习题3

1.验证Lagrange中值定理对函数y=x2在[1，2]上的正确性，并求出ξ值.

2.应用Lagrange中值定理证明曲线弧f（x）=x2+2x-3（-1≤x≤2）上至少有一点处的切线平行于该连续曲线弧两端点的弦，求出曲线弧上该点的坐标.

3.证明下列不等式.

（1）x>1时，ex>e·x.

（2）｜arctanb-arctana｜≤｜b-a｜.

4.用L’Hospital法则计算下列极限.

5.求下列函数的单调区间.

（1）f（x）=x3-6x2+9x+2.　　（2）f（x）=2x2-lnx.

6.证明下列不等式.

（1）当x>1时，　　（2）当x>0时，

7.求下列函数的极值.

（1）f（x）=3x-x3.　　（2）f（x）=x2lnx.

8.试问a为何值时，函数在处具有极值？它是极大值，还是极小值？并求此极值.

9.求函数f（x）=x3-3x+2在上的最大值和最小值.

10.造一个容积为V的有盖圆柱形油桶，问油桶的底半径和高各为多少时，用料最少？

11.判别下列曲线的凹凸性.

12.求下列曲线的凹凸区间及拐点.

（1）y=3x4-4x3+1.　　（2）y=ln（x2+1）.

（3）y=x3（1-x）.

13.已知曲线y=x3+ax2-9x+4，在x=1处有拐点，试确定系数a，并求曲线的拐点及凹凸区间.

14.求下列曲线的水平渐近线和垂直渐近线.

15.描绘下列函数的图像：