命题XVII 问题IX

假设向心力与位置离中心的距离的平方成反比，且那个力的绝对量已知；需求［曲］线，物体从给定的位置，以给定的速度，沿给定的直线离去时画出它。

设趋向点S的向心力使物体p在任意给定的轨道pq上运行，并设这个［物体］在位置p的速度已知。设物体P从位置P沿［直］线PR以给定速度离去，此刻之后，向心力使它从那条线折入圆锥截线PQ，所以直线PR与这条圆锥截线切于P。另一条直线pr同样与轨道pq切于p，且如果想象着由S落到这些切线上垂线，则（由命题XVI系理1）圆锥截线的主通径比轨道的主通径按照来自垂线的二次比和速度的二次比的复合比，由此亦被给定。设圆锥截线的通径为L。圆锥截线的一个焦点S亦被给定。角RPS对两个直角的补是角RPH；另一个焦点H所在的直线PH的位置给定。向PH落下垂线SK，设想竖立共轭半轴BC，又SP_q－2KPH+PH_q=SH_q=4CH_q=4BH_q－4BC_q= :_quad－L× =SP_q+2SPH+PH_q－L× 。两边加上2KPH－SP_q－PH_q+L× ，则L× =2SPH+2KPH或SP+PH比PH如同2SP+2KP比L。所以PH的长度及位置给定。如果物体在P的速度使通径L小于2SP+2KP，PH与直线PS位于切线PR的同侧，因此图形为椭圆，再由给定的焦点S，H，主轴SP+PH被给定。但如果物体的速度如此之大，使得通径L等于2SP+2KP，PH的长度为无穷；且所以图形为具有轴SH平行于直线PK的抛物线，因而被给定。如果物体从位置P前进的速度更大，长度PH需取在切线的另一侧；因此切线在焦点之间穿过，图形为具有主轴等于直线SP和PH之差的双曲线，因而被给定。因为在这些情形如果物体在如此求得的圆锥截线上运行，在命题XI，XII和XIII中已经证明，向心力与物体到力的中心S的距离的平方成反比；且因此［曲］线PQ正确地显示了物体从给定的位置P，以给定的速度沿位置给定的直线PR出发，由于这种力所画的曲线。此即所作。

系理1 因此在每一条给定主顶点D，通径L，及焦点S的圆锥截线中，当DH比DS取得如同通径比通径和4DS之间的差时，另一个焦点H也被给定。因为在这一系理的情形，SP+PH比PH之比如同2SP+2KP比L成为DS+DH比DH如同4DS比L，且由分比，DS比DH如同4DS－L比L。

系理2 因此，如果给定一个物体在主顶点D的速度，轨道可便捷地被发现，即是，按照这个给定的速度比一个物体在距离为DS的圆形轨道上运行的速度（由命题XVI系理3）的二次比，取其通径比二倍的距离DS，然后取DH比DS如同通径比通径和4DS之间的差。

系理3 因此，如果一个物体在任意的圆锥截线上运动，并被无论什么样的冲击逐出它自己的轨道；能知道一条轨道，此后它在其上继续自己的路程。因为由物体自身的运动和那个运动的复合，那个运动由冲击单独生成，就有了物体从所给定的受冲击的位置沿位置给定的直线离去的运动。

系理4 并且，如果那个物体受到外部某个压迫力的持续扰动，通过收集一些点在引入那个力时的变化，由序列的一致性估计［物体］在中间位置的连续变化，可相当接近地知道其路径。

如果物体P由于趋向任意给定的点R的向心力在任意给定的圆锥截线的周线上运动，圆锥截线的中心为C，需求向心力的定律；引CG平行于半径RP，并与轨道的切线PG交于G；则那个力（由命题X的系理1和解释，以及命题VII的系理3）如同（CG_cub.）/（RP_quad.）。

第IV部分 论由给定的焦点，求椭圆形、抛物线形和双曲线形轨道

引理 XV

如果由椭圆或双曲线的两个焦点S，H，两直线SV，HV向任意第三个点V倾斜，它们中的一条直线HV等于图形的主轴，亦即焦点所位于的轴；另一条［直线］SV被垂直落在它上面的TR平分于T；那条垂线TR与圆锥截线在某处相切；并且反之亦然，如果相切，则HV等于图形的主轴。

因垂线TR截HV，若需要就延长之，于R；并连结SR。由于TS，TV相等，直线SR，VR且角TRS，TRV也相等。因此点R在圆锥截线上，而垂线TR与此圆锥截线相切；且反之亦然。此即所证。