁₄=790.7MPa，于是Δσ·Δε=22.0。解联立方程得

Δσ=910MPa，Δε=0.024

4点的局部应力和应变为

σ=458.3-910=-451.7MPa，

ε=0.012-0.024=-0.012

5）从4-5加载时，根据加载滞回线计算

此时，Δs₄₅=434.1MPa，于是Δσ·Δε=6.6。解联立方程得

Δσ=721MPa，Δε=0.0092

5点的局部应力和应变为

σ=-451.7+721=269.3MPa，

ε=-0.012+0.0092=-0.0024

6）从5-6卸载时，根据卸载滞回线计算

此时，Δs₅₆=239.9MPa，得Δσ·Δε=2.0。解联立方程得

Δσ=520MPa，Δε=0.0038

6点的局部应力和应变为

σ=258.3-520=-261.7MPa，

ε=-0.0026-0.0038=-0.0064

7）从6-7加载时，根据图28-4-46（b），7点的应力和应变值与1点相同。得局部应力和应变为

σ=458.3MPa，ε=0.012

有了局部应力-应变响应，就可以进行损伤计算。损伤是根据每一应力-应变循环的幅值和均值，用道林公式计算的。现将上面分析得到的三个应力-应变循环2-3-2'、5-6-5' 和1-4-7中的应力幅值σ_a、应变幅值ε_a、平均应力σ_m、平均应变ε_m及弹性应变分量ε_e、塑性应变分量ε_p列入表28-4-5。

下面进行损伤计算，即

对于2-3-2'循环，由于ε_p>ε_e，故用ε_p计算损伤。由式（28-4-29）有

本例中，ε'_f=0.26，c=-0.47，所以

对于5-6-5' 循环，由于ε_e >ε_p，故用ε_e计算损伤。式（28-4-31）中的Eε_e以总应力幅σ_a代替，有

本例中，σ'_f=935.9MPa，b=-0.095，σ_m=3.8MPa，σ_a=265.5MPa，ε_e =0.0014，E =192GPa。于是

对于1-4-7循环，由于ε_p>ε_e，故用ε_p计算损伤

根据迈因纳定律求疲劳累积损伤，得

所以疲劳破坏时载荷循环块数（即载荷-时间历程1-7的反向次数）B为

若每个载荷块经历的时间为h₀，则零件的疲劳寿命为

h =Bh₀

上述计算均可由计算机完成。

局部应力-应变法是在应变分析和低周疲劳基础上发展起来的一种疲劳寿命估算方法。因此它特别适用于低周疲劳。将其应用于高周疲劳时，由于它没有考虑高周疲劳中表面状态和尺寸的影响因素，因此计算结果误差大，需采用修正的方法以减小误差。