3.4　导数在医学中的应用

导数是研究函数的变化速度（即变化率）的有力工具.因此，在医药学中的许多问题，如细胞的增长率，酶的反应速率，血药浓度的变化率，人群的生长趋势等，都可用导数去解决.

例1　在血液循环系统中，血管内影响血液流动的阻力R是血管半径r的函数：

其中η为血液黏滞系数，L为血管长度.讨论当r在0.01～1mm范围内变化时，R相应的变化情况.

因为η>0，L>0，r>0，所以恒有R′（r）<0，这就是说，R（r）是一个递减函数，即较粗的血管内血液流动的阻力较小，较细的血管内血液流动的阻力较大.

进一步计算得

这表明，对于半径r较小的动脉，r的微小变化，将引起流动阻力R较大的改变；反之，对于半径r较大的动脉，r的微小变化，所引起的流动阻力R的改变较小.人体就是用神经系统来控制和调节微小动脉的半径，改变其流动阻力，从而达到改善或控制局部血液流动的快慢和血液的供应.

例2　按1mg/kg的比率给小鼠注射磺胺药物后，小鼠血液中磺胺药物的浓度可用下面的方程表示.

y=f（t）=-1.06+2.59t-0.77t2

式中：y表示血液中磺胺药物的浓度（g/100L）；t表示注射后经历的时间（min）.问t为何值时，小鼠血液中磺胺药物的浓度y达到最大值？

解　函数的定义域为[0，+∞）.

f′（t）=2.59-1.54t

令f′（t）=0，解得

t=1.682（min）

即给小鼠注射磺胺药物后，当t=1.682（min），小鼠血液中磺胺药物的浓度达到最大值，最大值为

f（1.682）=1.118（g/100L）

例3　在人口限制增长的问题中，已知在时间t时人群的个体数和时间t的函数关系是

式中B是人口的最大限制常数，K和λ都是和人口增长有关的常数.

试分析此函数图形的大致性态，然后画出此函数图形，并指出人群增长的趋势.

解　（1）函数的定义域为（-∞，+∞）

y″=λ（B-y）y′-λyy′=λ（B-2y）y′

由y′的表达式可知，不论t为何值，y′恒为正，即y′>0，故曲线单调上升.

令y″=0得y=0或（y=0于本题无实际意义，舍去），把代入已知的原函数求得

当时，y″>0，故曲线是凹的，当时，y″<0，故曲线是凸的，所以点为曲线的一个拐点.

，y=0是一条水平渐近线；

，y=B是另一条水平渐近线.

把上面的讨论列表如下：

又当t=0时，，故曲线和y轴相交于，根据上述分析，画出人口增长的变化曲线如图3-20所示.

由图可以看出，人口增长开始时是缓慢的，然后较快，最后又变缓慢，而在拐点的附近，人口增长最快.

例4　某地区沙眼患病率（y）与年龄（t，岁）的关系式为

y=2.27（e0.050t-e-0.072t）

问：（1）该地区沙眼患病率随年龄的变化趋势怎样？

（2）患病率最高的年龄是多少？最高患病率是多少？

解　y′=2.27（0.050e0.050t+0.072e-0.072t）.

令y′=0，得t=16.6.

（1）不难算出，当t<16.6时，y′>0；当t>16.6时，y′<0.因此可知年龄小于16.6岁的少年儿童，沙眼的患病随年龄增大而上升，年龄大于16.6岁的青年和成人，沙眼患病率则随年龄增大而下降.

（2）由于函数y在[0，+∞）上只有一个极大值点，且t→+∞时，y→0，所以t=16.6岁时，y达到最大值

ymax=2.27（e0.050×16.6-e-0.072×16.6）≈0.3028

即该地区16.6岁的少年儿童沙眼患病率最高，最高患病率30.28％.

例5　按1mg/kg体重的比率给小鼠注射磺胺药物后，计算在不同时间内血液中磺胺药物的浓度，可用方程

y=-1.06+2.59x-0.77x2

表示，这里y表示血中磺胺浓度（单位：mg/100mL）以10为底的对数，x表示注射后经历的时间（单位：min）以10为底的对数.求x取什么值时，y取极大值（以y的单位来测量）？（参考图3-20中的拟合抛物线，明显看出，当x≈1.7时，y取极大值，进一步用公式，计算可得.）

解　y=-1.06+2.59x-0.77x2

y′=2.59-1.54x

令y′=0，即得2.59-1.54x=0，x=1.682，如取x<1.682，得y′>0；如取x>1.682，y′<0.

这样，当x=1.682时，y有极大值1.118.所以当x=1.682分时，血中磺胺的最高浓度（以mg/100mL为单位）被估计为y=1.118.

例6　动物或植物的重量是时间t的函数w=f（t），Page于1970年在实验饲养雌小鼠，收集了大量资料，得雌小鼠的生长曲线为

如图3-22所示，生长率为

例7　1～9个月婴儿体重w（g）的增长与月龄t的关系有经验公式

lnw-ln（341.5-w）=k（t-16.6）

问t为何值时婴儿的体重增长率V最快？

解　设，将经验公式两边对t求导，得

要求体重增长率V最快，必须 ，而

因 所以w=170.75，代入经验公式，得t=1.66（月），故婴儿在1.66个月体重的增长率最快

例8　试描绘出肌肉或下皮注射血药浓度数学模型

的图像，其中A，σ1，σ2为正常数且σ2>σ1.

解　函数的定义域为[0，+∞）

c′（t）=0的点：.

c′（t）不存在的点：无.

c″（t）不存在的点：无.

，即y=0是曲线c（t）的水平渐近线.

，曲线c（t）无斜渐近线.

列表讨论如下：

c（t）的最大值：

c（t）的拐点：，函数图像如图3-23所示.