1.1.1 简化线性系统还原成非线性系统

线性控制方法的一个关键假设是系统运动是小范围的，因而，线性模型是有效的。当所要求的运动范围变大时，线性控制的效果很差，甚至不稳定，因为系统的非线性不能得到恰当的补偿。而非线性控制器则可能在大范围内直接处理非线性。这一点在机器人运动（倒立摆运动）控制问题中很容易得到证实。当运动速度增大时，线性控制器的准确度迅速降低。因为许多相关的动态力（如向心力等）是以速度的平方变化的。因此，为了让机器人的工作（如抓取及放置、弧焊接和激光切割等）达到所要求的准确度，机器人的运动速度就会比较慢，从而影响了生产速度。然而，一种理想的简单的非线性控制器，通常称为计算力矩控制器，就能完全补偿机器人运动时的非线性力，从而在一个很大的工作空间及较大运动范围下实现机器人的高准度控制。

例1.1　考虑倒立摆。

单摆的支点装在一个沿水平方向运动的小车上，小车由电机驱动，电机在小车上施加水平方向的力F。图1.1中给出了单摆的受力分析：重心的力mg，水平方向的反作用力H，以及作用于支点的竖直方向的反作用力V。

写出单摆重心在水平方向和竖直方向上的牛顿定律，有

取对重心的力矩可得到转矩方程

而小车在水平方向上的牛顿定律为

式中，m是单摆的质量，L是重心到支点的距离，I是单摆对重心的转动惯量，k是摩擦系数，y是支点的位移，θ是单摆转动的角度（顺时针测量），g是重力加速度。系统方程是非线性系统，不能在大范围展开成线性系统。

例1.2　直线二级柔性倒立摆系统的数学模型。

在忽略了空气阻力后，可将直线二级柔性倒立摆系统抽象成由弹簧、均质摆杆和小车块组成的系统，如图1.2所示。

一般采用牛顿力学方法建立被控对象的数学模型。但此法分析复杂而且要计算大量的微分方程组，再考虑到质点组受到的约束条件，建模问题将更加复杂。因此本文采用分析力学方法中的拉格朗日（Lagrange）方程推导柔性倒立摆的系统模型。Lagrange方程建模的基本假设条件为：

① 各级摆体视为刚体。

② 各部分的摩擦力（力矩）与相对速度（角速度）成正比。

③ 施加在小车上的驱动力与加在功率放大器上的输入电压成正比，并且无延时地施加到小车上。

④ 皮带轮与传送带之间无滑动，传送带无伸长现象。

于是，对于同时受到保守力和耗散力作用的倒立摆系统的Lagrange方程应为

式（1.5）中，qi为广义坐标，Fq为作用在系统上的广义力，T、V和D是系统的动能、势能和耗散能，分别为

n为倒立摆的级数，Ti为小车和各级摆杆的动能，Vi为小车和各级摆杆的势能，Di为小车和各级倒立摆的耗散能。

由Lagrange方程得

其中

以上两个非线性系统模型例子，说明了在运动范围增大时，不能以简单的线性化代替反映真实现象的非线性系统。