第4讲 定义新运算

原来如此

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【引导】

Step1：我们假设一个式子，_y=（x～1），_y的最小值为0，所以x为__________.

Step2：我们假设两个式子，_y=（x～1）+（x～2），我们把1，2这两个数字看成两个点，数字与数字的差看成是两个点间距离，则由原题找_y的最小值，就是找一个点，要求到1，2两个点间的距离之和最小.所以x为：__________.

Step3：_y=（x～1）+（x～2）+（x～3）我们把1，2，3这三个数字看成三个点，数字与数字的差看成是两个点间距离，则由原题找_y的最小值，就是找一个点，要求到1，2，3三个点间的距离之和最小，因此数字x对应的点为__________时距离最小，最小距离为__________，所以x=时，_y最小，最小值为__________.

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如此这般

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基础巩固

1.填空：（1） 设a△b=a×a-2×b，那么，5△6__________，5△2△3=__________；

（2）a△b=（a+1）÷b，求6△（3△4）=__________；

（3） 已知a，b是任意自然数，我们规定：a⊕b=a+b-1，a⊗b=ab-2，那么4⊗ [（6⊕8）⊕（3⊗5）]=__________.

2.计算：（1）A，B表示两个数，定义A*B=2×A-B，求 （119.8-29.8）*（13.115+12.35）；（2） 设a，b是两个非零的数，定义a※b=，求2※ （3※4）.

3.计算：（1） 规定：符号 “△” 为选择两数中较大数，“⊙” 为选择两数中较小数.

例如：3△5=5，3⊙5=3，求[（7⊙3） △5]×[5⊙（3△7）]=__________？

（2） 两个不等的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a⊙b.

例如：5⊙2=1，7⊙25=4，6⊙8=2，求[（5⊙19）⊙19）]+[（19⊙5）⊙5]的值.

能力提升

4.规定运算 “☆” 为：若a＞b，则a☆b=a+b；若a=b，则a☆b=a+b-1；若a＜b，则a☆b=a+b+1.求 （1.24☆1.24）-（1.2☆2.3）+（3.7☆2）__________？

5.（1） “⊙” 表示一种新的运算符号，已知2⊙3=0.2+0.3+0.4；7⊙2=0.7+0.8；3⊙5=0.3+0.4+0.5+0.6+0.7，……，按此规则，求5⊙9？

（2） 如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88.求6Δ5？

（3） 已知5$3=5×6×7，3$6=3×4×5×6×7×8，按此规定求 （4$3）+（6$2）？

6.对于任意的整数x与y定义新运算 “△”：

已知2△9=，求3△4？

7.（1） 如果a△b表示 （a-2）×b，例如3△4=（3-2）×4=4，那么，当a△5=30时，求a？

（2） 规定新运算※，a※b=3a-2b.若x※（4※1）=7，求x？

8.对于任意的两个自然数a和b，规定新运算*，a*b=a（a+1）（a+2）…（a+b-1），其中a、b表示自然数.如果 （x*3）*2=3660，那么x等于多少？

9.如图4-1所示，一只甲虫从画有方格的木板上的A点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到B，图4-1（1） 中的路线对应下面的算式：1-2+1+2+2-1+2+1=6.请在图4-1（2） 中用粗线画出对应算式：-2-1+2+2+2+1+1+1的路线.

10.（1） 已知：10△3=14，8△7=2，，根据这几个算式找出规律，如果△x=1，求x？

（2） 已知：10△3=14，3△10=14，8△7=2，7△8=2，=1，=1，根据这几个算式找规律，如果x=1，求x.

11.规定a△b=a×（a+2）-（a+1）-b，计算：（2△1）+…+（11△10）=__________.

12.我们规定：符号Θ表示选择两数中较大数的运算，例如，5Θ3=3Θ5=5，符号△表示选择两数中较小数的运算，例如，5△3=3△5=3，计算的结果是多少？

思维突破

13.一个数n的数字中为奇数的那些数字的和记为S （n），为偶数的那些数字的和记为E （n），例如S（134）=1+3=4，E（134）=4；S（1）+S（2）+…+S（100）=__________；E（1）+E（2）+…+E（100）=__________.

14.64=2×2×2×2×2×2表示成f（64）=6；243=3×3×3×3×3表示成g （243）=5.

试求下列的值：

(1)f(128)=__________

(2)f(16)=g （　）

(3)f（　）+g (27)=6

单题拓展