一个简单的例子：关于威慑的计算
上面的几个例子是脱离现实利益的计算。我接下来举一个有关效用理论的应用的简单例子，即国际关系中的威慑的逻辑。威慑（deterrence）在最宽泛的意义上是被称为防御者的一个国家试图通过威胁要对被称为挑战者的另一个国家强行施加各种成本以阻止后者的预期的行动。为了更好地展开这一讨论，我不会考虑在国际关系中关于这一基本逻辑的许多变种。我介绍在这一最宽泛意义上反映威慑逻辑的一个简单的效用理论模型。本节中的练习题能带领你浏览其他的一些说法。在这里，所有数学都是非常简单的。正如巴里·奈尔伯夫（Barry Nalebuff）所嘲笑的：“事实上，有关威慑的计算也许被称作[威慑的]代数可能更恰当。”（Nale-buff 1991，313）
威慑的一般逻辑适用于许多政治情境。威胁要进行经济制裁、使用武力保卫盟友、普通的核战争威慑，这些是国际关系中的几种威慑形式。威慑还存在于国内政治。比如，在美国，国会把它的监督权力用作一种对一些行政机关的威胁以试图控制它们的政策。对罪犯的惩罚的一个正当理由就是：这一惩罚被假定为对其他犯罪的威慑。
在本模型中，我假定真实情境并不纯粹是防御者对挑战者的意图的误解；换句话说，我假定如果没有这一威慑性的威胁，挑战者会采取预期的行动。我还假定每一方都把另一方的回应看作一个有已知概率的抽奖。
考虑在防御者作出一个威慑性的威胁之后挑战者的决策。它面临两个选项：它可以继续推进它所意图采取的行动，或者退却。如果挑战者退却的话，结果就是现存的情境，而挑战者在其观众（要么是其他国家，要么是国内选民）的眼中其声誉可能遭受一定损害。我们把这一结果称为BD以代表退却（Back Down），对于这样的结果挑战者的效用是uCH（BD）。（下标CH告诉我们它是挑战者对于退却的结果的效用。）如果挑战者继续推进它所意图采取的行动的话，存在p的概率防御者会执行其威慑性的威胁。挑战者会承担该报复所带来的成本。我们把这一结果称为TC以代表威胁得以执行（Threat Carried Out），对于这样的结果挑战者的效用是uCH（TC）。于是防御者不会执行其威胁的概率为1-p，在这种情况下挑战者会实施它所意图采取的行动。我们把这一结果称为CS以表示挑战者成功（Challenger Succeeds）（从挑战者的角度来看，这是一个成功），对于这样的结果挑战者的效用是uCH（CS）。我们假定挑战者偏好成功胜过退却，偏好退却胜过让防御者执行其威胁。故此uCH（CS）＞uCH（BD）＞uCH（TC）。
当挑战者偏好退却胜过继续推进它所意图采取的行动时，威慑是起作用的。当
时，挑战者被吓阻。求解p，我们得到：
我们可以把p看作防御者执行威胁的意图的可信性。p越大，挑战者关于防御者将执行其威胁的信念就越强。上述不等式的右边是挑战者的临界风险（critical risk）。如果p即防御者意图的可信性小于挑战者的临界风险，那么挑战者就会继续推进；如果p大于临界风险，那么挑战者就会被吓阻。挑战者的临界风险的分子给出成功和退却的差，即如果挑战者采取它想采取的行动可能会获得的收益。分母给出成功和威胁得以执行的差，即如果挑战者继续推进而防御者执行其威胁的话挑战者所蒙受的损失。
如果我们知道上面不等式所有各项的值，我们就能够确定什么时候挑战者会继续迎威胁而上。然而，由于我们无法请历史人物来告诉我们他们对所有可能的抽奖的完整偏好，上面不等式的各项难以测量。相反，我们推导出关于什么时候威慑更有可能起作用的假设（hypotheses）。如果p保持不变，那么临界风险的增大会使威慑成功的可能性变小，而临界风险的减小会使威慑更有可能成功。如果挑战者的临界风险保持不变，那么防御者执行其威胁的意图的可信性越大（也就是p越大），威慑越有可能成功。
挑战者对于各种结果的效用的变化如何影响威慑成功的概率呢？比较静态（comparative statics）分析能够回答这个问题。比较静态分析通过让所有其他变量保持不变来检视一个变量对于行为的效应。8防御者能够强加给挑战者的成本越大，威慑就越有可能成功。随着uCH（TC）减小，分母会增大，这会降低临界风险。uCH（BD）越大，威慑越有可能成功。决策者至少有两个途径可以影响uCH（BD）。退却的观众成本越低，挑战者退却的情况就越有可能发生。因此，如果挑战者退却的话就向挑战者提供一些让步，通过这样做，威慑成功的前景会得到改善。这样的让步能够减少退却的观众成本，从而增加所形成的情境的吸引力。uCH（CS）越大，威慑成功的可能性越小。uCH（CS）的增大使临界风险的分子和分母都变大，总的效果会导致临界风险上升。采取想要采取的行动而没有遭到反对这样的结果的价值越大，威慑成功的可能性越低。
这些结果有两个防止误解的说明。第一，有关的全部三项都是挑战者对于各种结果的效用，不是结果本身。威慑成功不是依赖于防御者能强加到挑战者身上的客观损失，而是依赖于挑战者对这种损失的可能性如何反应。如果挑战者不把防御者为鼓励它退却而提出的让步看作有价值的话，那么这些让步也许不会成功。第二，假定无穷效用不存在，如果挑战者对防御者执行威胁的意图的估计足够低的话，那么威慑就会失败。如果挑战者不相信防御者会执行该威胁的话，威慑就不可能成功，即使防御者威胁要造成的成本很高并且执行该行动的收益很小。
防御者面临是否发出威慑性的威胁这样一个较早的选择。如果该威胁总是起作用的话，每个防御者都希望发出这样一个威胁。如果它从来不起作用的话，那么只有那些通过给挑战者强加成本而获得收益的防御者才会发出这样的威胁。然而，当防御者不确定挑战者会如何回应威胁的时候，它应该怎么办呢？假定防御者相信，如果它不用惩罚来威胁挑战者的话，挑战者会采取某个行动。我们把没有威胁（No Threat）的结果称为NT。这个没有威胁的结果要求挑战者继续推进它的行动，而防御者对这一结果的效用为uD（NT）。如果防御者发出一个威慑性威胁，挑战者可能会退却或继续推进它所意图采取的行动。令挑战者继续推进的概率为r，我们可以把这一概率看作是防御者对挑战者意图的感知。r越大，防御者越确信挑战者意图不顾威慑性的威胁而继续推进。挑战者在面对威胁时退却的概率是1-r。与前面相类似，我们把这一退却（Back Down）的结果称为BD。如果挑战者退却，现状就得以保持，并且防御者对这一结果的效用是uD（BD）。如果挑战者继续推进，那么防御者要么执行其威胁，要么不执行。如果它没能执行其威胁，我们就像前面一样得到结果CS。如果它执行其威胁，所得到的结果就是TC。在目前，我忽略如果挑战者继续推进防御者会怎么办这个问题，并且我把所得到的挑战者继续推进（Challenger Presses ahead）这一结果称为CP。防御者对于这一结果的效用为uD（CP），并且uD（CP）就是uD（CS）和uD（TC）这两者中较大的那一个。我们假定防御者偏好BD胜过NT，并且偏好NT胜过CP，即uD（BD）＞uD（NT）＞uD（CP）。
当
时，防御者会发出威慑性的威胁。求解r，我们可以得到：
和挑战者关于是否继续推进的决策一样，我们可以运用比较静态分析来确定在什么时候防御者更有可能发出威慑性的威胁。防御者的临界风险由上面的不等式的右边给出。如果防御者的临界风险保持不变，当r减小即防御者变得更加确信挑战者能够被吓阻时，威慑更有可能被尝试使用。
增大防御者的临界风险的值会增大防御者发出威慑性威胁的概率。增大防御者对没有威胁的结果的效用会使防御者尝试采取威慑的可能性变小。如果不加阻止，挑战者意图采取行动的威胁性越小，也就是说，随着uD（NT）增大，那么防御者甘冒威慑挑战者的风险的可能性就会变小。如果挑战者继续推进的话，结果越不具有吸引力，那么防御者会尝试威慑的可能性也越小。随着uD（CP）减小，分母会增大，威慑被尝试使用的可能性也会变小。uD（CP）是否会随着uD（CS）和uD（TC）的变化而减小依赖于如果威慑被挑战时防御者会怎么办。如果防御者不会执行威胁，也就是说，如果uD（CP）=uD（CS），那么执行该威胁的成本的增加即uD（TC）的增加对防御者是否尝试威慑没有影响。同样，如果防御者没有执行威胁的意图，也就是说，如果uD（CP）=uD（TC），那么不执行一个威慑性的威胁的观众成本的变化，即uD（CS）的变化是无关紧要的。最后，防御者对于挑战者退却的效用的增大会使威慑被尝试使用的概率增大，临界风险会上升。
这两个决策看起来相互没有联系，这在你看来似乎有点奇怪。威慑通常被认为是双方之间的一种互动。研究威慑的理论家常常主张要提高威胁的可信性。但是，在这个模型中，测量防御者执行其威胁的意图的可信性的p是不变的。防御者没有可以采取的行动来试图提高p。关于威慑的计算的这一局限是运用决策论来对威慑进行建模的后果。研究威慑的理论家相信，各方通过互动会改变它们对彼此意图的感知。威胁的可信性可以受到行动的影响。挑战者可能会改变它对于防御者执行威胁的可能性的判断。防御者应当部分地根据其行动如何影响挑战者关于防御者意图的判断来选择其行动。仅仅是为了探究防御者的意图，挑战者也许会暗示它想要采取它没有兴趣进行的行动。如果防御者不发出抵制，挑战者可能把它的挑战扩大到其他更有价值的冲突领域。对这些互动决策的建模需要博弈论模型，这也是接下来各章的主题。