2.3 点、直线与平面的投影

点、直线与平面是组成几何体的基本几何元素。掌握点、线、面的投影规律，能够为正确表达几何体奠定必要的基础。

2.3.1 点的投影

1．点的三面投影

如图2-14a所示，在三投影面体系中有一点A，过点A分别向三个投影面作垂线，得垂足a、a′、a″，即得点A在三个投影面的投影。按图2-14b展开，得点A的三个投影图，如图2-14c所示。图中a_X、a_Y、a_Z分别为点的投影连线与投影轴OX、OY、OZ的交点。

2．点的投影规律

根据图2-14中点A三面投影的形成，可得出点的三面投影规律：

点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴（aa′⊥OX）。

点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（a′a″⊥OZ）。

点的水平投影到OX轴距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离。（aa_YH⊥OY_H，a″a_YW⊥OY_W，即aa_X=a″a_Z）

此外，从图2-14a可以看出点的投影到投影轴的矩离，分别等于空间点到相应投影面的距离，也等于空间点的某一坐标值。即：

a′a_Z=aa_Y=Aa″=Oa_X

aa_X=a″a_Z=Aa′=Oa_Y

a′a_X=a″a_Y=Aa=Oa_Z

【实例2】 已知点A（15，8，12），试作其三面投影。

作图步骤：

1）求水平投影a。先沿X轴量取Oa_X=15，过a_X点作OY_H的平行线；再沿Y_H轴量取Oa_Y=8，过a_Y点作OX轴的平行线，交于点a，即为点A的水平投影，如图2-15a所示。

2）求正面投影a′。沿Z轴量取Oa_Z=12，过a_Z点作ox轴的平行线，与aa_X的延长线交于a′，即为点A的正面投影，如图2-15b所示。

3）根据三视图的投影特性，作a″，如图2-15c所示。

3．点的相对位置

（1）两点相对位置的确定

点与点的相对位置关系有左、右、前、后、上、下几种情况。如图2-16a所示，由水平（或正面）投影可以看出，点A比点B的X坐标大，因此点A在点B的左方；由水平（或侧面）投影可以看出，点A比点B的Y坐标大，因此点A在点B的前方；由正面（或侧面）投影可以看出，点A比点B的Z坐标小，因此点A在点B的下方。综合起来，点A在点B的左、前、下方，其空间位置，如图2-16b所示。

（2）重影点及其可见性判定

当空间两点的两个坐标相等，即两点处在某一投影面的同一条垂直线上，它们在该投影面上的投影重合为一点，简称重影点。如果沿着其投影方向观察这两个点，即一点为可见，另一点为不可见。

可见性的判定，可以根据两点的不重影的坐标大小来判定。坐标值大的可见，坐标值小的不可见。如图2-17中Z_b>Z_c，则点b可见，点c不可见。不可见点用（　）表示。

2.3.2 直线的投影

按照直线在空间的位置不同，将直线分为投影面的平行线、垂直线和一般位置直线。平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面的直线，称为投影面的平行线，见表2-1。

垂直于一个投影面，平行于另两个投影面的直线，称为投影面的垂直线，见表2-2。

与三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。一般位置直线的三面投影与三个投影面均倾斜。

【实例3】 求作直线AB的三面投影，A（25，20，10），B（10，10，20）

作图步骤：

1）先画出坐标系的OX、OY_H、OY_W、OZ轴及45°角度线；

2）XOY_H面求点a（25，20），XOZ面求点a′（25，10），Y_WOZ面求点a″（20，10），细实线连接投影线aa′、a′a″；

3）同理求出bb′、b′b″；

4）粗实线连接a′b′、ab、a″b″，即得到直线AB的三面投影。如图2-18所示。

注意：也可以利用45°线，作出点的两面投影后，根据投影规律，求作第三面投影。

投影知识点

空间直线用大写字母AB表示时，其正面投影、水平投影和侧面投影分别用a′b′、ab和a″b″表示，且A点和B点的三面投影满足点的投影规律（a′a⊥OX，a′a″⊥OZ，a到OX轴的距离等于a″到OZ轴的距离）。

2.3.3 平面的投影

按照平面在空间的位置不同，平面分为投影面的垂直面、平行面和一般位置平面。垂直于一个投影面，倾斜于另两个投影面的平面，称为投影面的垂直面，见表2-3。

平行于一个投影面，垂直于另两个投影面的平面，称为投影面的平行面，见表2-4。

与三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面。一般位置平面的三面投影与三个投影轴均倾斜，且均成类似形，如图2-19所示。

【实例4】 求作平面ABC的三面投影，A（25，25，15），B（30，10，18），C（20，7，30）。

作图步骤：

1）前三步同实例3；

2）求出c、c′和c″；

3）粗实线连接a′b′c′、abc、a″b″c″，即得到平面ABC的三面投影，如图2-19所示。