2.3　高对称富勒烯的构造

对于对称性高的富勒烯异构体，其结构构造相对简单，有时通过手动构造就可以实现；不过，手动方法在构造低对称性的富勒烯异构体时就显得相当无力，不系统且特别耗费时间。

正如前述提及，当富勒烯的原子数增加到120以上时，即使是效率较高的螺旋算法也是难以胜任的。不过，通常也不需要对巨型富勒烯的异构体进行全面的计算研究。在实践中，研究人员通常是通过研究巨型富勒烯的高对称异构体来窥视这些巨型富勒烯的结构和性质。为此，研究人员开发了一些方法用于高对称异构体的构造。现在提供一种构造I_h对称富勒烯的方法，该方法不涉及程序设计而只需要在简单的数值运算基础上，通过搭积木的方式构造高对称的富勒烯^[3]。

2.3.1　确定富勒烯的半径

富勒烯是由12 个五边形和若干个六边形围成的笼状分子，富勒烯的表面，尤其是I_h对称的富勒烯的表面可以近似看作球面，相应地，球面的面积等于12个五边形的面积和若干个六边形的面积之和：

4πR²＝12S₅＋xS₆　　 （2-12）

　　 （2-13）

　　 （2-14）

式中，S₅ 和 S₆ 分别表示一个五边形和一个六边形的面积； x是富勒烯结构中六边形的数目；n是富勒烯的碳原子数。从公式可以看出，富勒烯球的半径R实际上与富勒烯的碳原子数或富勒烯的六边形的数目直接相关。石墨的C-C 长度为1.42Å（1Å＝10^－10m），因此五边形和六边形的面积分别为3.47Å ² 和 5.24Å ²。据此，可以得到I_h对称的富勒烯的半径：

R₂₀＝1.82Å

R₆₀＝3.41Å

R₈₀＝3.98Å

R₁₈₀＝6.06Å

R₂₄₀＝7.01Å

R₃₂₀＝8.12Å

R₅₀₀＝10.17Å

R₅₄₀＝10.57Å

对于小富勒烯，五边形和六边形的面积之和明显小于相同半径 （碳原子与几何中心的距离）球体的面积，因此，上述公式计算得到的半径低估了C₂₀ 和 C₆₀的半径。然而，对于中等及以上尺寸的富勒烯，因其表面逐渐接近石墨面，相应富勒烯的半径的计算精度逐渐提高。

2.3.2　构建I_h-C₁₂ 和I_h-C₂₀

① 构造一个五边形，（C-C 距离为1.42Å， ∠CCC 角度为 108.0°）参见图 2-9（a）。

② 构建一个类似于房顶的结构，参见图2-9（b）。

③ 由于五边形的所有顶点都在一个面上，图2-9（b）的五边形的任何两个不相邻的碳原子加上顶部碳原子（总共3个原子）能够确定一个新的五边形。基于图2-9（b）所示的C_5v 结构，可以确定其他所有原子的位置而得到I_h-C₁₂，参见图 2-9（c）。

④ 构建一个五边形，增加一个碳原子，确保∠C₆C₁C₅＝∠C₆C₁C₂ ＝108.0°，参见图2-9（d）。基于C₆C₁C₅可以得到新的五边形，按照此思路继续执行可以得到图2-9（e）和图2-9（f）而得到I_h-C₂₀。

2.3.3　构造 I_h 对称的富勒烯

从几何特征上讲，I_h对称的富勒烯可以分为两类^[4，5]。一类的原子数是20k² （k＝1，2，…）; 另外一类的原子数是 60k²（k＝1，2，…）。对于前者，任何两个最近的五边形的边是平行的；对于后者，任何两个最近的五边形的最近的边之间形成60°的夹角。

为了构造第一类I_h 对称的富勒烯，只需要将 I_h-C₁₂ 的半径增大后，使用这12个碳原子作为新的I_h 对称的富勒烯的五边形的中心，并调整角度，保证任何两个靠近的五边形的最近的两边是平行的即可，这样就得到了相应富勒烯的骨架结构。图2-10（a）显示了C₈₀的骨架，在此骨架的基础上，在每三个靠近的五边形的最近的顶点（3个）的中心增加碳原子就得到I_h-C₈₀，如图2-10（b）所示。当然， C₁₈₀、C₃₂₀ 和 C₅₀₀ 等可以通过类似的方法构造，如图2-10（c）～（e）所示，只是在这些分子的构造过程中，需要填充更多的不同种类的等价碳原子在五边形形成的骨架中。

对于另外一类I_h对称的富勒烯，可以在I_h-C₂₀ 基础上构造，基本的思路与第一类的一样，即将12个五边形向外沿着球心与五边形中心方向移动到适当的距离（具体数值根据目标富勒烯的计算半径而定），接下来，填充不同数量的等价原子即可。按照此方法构造的C₆₀、C₂₄₀、C₅₄₀ 如图2-10（f）～（h）所示。

以上方法所蕴含的思想可以推广应用于其他高对称富勒烯的构造中。如构造T_d对称的富勒烯，可以先构建一个最简单的四面体对称的C₄单元，将C₄单元的半径增大，并将每一个顶点替换为三个五边形融合的结构单元，或一个六边形与三个不相邻五边形形成的结构单元，就可以得到T_d对称的non-IPR C_n和IPR C_n的核心骨架。基于目标碳笼的尺寸而得到球体的适合半径，扩充半径就得到目标富勒烯结构的合适骨架。最后，填充不同种类的等价原子就可以得到T_d-C_n。与I_h-C_n的构造过程一样，当目标富勒烯的尺寸越大时，需要填充的等价原子的种类越多，数目也越多。但是，由于这些富勒烯结构的对称性高，这里所述及的方法可以程序化而大大加快构造速度。

2.3.4　D_5h-C_n和D_5d-C_n富勒烯的构造

在发现富勒烯后不久，碳纳米管的研究也成为热点，其热度在最近十多年中甚至超过富勒烯本身。实验研究和理论研究都发现，小尺寸碳纳米管如D_5h-C₇₀和D_5d-C₈₀的稳定性不高，实验制备的碳纳米管的尺寸往往比富勒烯大一个或以上的数量级，碳纳米管的结构多样性远胜于富勒烯的结构多样性。另外，对于开口或有缺陷的碳纳米管，开口或缺陷处的活性通常较高，变化也很复杂，不容易得到具有可比性的结果。因此，要通过理论计算的方法系统研究碳纳米管的结构和性质是有挑战性的。实际的做法是研究具有高对称性的封闭碳纳米管的结构和性质，以实现窥豹一斑^[6]。

从数学上讲，封闭的碳纳米管就是富勒烯。以上提及的I_h对称富勒烯的构造方法可为封闭碳纳米管的构造提供基础。可以将得到的I_h对称的富勒烯结构沿着垂直于五重轴的方向一分为二而得到两个半球，将两个半球用于封闭开口的碳纳米管，就得到了封闭的碳纳米管或高对称（D_5h 或D_5d）的巨型富勒烯（具体尺寸可以通过改变开口碳纳米管的长度而实现）。图2-11是基于这样的思路构建的[5，5]、[9，0]和[10，10]碳纳米管的示意图。前两种碳纳米管的封口端采用的是I_h-C₆₀的两个半球，而第三种碳纳米管的封口端采用的是I_h-C₂₄₀的两个半球。