第4节　多元线性同余方程组

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关于一元一次同余方程我们已经阐述得比较充分，下面讨论多元同余方程组。如果我们完整地讨论每一项内容，本章就会没完没了地继续下去。因此，我们建议只讨论值得我们注意的一些问题，并且只探讨这些问题的某几个方面，以后有机会再充分讨论。

1．如同求解方程组一样，同余方程的个数必须和待求未知数的个数相同。

2．因此，我们提出同余方程组

方程组中方程的个数与未知数x，y，z，…的个数是一样的。

现在我们确定数ξ，ξ′，ξ″，…，使得

并且，所有这些数都是整数，没有公约数。显然，从线性方程理论可知这是可能的。类似地，我们确定数v，v′，v″，…；ζ，ζ′，ζ″，…；…，使得

3．显然，如果同余方程A，A′，A″，…，乘以ξ，ξ′，ξ″，…，然后乘以v，v′，v″，…；…然后相加，我们就得到如下的同余方程组

为了简便，我们按如下形式记录

Σ（aξ）x≡Σ（fξ），Σ（bv）y≡Σ（fv），Σ（cζ）z≡Σ（fζ），…

4．不同的情况必须区分清楚。

首先，当所有系数Σ（aξ），Σ（bv），Σ（cζ），…都和同余方程的模m互质时，我们可以按照已经总结的结论求解，完整解可以通过同余式x≡p（mod m），y≡q（mod m），…给出。^[3]

例如，给定同余方程组

x＋3y＋z≡1，4x＋y＋5z≡7，2x＋y＋z≡3（mod 8）

我们求得ξ＝9，ξ′＝1，ξ″＝-14，所以有-15x≡-26和x≡6（mod 8）。同理求得15y≡-4，15z≡1，所以有y≡4，z≡7（mod 8）。

5．其次，当并非所有系数Σ（aξ），Σ（bv），Σ（cζ），…都与模互质时，令α，β，γ，…，分别为模m和Σ（aξ），Σ（bv），Σ（cζ），…的最大公约数。可知除非这些数能够分别整除Σ（fξ），Σ（f v），Σ（fζ），否则这个问题是无解的。但是，如果这些条件得到满足，则第3部分中的同余方程可以由下列形如x≡p（mod m/α），y≡q（mod m/β），z≡r（mod m/γ），…的同余式完全解出；或者，也可以这样表达，有α个不同的x的值［与m不同余，例如p，p＋m/α，…，p＋（α-1）m/α］，β个不同的y的值，…满足这个同余方程组；显然，所给的这组同余方程的所有解（如果有解）将在它们中求得。但是，这个结论不可逆，因为，一般地，不是x的所有值，y的所有值，z的所有值，…的全部组合都给出了问题的解，而只是它们中的某些满足了一个或更多的限制性同余条件的组合给出了问题的解。但是，因为下面的讨论并不需要这个问题的所有解，我们将不做进一步讨论，这里只举一个例子来演示一下。

给定这个同余方程组

3x＋5y＋z≡4，2x＋3y＋2z≡7，5x＋y＋3z≡6（mod 12）

这里ξ，ξ′，ξ″；v，v′，v″；ζ，ζ′，ζ″分别等于1，-2，1；1，1，-1；-13，22，-1。由此可得4x≡-4，7y≡5，28z≡96。由此我们可以得出x有4个值，即x≡2，5，8，11；y有1个值，即y≡11；z有4个值，即z≡0，3，6，9（mod 12）。为了知道x的值和z的值的哪些组合可以使用，我们在所给的这组同余方程中用2＋3t，11，3u分别替代x，y，z，同余方程组变成

57＋9t＋3u≡0，30＋6t＋6u≡0，15＋15t＋9u≡0（mod 12）

它们等价于

19＋3t＋u≡0，10＋2t＋2u≡0，5＋5t＋3u≡0（mod 4）

由于其中的第一式应有u≡t＋1（mod 4），当把这个值代入其他2个同余方程，也能满足这2个同余方程。我们总结，x的值2，5，8，11（分别令t≡0，1，2，3得到）必须分别与z≡3，6，9，0结合，我们一共可以得到4组解

x≡2，5，8，11（mod 12）

y≡11，11，11，11（mod 12）

z≡3，6，9，0（mod 12）

那么我们就结束了本章的讨论内容。不过我们还要补充几条根据相似的原理得出的定理，这些定理我们以后经常要用到。